Rette nel piano

Esercizi di Algebra Lineare Rette nel piano e nello spazio reale

Anna M. Bigatti 4 ottobre 2012

Rette nel piano

in R² Forma cartesiana Forma parametrica

retta

r : ax + by + c = 0 s :

 x = a t + x0

y = b t + y0

r ⊥ v = (a, b) s k v = (a, b)

passante per P (x0, y0) passante per P (x0, y0) a(x − x0) + b(y − y0) = 0

 x − x0= a t y − y0= b t ((x, y) − P ) · (a, b) = 0 ((x, y) − P ) = t(a, b)

- 6

x y

q

P v



 3

r

J J

J J J JJ

- 6

x y

q

P v



 3

s













Esercizio 1. (*) Sia r la retta nel piano reale di equazione y = 2x − 3 . (a) Determinare un vettore parallelo a r ;

(b) determinare un vettore ortogonale a r ; (c) determinare 3 punti su r ;

(d) scrivere r in forma parametrica;

(e) disegnare r .

Esercizio 2. (*) Nel piano reale sia s la retta s :

 x = 2t + 1

y = −3t + 2 t ∈ R (a) Determinare un vettore parallelo a s ;

(b) determinare un vettore ortogonale a s ; (c) determinare 3 punti su s ;

(d) scrivere s in forma cartesiana;

(e) disegnare s .

Esercizio 3. Siano dati il punto P (−1, 0) e la retta r : x + y + 5 = 0 . Determinare

1

(a) la retta passante per P e parallela a r ; (b) la retta passante per P e perpendicolare a r . Esercizio 4.

r : x + 2y = 2 s : −1/2x − y = −1 r⁰ :

 x = t + 1 y = 2 − t s⁰:

 x = 2 + t y = t (a) per ogni coppia dire se le rette sono perpendicolari o parallele.

(b) Trovare l’intersezione di r e s , di r e r⁰, di r⁰ e s⁰.

Esercizio 5. Scrivere una rappresentazione in forma cartesiana e una in forma parametrica:

(a) della retta passante per A(−2, 3) e B(0, 2) .

(b) della retta passante per A(−2, 3) e parallela a r : x + 2y = 2 . (c) della retta passante per A(−2, 3) e parallela a r : (3t, t − 2) .

Esercizio 6. I punti A(1, 3) , B(−1, 2) , C(4, 5) sono allineati? Se s`ı, determinare la retta che li contiene.

Esercizio 7. I punti A(1, 3) , B(−1, 1) , C(4, 6) sono allineati? Se s`ı, determinare la retta che li contiene.

Esercizio 8. Data la retta r : 2x + y = 0 determinare (a) un punto P su r ;

(b) un punto Q ∈ r non appartenente alla retta s : (t − 2, 1 − t) . (c) una retta r⁰ passante per (0, 0) e non parallela a r .

Esercizio 9. Siano dati il punto P (−2, 3) e la retta r : y − x + 2 = 0 . (a) Determinare la retta s passante per P e perpendicolare a r . (b) Calcolare s ∩ r .

2

Rette nello spazio

in R³ Forma cartesiana Forma parametrica

retta

r:

 ax + by + c + d = 0

a⁰x + b⁰y + c⁰+ d⁰= 0 s:







x = at + x0

y = bt + y0

z = ct + z0

r ⊥ v = (a, b, c) e r ⊥ v⁰= (a⁰, b⁰, c⁰) s k v = (a, b, c)

passante per P (x₀, y₀, z₀) passante per P (x₀, y₀, z₀)

 ((x, y, z) − P ) · v = 0

((x, y, z) − P ) · v⁰= 0 ((x, y, z) − P ) = t · v

Esercizio 10. (*) Scrivere una rappresentazione in forma cartesiana e una in forma parame- trica della retta passante per A(1, −2, 3) e B(−1, 0, 2) .

Esercizio 11. Dati i punti A(1, 1, 0) , B(−1, −1, 2) , C(1, 1, 3) , D(2, 2, 0) (a) sono complanari?

(b) calcolare l’intersezione delle rette r , passante per A e B , e s , passante per C e D . Esercizio 12. Sia data nello spazio la retta r : (3t, t − 2, 1 − t) , determinare

(a) la retta passante per P (0, 1, 2) e parallela alla retta r ;

(b) la retta passante per P (0, 1, 2) , ortogonale (e incidente) alla retta r ; (c) la distanza di P (0, 1, 2) da r .

3

Soluzioni di alcuni esercizi

Esercizio 1: Soluzione

- 6

x y

qqq H j



Sia r la retta di equazione y = 2x − 3 .

(b) Allora 2x − y − 3 = 0 , quindi il vettore v = (2, −1) ⊥ r . (a) Il vettore u = (1, 2) `e ortogonale a v , infatti u · v = 2 − 2 = 0 ,

quindi u `e un vettore parallelo a r (detto anche vettore direzionale di r ).

(c) Per i valori x = 0, 1, 2 ottengo rispettivamente y = −3, −1, 1 . Quindi ho i 3 punti (0, −3) , (1, −1) , (2, 1) sulla retta r .

(d) Per trovare una forma parametrica di r pongo x = t ( t parametro), da cui y = 2t − 3 , quindi r :

 x = t

y = 2t − 3 t ∈ R . Verifica: (1, 2) k r vero! (0, −3) ∈ r vero! ut

Esercizio 2: Soluzione

(a) s : {(2t + 1, −3t + 2) | t ∈ R} quindi s k v = (2, −3) e passa per P (1, 2) .

- 6

x

q y

q q J

J

^

3 J

J J

J J (b) Il vettore u = (3, 2) `e ortogonale a v , infatti u · v = 6 − 6 = 0 ,

quindi u `e un vettore perpendicolare a s .

(c) Per i valori t = −1, 0, 1 ottengo rispettivamente i 3 punti (−1, 5) , (1, 2) , (3, −1) sulla retta r .

(d) Per trovare una forma cartesiana di s ricavo t = ¹₂(x − 1) dalla prima equazione e sostituisco nella seconda: y = −³₂(x − 1) + 2 . Quindi 3x + 2y − 7 = 0 `e una forma cartesiana di s .

Verifica:

- (3, 2) ⊥ s vero;

- P soddisfa l’equazione: 3x + 2y − 7 = 3 · 1 + 2 · 2 − 7 = 0 vero. ut

Esercizio 10: Soluzione

Forma parametrica: un’equazione della retta parallela a (B − A) = (−2, 2, −1) e passante per A(1, −2, 3) `e (x, y, z) = t(−2, 2, −1) + (1, −2, 3) cio`e r :







x = −2t + 1 y = 2t − 2 z = −t + 3

t ∈ R .

Forma cartesiana: Cerco due piani qualsiasi passanti per A e B : ci sono diversi modi!

Cerco due vettori perpendicolari a (B − A) = (−2, 2, −1) ,

per esempio u = (0, 1, 2) e v = (1, 1, 0) , infatti (−2, 2, −1)·(0, 1, 2) = 0 e (−2, 2, −1)·(1, 1, 0) = 0 , quindi

r :

 (x − 1, y + 2, z − 3) · u = 0

(x − 1, y + 2, z − 3) · v = 0 −→ r :

 y + 2z − 4 = 0 x + y + 1 = 0

Verifico: Passaggio per A :

 −2 + 6 − 4 = 0

1 − 2 + 1 = 0 e passaggio per B :

 0 + 4 − 4 = 0

−1 + 0 + 1 = 0 u t

4