Sottospazi di R

Sottospazi di R

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Riassunto

Un insieme V = L (v₁, . . . , v_k) di combinazioni lineari in Rⁿ è sempre un sottospazio. Se i k vettori sono L I, allora l’insieme {v₁, . . . , v_k} si chiama una base di V . Vedremo che V ha tante basi, ma che hanno tutte lo stesso numero di elementi, la cosidetta dimensione di V .

Ad esempio, dati w₁ = (1, 0, −1) e w₂ = (0, 1, −1) , sia w₃ = (1, −1, 0) = w₁ − w₂.

Allora V = {(x, y, z) ∈ R³ : x + y + z = 0} coincide con L(w₁, w₂) = L (w₁, w₂, w₃) . I tre vettori non sono L I, w₃ essendo CL di w₁, w₂, mentre {w₁, w₂} è una base di V .

In Rⁿ, esistono sottospazi di dimensioni 0, 1, 2, . . . , n (te- nendo conto che è impossible trovare più di n vettori L I).

C’è solo lo spazio nullo {0} di dimensione 0, e Rⁿ stesso di dimensione n . In generale, si possono scegliere k vettori o righe in Rⁿ che sono L I, e definire V = L (v₁, . . . , v_k).

Se v₁, . . . , v_n ∈ Rⁿ sono L I, la matrice A con questi vettori come colonne ha rango n (se no, per RC2 esiste X 6= 0 tale che AX = 0, dando una relazione tra le colonne). Segue (di nuovo per RC2) che AX = B ha un’unica soluzione, quindi ogni B ∈ R^n,1 si esprime in modo unico come CL delle colonne, e Rⁿ = L (v₁, . . . , v_n).

Altri appunti

Ci sono due modi di definire sottospazi:

• insiemi di combinazioni lineari

• soluzioni di equazioni lineari omogenei Un primo esempio: si considerino

e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1).

Allora

L(e₁, e₂) = {a₁e

1 + a₂e

2 : a

1, a₂ ∈ R}

= {(a₁, a₂, 0) : a₁, a₂ ∈ R}

è un sottospazio di R³, uguale a {(x, y, z) ∈ R³ : z = 0}.

Corrisponde al piano xy nello spazio.

Un secondo esempio:

V = n

(x, y, z) ∈ R³ : x + y + z = 0 o

= n

(x, y, z) ∈ R³ : (1 1 1)





 x y z





= (0)o

ha la forma A X = 0

È un sottospazio perché la somma di due soluzioni rimane una soluzione, stessa cosa per il prodotto di una soluzione con λ ∈ R. Se v = (x, y, z) ∈ V , allora z = −x − y e

v = (x, y, −x − y) = x(1, 0, −1) + y(0, 1, −1).

Viceversa, (1, 0, −1), (0, 1, −1) appartengono entrambi a V , stessa cosa qualsiasi loro CL. Segue che

V = L

(1, −1, 0), (0, 1, −1) .

Essendo L I, i due vettori costituiscono una base di V .