solidi a sezione variabile Nelle costruzioni di macchine è frequente l’uso di corpi sollecitati a tra zione o a compressione, che presentano sezioni variabili

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solidi a sezione variabile

Nelle costruzioni di macchine è frequente l’uso di corpi sollecitati a tra

zione o a compressione, che presentano sezioni variabili in modo gra

duale o brusco.

Nei corpi le cui sezioni variano con gradualità, le tensioni si distri

buiscono in modo uniforme in ogni sezione; tuttavia, poiché le sezioni hanno aree differenti, le tensioni assumono valori diversi da sezione a sezione (4Fig. 2.5). Pertanto, la sezione pericolosa da verificare a resi

stenza è quella che ha l’area minore.

Fig. 2.5

Solido a sezione gradualmente variabile, sollecitato a trazione.

Nei corpi che presentano intagli o brusche variazioni di sezione, le ten

sioni non si distribuiscono in modo uniforme, ma si concentrano nelle sezioni S prossime alla discontinuità (4Fig. 2.6).

Quindi, al contorno della sezione ristretta S, la tensione massima σ_max è mag giore della tensione nominale σ_n che si avrebbe con una distri

buzione uni forme; il suo valore è espresso dalla seguente formula:

σ_max = K_tσ_n [2.11]

in cui K_t, detto fattore teorico di concentrazione delle tensioni per effetto di intaglio, o semplicemente fattore di intaglio teorico, è un coefficiente numerico che dipende dalla forma ma non dalle dimen

sioni del corpo in esame.

I valori di K_t sono riportati dai manuali tecnici. Nei diagrammi rap

presentati nella figura 1.22 sono riportati, come esempio, i valori di K_t per due forme di corpi cilindrici che ricorrono di frequente nelle costru

zioni meccaniche.

Osservazione: poiché i valori sperimentali di K_t sono dedotti in campo perfettamente elastico, i materiali fragili, che arrivano a rottura senza quasi presentare deformazioni plastiche, sono molto sensibili al feno- meno della concentrazione delle tensioni. I materiali metallici duttili invece, nel caso di sollecitazioni statiche, non risentono di tale fenomeno, quindi si può considerare K_t = 1. Anche la ghisa grigia, pur essendo un materiale fragile, non risente del fenomeno della concentrazione delle tensioni, poiché sulla resistenza a trazione influisce già negativamente la sua struttura a lamelle.

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La verifica di resistenza consiste nel constatare che sia soddisfatta l’equazione di stabilità:

K_tσ_n ≤σ_ams [2.12]

Fig. 2.6

Andamento delle tensioni lungo il bordo della sezione prossima alla discontinuità per:

a) un corpo cilindrico a sezione circolare con intaglio;

b) un corpo cilindrico a sezione circolare con brusca variazione di sezione, cioè a due diametri raccordati.

influenza del peso dei corpi nel calcolo della tensione

Nei calcoli di progetto, quando le dimensioni di un corpo sono rilevanti, ol tre alle forze esterne si deve tenere conto anche del suo peso.

Si consideri, per esempio, il pilastro rappresentato nella figura 2.7a, sottoposto alla forza di compressione N–, applicata alla sezione libera.

Fig. 2.7

a) Pilastro soggetto alla forza di compressione N–

e al proprio peso.

b) Profilo di un pilastro dimensionato a uniforme resistenza.

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La generica sezione S, posta alla distanza z dall’estremo libero, è sog

getta alla forza N–

z, data dalla forza di compressione N– e dal peso della parte di pilastro che si trova sopra di essa.

Supponendo di realizzare il pilastro a sezione costante di area A, la forza N–

z, a cui esso è sottoposto, vale:

N_z=N+ρg A z [2.16]

in cui A rappresenta l’area della sezione alla distanza z dalla sezione libera, ρ indica la massa volumica del materiale che costituisce il pila

stro, g è l’accelerazione di gravità e il termine (ρ g A z) rappresenta il pe so della parte di pilastro sopra la sezione S.

La conseguente tensione indotta nella sezione S vale:

σ_z ^N ρ

A g z

= + [2.17]

Come si può notare, la tensione aumenta dal valore minimo N/A nella sezione libera (z = 0), al valore massimo:

N

A +ρg h nella sezione di incastro (z = h).

Poiché si è supposto il pilastro a sezione costante, il suo dimensio

namento è effettuato imponendo che la tensione massima, relativa alla sezione di incastro, sia minore o uguale alla tensione ammissibile stati

ca (equazione di stabilità), pertanto si ha:

N

A +ρg h≤σ_ams [2.18]

da cui si ricava il valore dell’area della sezione:

A N

ams g h

≥σ −ρ ^[2.19]

Realizzando il pilastro a sezione costante, tutte le sezioni, tranne quella di incastro, risultano sovradimensionate.

Per un utilizzo più razionale del materiale, si ricorre al dimen- sionamento a uniforme resistenza, ossia si progetta in modo che in ogni sezione trasversale, con area crescente in funzione della di

stanza z, la tensione indotta sia costante e uguale alla tensione am

missibile.

Imponendo la condizione che la tensione indotta σ_z nella sezione S, di area A_z posta alla distanza z dalla sezione libera, sia uguale alla tensione ammissibile, si ottiene:

σ_z ρ σ

z ams

N

A g z

= + =

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da cui si ricava:

A N

z g z

ams

=σ −ρ ^[2.20]

La [2.20] esprime una relazione iperbolica fra le aree A_z delle sezioni e le distanze z; pertanto l’area delle singole sezioni aumenta dalla se

zione libera a quella di incastro e assume la forma rappresentata nella figura 2.7b.

solidi a sezione variabile bruscamente soggetti a sollecitazioni di flessione

Come già osservato per le sollecitazioni di trazione, i corpi costituiti da ma teriali fragili e che presentano rapidi cambiamenti di sezione subisco

no il fenomeno della concentrazione delle tensioni, per cui la tensione mas sima nella zona prossima al cambiamento di sezione vale:

σ_max= K M

t Wf f

dove il fattore di intaglio teorico K_t è ricavato da diagrammi come quelli indicati nella figura 1.22, riportati dai manuali tecnici. I materiali duttili, invece, nel caso di sollecitazioni statiche non risentono di tale fenomeno, per cui non è necessario tenere conto della concentrazione delle tensioni.

Flessione di corpi ad asse curvo

Vi sono organi meccanici ad asse curvo, detti a grande curvatura, il cui raggio di curvatura è di poco maggiore della dimensione della sezio

ne trasversale nel piano dell’asse stesso (4Fig. 2.14).

Fig. 2.14

a) Corpo ad asse curvo.

b) Sezione trasversale rettangolare.

c) Distribuzione delle tensioni nella sezione trasversale.

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Per questi corpi le deformazioni delle fibre sono proporzionali alla loro distanza dall’asse neutro, ma avendo diversa lunghezza proprio a causa della curvatura, non sono tali le loro deformazioni relative ε (rapporto fra la variazione di lunghezza e la lunghezza iniziale); ne consegue che anche le tensioni hanno una distribuzione più complessa di quella delle travi ad asse rettilineo e presentano il valore massimo dalla parte della concavità.

L’asse neutro n non è baricentrico, pertanto, per rendere uguali le tensio ni nelle fibre dalla parte della concavità con quelle dalla parte del

la convessità, è conveniente adottare sezioni che abbiano il baricentro più vicino al lato della concavità, come per esempio i ganci.

La tensione massima che si genera dalla parte della concavità è data dal prodotto della tensione, corrispondente a una trave ad asse rettili

neo, per un parametro K_c detto fattore di curvatura:

σ_max = K M

c Wff [2.48]

Il fattore di curvatura può essere ricavato dal diagramma della figura 2.15, in cui è riportato l’andamento di K_c in funzione del rapporto fra il raggio di curvatura R e l’altezza h della sezione, se la sezione è rettan

golare, o del rapporto fra il raggio di curvatura R e il diametro d, se la sezione è circolare.

Fig. 2.15

Diagramma del fattore di curvatura K_c, per corpi ad asse curvo con sezione rettangolare o circolare.

Si può ottenere il fattore di curvatura anche mediante le seguenti for

mule approssimate:

K h

c= +1 0 4, R [2.49]

e:

K d

c = +1 0 5, R [2.50]

Esempio

Si consideri un corpo ad asse curvo a sezione rettangolare 20 × 10 mm, con la dimensione maggiore nel piano che contiene l’asse del corpo. Cal

co lare il valore della tensione massima generata da un momento flet

tente M_f = 150 000 N mm, sapendo che il raggio di curvatura dell’asse è R = 30 mm.

poliglotta Fattore di curvatura GB: Bending factor F: Facteur de courbure D: Krümmungsfaktor

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Soluzione

La tensione massima nominale vale:

σ_maxⁿ ^f

f

M f

W

M

= = bh = ×

× =

1 6

6 150 000

10 400 225

2

N mm²

Poiché R/h = 1,5, dal diagramma della figura 2.15 si ricava il valore del fattore di curvatura K_c = 1,28; quindi la tensione massima effettiva che si ha dalla parte della concavità vale:

σ_max =K M = , × =

c Wf f

1 28 225 288 N mm² Mediante la [2.49] il fattore di curvatura vale:

K h

c = +1 0 4, R≈1,27 si ottiene la tensione massima effettiva:

σ_max =K M = , × ≈

c Wf f

1 27 225 286 N mm² che è simile al valore precedente.

solidi a sezione variabile bruscamente soggetti a sollecitazioni di torsione

Anche i corpi soggetti a torsione risentono delle variazioni di sezione e subiscono il fenomeno della concentrazione delle tensioni. La tensione massima τ_max, nella zona prossima al cambiamento di sezione, è tanto più grande rispetto a quella nominale, deducibile dalla [2.70], quanto più ridotto è il raggio di raccordo e quanto più grande è il cambiamento di diametro; essa vale:

τ_max = K M

t Wt

t [2.76]

in cui il fattore di intaglio teorico K_t si ricava da diagrammi come quel li indicati nella figura 1.22 (4A1), riportati dai manuali tecnici. Tut tavia, queste concentrazioni delle tensioni sono poco dannose per ma teriali dut

tili soggetti a carichi statici; sono invece pericolose per materiali fragili.

travi a sezione non circolare soggette a torsione

Le ipotesi di deformazione, sulle quali si basa lo studio della sollecitazio ne di torsione nelle travi a sezione circolare, non sono va

lide nel caso di se zioni di forma differente. Tali sezioni, infatti, du

rante la deformazione non rimangono piane, inoltre si deformano nel proprio piano (si “in gob ba no” per così dire). Data la complessità della

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teoria alla base dei calcoli, so no riportati di se guito i principali ri

sultati riguardanti le tensioni tangenziali massime in alcune sezioni utilizzate nelle costruzioni mecca ni che.

sezione rettangolare

Nella figura 2.25 è rappresentata parzialmente la distribuzione della ten

sione tangenziale, lungo le mediane e le diagonali di una sezione rettan

golare. La tensione è nulla al centro G (o in corrispondenza del baricentro G) e negli spigoli; nei punti mediani P e P' dei lati maggiori si ha il valore massimo della tensione τ_max, mentre nei punti medi Q e Q' dei la ti mi

nori si hanno tensioni elevate, ma non massime. Lungo le diagonali la tensione cresce fino a raggiungere un valore massimo, poi diminuisce, an nullandosi ai vertici.

Fig. 2.25

Rappresentazione parziale della distribuzione delle tensioni interne τ

in una sezione rettangolare di lato

maggiore a e lato minore b. '

'

Il valore della tensione massima, nei punti P e P' è dato dalla seguente relazione:

τ_max =α M

ab^t² [2.79]

in cui α è un fattore che dipende dal rapporto a/b fra i lati della sezione e che assume i valori indicati nella tabella 2.3, calcolati da De Saint Venant.

a/b 1,0 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 2,0 3,0 4,0 5,0 10 20 α 4,804 4,57 4,48 4,40 4,33 4,27 4,21 4,16 4,07 3,74 3,55 3,43 3,20 3,10 γ 7,114 6,02 5,65 5,35 5,11 4,91 4,74 4,60 4,37 3,80 3,56 3,43 3,20 3,10

Tabella 2.3 Coefficienti α e γ per alcuni valori del rapporto fra il lato maggiore a e quello minore b di una sezione rettangolare

Si osservi che per a/b ≥ 4, si ha α = γ.

Il valore di α può essere ricavato anche con la seguente espressione ap pros simata:

α= +3 1 8, b [2.80]

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Per la sezione rettangolare, il modulo di resistenza a torsione W_t si es

pri me come:

W ab

b a

t = +

2

3 1 8, [2.81]

Nei punti medi Q e Q' dei lati minori, il valore della tensione τ₁ è dato dalla seguente relazione:

τ₁=β M₂ ab

t [2.82]

dove il fattore β, funzione del rapporto a/b, si ricava dalla relazione:

β=2 2 2 6, + , b

a [2.83]

Per la sezione quadrata (a/b = 1), il valore della tensione τ₁diminuisce, passando da τ₁ = τ_maxal valore:

0,742 τ_max per a/b ≥ 4

L’angolo di torsione ϑ, che si genera fra due sezioni poste alla distanza l, si esprime mediante la seguente relazione:

ϑ γ= M l G ab

t 3 [2.84]

in cui il fattore γ, detto fattore di torsione, è un altro coefficiente nu

merico, funzione del rapporto a/b, che può essere ricavato dalla tabella 2.3 o dalla seguente formula approssimata:

γ =

− 3

0 63 a a b

b , [2.85]

sezione ellittica

Indicando con a e b rispettivamente il semiasse maggiore e quello mino

re dell’ellisse, la tensione è massima nei punti estremi dell’asse minore (4Fig. 2.26).

Il valore della tensione massima è:

τ^max⁼π 2

2

M

ab^t [2.86]

Il modulo di resistenza a torsione, per la sezione ellittica, vale:

W ab

t =π ²

2 [2.87]

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Fig. 2.26

Rappresentazione parziale della distribuzione delle tensioni interne τ in una sezione ellittica di semiasse maggiore a e semiasse minore b.

Nei punti estremi dell’asse maggiore, la tensione si esprime con la se

guente formula:

τ₁= bτ

a ^max [2.88]

L’angolo di torsione ϑ, che si genera fra due sezioni poste alla distanza l, è dato dalla relazione:

ϑ ⁼ ⁺+ π

a b

M l G

2 2 t

3 3 [2.89]

sezione anulare di piccolo spessore

Si consideri una sezione anulare cava, con contorno di forma qualunque e spessore s, costante o variabile. Se lo spessore è piccolo rispetto alle di

men sioni della sezione, la tensione è uniforme nei suoi vari punti. Nella figura 2.27a è rappresentato il caso con spessore variabile.

Le tensioni maggiori sono concentrate nei punti A e B, dove si ha lo spes

sore mi nore s₀.

Si dimostra che la capacità di resistenza alla torsione della se zio ne considerata è uguale a quella di una corona circolare, di spessore s₀ e diametro medio d_m, che racchiude una superficie di area uguale a quella racchiusa dal contorno medio della sezione assegnata (4Fig. 2.27b, c).

Pertanto, tracciata la linea media l_m, fra il contorno esterno e quello in

terno della superficie in esame, si calcola l’area A_m da essa racchiusa e si disegna la corona circolare di diametro medio d_m, che racchiude una superficie di uguale area A_m.

La corona circolare ha le seguenti caratteristiche:

d A

m = 4 m

π ^;^d^e^{= d}^m^{+ s}⁰^{; d}ⁱ^{= d}^m^{- s}⁰

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Fig. 2. 27

a) Sezione anulare cava, con contorno chiuso di forma qualunque e spessore s variabile da s₀ a s₁. b) Superficie di area A_m racchiusa dal contorno medio l_m fra i due contorni, esterno e interno, della sezione assegnata.

c) Sezione circolare cava, il cui diametro medio d_m racchiude una superficie di area uguale a quella racchiusa dal contorno medio l_m della sezione assegnata.

La tensione tangenziale massima vale:

τ_max= M A s_m^t

2 ₀ [2.90]

e il modulo di resistenza a torsione W_t risulta:

W_t =₁₆^π d_e³

(

¹−^χ⁴

)

^≈²A s_m ⁰ ^[2.91]

con χ = d_i/d_e.

Nel caso di spessore s costante, il valore dell’angolo di torsione che si ge nera fra due sezioni poste alla distanza l è:

ϑ = M l G A s^{t m} l

4 m² [2.92]

sezioni a contorno aperto

Appartengono a questa categoria le travi a parete sottile, con sezione circolare cava, a contorno aperto (4Fig. 2.28a) e le sezioni composte da rettangoli, come i profilati rappresentati nella figura 2.28b.

La teoria dell’elasticità dimostra che le tensioni e l’angolo di tor

sione di una trave a sezione rettangolare molto allungata non cambia

no sensibilmente se, a parità di mo men to torcente M_t, la sezione viene piegata in modo da formare le sezioni della figura 2.28a, b. Perciò la capacità di resistenza di queste travi è la stessa di quella della trave a sezione rettangolare di lunghezza l_m e spessore s, uguali rispettiva

mente alla lunghezza media e allo spessore della se zio ne considerata (4Fig. 2.28c).

Pertanto, il valore della tensione tangenziale massima, per queste se zio ni, è dato dall’espressione:

τ_max= 3

2

M l s

t m

[2.93]

e il modulo di resistenza vale:

W l s

t = m ²

3 [2.94]

(11)

Fig. 2.28

Esempi di sezioni a contorno aperto:

a) sezione circolare cava a contorno aperto;

b) sezioni di alcuni profilati;

c) rettangolo di spessore s e lunghezza l_m, equivalente alla lunghezza media sviluppata di una sezione a contorno aperto.

Se lo spessore della sezione non è costante, nella [2.93] si pone un valore medio s_m, dato dal rapporto fra l’area A della sezione e la sua lunghezza media l_m:

s A

m l

m

=

L’angolo di torsione fra due sezioni poste alla distanza l si ricava dalla seguente relazione:

ϑ = 3

2

M G l s^t l

m [2.95]

Il contorno aperto della sezione di un corpo riduce molto la capacità di resistenza a torsione del corpo e ancora di più la sua rigidezza; per cui, se possibile, è da evitarne l’uso.

sezione a forma di triangolo equilatero

In una sezione a forma di triangolo equilatero, la tensione varia come indicato nella figura 2.29. Indicando con a il lato del triangolo, la tensione massima τ_max, nei punti medi dei lati e l’angolo di torsione ϑ fra due sezioni poste alla distanza l, sono dati da:

τ_max= 20M₃ a

t [2.96]

e:

ϑ = 46 188, M₄

G a^t l [2.97]

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Fig. 2.29

Rappresentazione parziale della distribuzione delle tensioni interne τ in una sezione triangolare di lato a.

sezione semicircolare

Si consideri la sezione semicircolare rappresentata dalla figura 2.30.

La tensione è massima nel punto medio del diametro e vale:

τ_max = 2 87, M₃

r^t [2.98]

l’angolo di torsione fra due sezioni poste alla distanza l vale:

ϑ= 3 38, M₄

G r^t l [2.99]

Esempio 1

Si vuole calcolare la massima tensione tangenziale in una barra rettan

golare, di lati a = 24 mm e b = 18 mm, sottoposta a un momento torcente M_t = 48 000 N mm. Determinare inoltre il valore della tensione nei punti medi dei lati minori.

Soluzione

Essendo b/a = 0,75, dalla [2.80] si ottiene:

α= +3 1 8, b= +3 1 8 0 75 4 35, × , = , a

La tensione massima è concentrata nei punti medi dei lati maggiori e il suo valore si ricava dalla [2.79]:

τ_max=α = , ,

× =

M ab

t2 4 35 48 0002

24 18 26 8 N

mm²

Nei punti medi dei lati minori si ha la tensione τ₁, data dalla [2.82]:

τ₁=β M₂ ab

t Fig. 2.30

Rappresentazione di una sezione semicircolare.

(13)

dove:

β=2 2 2 6, + , b=2 2 2 6 0 75 4 15, + , × , = , a

pertanto il valore della tensione è:

τ₁ 4 15 48 000₂

24 18 25 6

= , × = , N

mm²

Esempio 2

Una trave ha la sezione a U (4Fig. 2.31). Calcolare il valore del mo men to torcente massimo, applicabile alla trave in condizioni di sicurezza, consi

derando una tensione tangenziale ammissibile τ_ams = 80 N/mm². Soluzione

Lo sviluppo della sezione è:

l_m = 640 mm La sua area vale:

A = 2 × 20 × 165 + 10 × 300 = 9600 mm²

Poiché lo spessore della sezione non è costante, si considera lo spessore medio s_m:

s_m =A l_m =9600=

640 15 mm

Dalla [2.93] si ricava il valore massimo del momento torcente, sostituen

do lo spessore medio s_m e τ_ams a τ_max:

τ_ams ^t

m m

M

= l s3

2

quindi si ha:

M l s

t =τams m m² =

3 384 000 N mm

Fig. 2.31

Sezione di una trave a U.

(14)

21,3

1,2 0,7578 0,5948 0,3840 0,3606 0,7179 1,6 0,9902 0,7773 0,4835 0,4540 0,6988 2,0 1,213 0,9519 0,5707 0,5359 0,6860 2,3 1,373 1,078 0,6286 0,5902 0,6767 3,2 1,820 1,428 0,7684 0,7215 0,6499

26,9

1,2 0,9689 0,7606 0,8017 0,5960 0,9096 1,6 1,272 0,9983 1,022 0,7585 0,8963 2,0 1,565 1,228 1,220 0,9073 0,8832 2,3 1,778 1,395 1,356 1,008 0,8735 2,6 1,985 1,558 1,482 1,102 0,8640 3,2 2,383 1,870 1,703 1,266 0,8455

33,7

1,2 1,225 0,9618 1,620 0,9614 1,150 1,6 1,614 1,267 2,083 1,236 1,136 2,0 1,992 1,564 2,512 1,491 1,123 2,6 2,540 1,994 3,093 1,835 1,103 3,2 3,066 2,407 3,605 2,139 1,064 4,0 3,732 2,930 4,190 2,487 1,060

42,4

1,2 1,553 1,219 3,298 1,556 1,457 1,6 2,051 1,610 4,274 2,016 1,444 2,0 2,528 1,993 5,192 2,449 1,430 2,6 3,251 2,552 6,464 3,049 1,410 3,2 3,941 3,094 7,620 3,594 1,391 4,0 4,825 3,788 8,991 4,241 1,365 Diametro

esterno D [mm]

Spessore s [mm]

Area sezione

[cm²]

Massa lineica [kg/m]

Assi diametrali I

[cm⁴] W

[cm³] ρ

[cm]

Tabella 2.11 Profilati cavi circolari (designazione: profilato cavo circolare D × s UNI 7811; esempio di profilato cavo circolare 21,3 × 1,2 UNI 7811)

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20×20

1,2 0,8530 0,6696 0,4859 0,4859 0,7548 1,6 1,090 0,8554 0,5855 0,5855 0,7330 2,0 1,303 1,023 0,6577 0,6577 0,7106

30×30

1,2 1,333 1,046 1,805 1,204 1,164 1,6 1,730 1,358 2,259 1,506 1,143 2,0 2,103 1,651 2,644 1,763 1,121 2,6 2,617 2,055 3,101 2,067 1,088

40×40

1,2 1,813 1,423 4,483 2,241 1,572 1,6 2,370 1,860 5,706 2,853 1,552 2,0 2,903 2,279 6,802 3,401 1,531 2,6 3,675 2,871 8,216 4,108 1,499 3,2 4,359 3,422 9,368 4,684 1,466 4,0 5,211 4,090 10,52 5,262 1,421

50×50

1,6 3,010 2,363 11,57 4,627 1,960 2,0 3,703 2,907 13,93 5,572 1,940 2,6 4,697 3,688 17,10 6,842 1,908 3,2 5,639 4,426 19,85 7,939 1,876 4,0 6,811 5,346 22,87 9,149 1,833 5,0 8,142 6,391 25,69 10,28 1,776 Lato L

[mm]

Spessore s [mm]

Area sezione

[cm²]

Asse x-x = asse y-y I

[cm⁴] W

[cm³]

ρ [cm]

Tabella 2.12 Profilati cavi quadrati sagomati a freddo, saldati (designazione: profilato cavo quadrato L × L × s UNI 7812; esempio di profilato cavo quadrato 20 × 20 × 2,0 UNI 7812)

(16)

40 20

1,2 1,333 1,046 2,676 1,338 1,417 0,9106 0,9106 0,8265 1,6 1,730 1,358 3,345 1,673 1,391 1,129 1,129 0,8078 2,0 2,103 1,651 3,911 1,956 1,364 1,308 1,308 0,7888 2,6 2,617 2,055 4,573 2,287 1,322 1,513 1,513 0,7602

50 30

1,2 1,813 1,423 6,139 2,456 1,840 2,801 1,868 1,243 1,6 2,370 1,860 7,817 3,127 1,816 3,551 2,367 1,224 2,0 2,903 2,279 9,320 3,728 1,792 4,215 2,810 1,205 2,6 3,657 2,871 11,26 4,503 1,754 5,059 3,372 1,176 3,2 4,359 3,422 12,83 5,131 1,716 5,732 3,821 1,147 4,0 5,211 4,090 14,39 5,754 1,662 6,386 4,258 1,107

60 40

1,6 3,010 2,363 15,02 5,008 2,234 8,067 4,033 1,637 2,0 3,703 2,907 18,10 6,033 2,211 9,692 4,846 1,618 2,6 4,697 3,688 22,23 7,411 2,176 11,86 5,929 1,589 3,2 5,639 4,426 25,81 8,603 2,139 13,71 6,856 1,559 4,0 6,911 5,346 29,74 9,913 2,090 15,73 7,864 1,520 5,0 8,142 6,391 33,38 11,13 2,025 17,57 8,786 1,469

80 40

1,6 3,650 2,865 30,36 7,590 2,884 10,43 5,214 1,690 2,0 4,503 3,535 36,80 9,201 2,859 12,58 6,292 1,672 2,6 5,737 4,504 45,65 11,41 2,821 15,50 7,751 1,644 3,2 6,919 5,431 53,53 13,38 2,781 18,06 9,029 1,616 4,0 8,411 6,602 62,58 15,64 2,728 20,93 10,47 1,578 5,0 10,14 7,961 71,65 17,91 2,658 23,74 11,87 1,530

I_x [cm⁴]

ρ_x [cm]

W_x

[cm³] I_y

[cm⁴] ρ_y

W_y [cm]

[cm³]

Tabella 2.13 Profilati cavi rettangolari sagomati a freddo, saldati (designazione:

profilato cavo rettangolare a × b × s UNI 7813 esempio: profilato cavo rettangolare 50 × 30 × 3,2 UNI 7813)

Asse x-x Asse y-y

a

[mm] b

[mm] s

[mm]

Area sezione

[cm²]

(17)

5 0,196 0,154 32 8,04 6,31 85 56,7 44,5 6 0,293 0,222 34 9,08 7,13 88 60,8 47,7 7 0,385 0,302 35 9,62 7,55 90 63,6 49,9 8 0,503 0,395 36 10,2 7,99 95 70,9 55,6 9 0,636 0,499 37 10,8 8,44 100 78,5 61,7 10 0,785 0,617 38 11,3 8,90 105 86,6 68,0 11 0,950 0,746 40 12,6 9,86 110 95,0 74,6 12 1,13 0,888 42 13,9 10,9 115 104 81,5 13 1,33 1,04 45 15,9 12,5 120 113 88,8 14 1,54 1,21 48 18,1 14,2 125 123 96,3 15 1,77 1,39 50 19,6 15,4 130 133 104 16 2,01 1,58 52 21,2 16,7 135 143 112 17 2,27 1,78 53 22,1 17,3 140 154 121 18 2,54 2,00 55 23,8 18,7 145 165 130 19 2,84 2,23 58 26,4 20,7 150 177 139 20 3,14 2,47 60 28,3 22,2 155 189 148 21 3,46 2,72 63 31,2 24,5 160 201 158 22 3,80 2,98 65 33,2 26,0 170 227 178 23 4,15 3,26 68 36,3 28,5 180 254 200 24 4,52 3,55 70 38,5 30,2 190 284 223 25 4,91 3,85 73 41,9 32,9 200 314 247 26 5,31 4,17 75 44,2 34,7 210 346 272 27 5,73 4,49 78 47,8 37,5 220 380 298

28 6,16 4,83 80 50,3 39,5 — — —

30 7,07 5,55 83 54,1 42,5 — — —

È preferibile adottare le dimensioni in carattere neretto Diametro

d [mm]

Area sezione

[cm²]

Diametro d [mm]

Area sezione

[cm²]

Diametro d [mm]

Area sezione

[cm²]

Tabella 2.14 Barre tonde di uso generale

(18)

6 0,36 0,283 18 3,24 2,54 40 16,0 12,6 7 0,49 0,385 19 3,61 2,83 45 20,3 15,9 8 0,64 0,502 20 4,00 3,14 50 25,0 19,6 9 0,81 0,636 22 4,84 3,80 55 30,3 23,7 10 1,00 0,785 25 6,25 4,91 60 36,0 28,3 11 1,21 0,950 26 6,76 5,31 70 49,0 38,5 12 1,44 1,13 28 7,84 6,15 80 64,0 50,2 13 1,69 1,33 30 9,00 7,07 90 81,0 63,6 14 1,96 1,54 32 10,2 8,04 100 100 78,5 15 2,25 1,77 35 12,3 9,62 120 144 113 16 2,56 2,01 38 14,4 11,3 130 169 133

Lato d [mm]

Area sezione

[cm²]

Lato d [mm]

Area sezione

[cm²]

Lato d [mm]

Area sezione

[cm²]

Massa lineica

p [kg/m]

Tabella 2.15 Barre a sezione quadrata di lato d

Spessore s [mm]

Massa lineica

p [kg/m]

Tabella 2.16 Barre a sezione esagonale di spessore s

4 0,109 14 1,330 41 11,40

5 0,170 17 1,96 46 14,40

6 0,245 19 2,45 50 17,00

7 0,333 22 3,29 55 20,60

8 0,435 24 3,92 60 24,50

9 0,551 27 4,96 65 28,70

10 0,680 30 6,12 70 33,30

11 0,823 32 6,96 75 38,20

12 0,979 36 8,81 80 43,50

(19)

Larghezza

[mm]

10 0,236 0,314 0,393

12 0,283 0,377 0,471 0,565 0,754 14 0,330 0,440 0,550 0,659 0,879 16 0,377 0,502 0,628 0,754 1,00 1,26 18 0,424 0,565 0,707 0,848 1,13 1,41

20 0,471 0,628 0,785 0,942 1,26 1,57 1,88 2,36 22 0,518 0,691 0,864 1,04 1,38 1,73 2,07 2,59 25 0,589 0,785 0,981 1,18 1,57 1,96 2,36 2,94 30 0,707 0,942 1,18 1,41 1,88 2,36 2,83 3,53 4,71

35 1,10 1,37 1,65 2,20 2,75 3,30 4,12 5,50 6,87 40 1,26 1,57 1,88 2,51 3,14 3,77 4,71 6,28 7,85 45 1,41 1,77 2,12 2,83 3,53 4,24 5,30 7,07 8,83 50 1,57 1,96 2,36 3,14 3,93 4,71 5,89 7,85 9,81 11,8 55 1,73 2,16 2,59 3,45 4,32 5,18 6,48 8,64 10,8 13,0 60 1,88 2,36 2,83 3,77 4,71 5,65 7,07 9,42 11,8 14,1 18,8 65 2,04 2,55 3,06 4,08 5,10 6,12 7,65 10,2 12,8 15,3 20,4 70 2,20 2,75 3,30 4,40 5,50 6,59 8,24 11,0 13,7 16,5 22,0 27,5 75 2,36 2,94 3,53 4,71 5,89 7,07 8,83 11,8 14,7 17,7 23,6 29,4 80 2,51 3,14 3,77 5,02 6,28 7,54 9,42 12,6 15,7 18,8 25,1 31,4 90 3,53 4,24 5,65 7,07 8,48 10,6 14,1 17,7 21,2 28,3 35,3 100 3,93 4,71 6,28 7,85 9,42 11,8 15,7 19,6 23,6 31,4 39,3 110 5,18 6,91 8,64 10,4 13,0 17,3 21,6 25,9 34,5 43,2 120 5,65 7,54 9,42 11,3 14,1 18,8 23,6 28,3 37,7 47,1 130 6,12 8,16 10,2 12,2 15,3 20,4 25,5 30,6 40,8 51,0 140 8,79 11,0 13,2 16,5 22,0 27,5 33,0 44,0 55,0 150 9,42 11,8 14,1 17,7 23,6 29,4 35,3 47,1 58,9 40 25

12 15

10 8

6 5

3 4 20 30 50

Spessore [mm]

Massa lineica [kg/m]

Tabella 2.17 Barre piatte di uso generale

(20)

0,1 0,785 0,89 0,72 2,4 18,84 21,36 17,28 0,2 1,570 1,78 1,44 2,6 20,41 23,14 18,72 0,3 2,3 552,67 2,16 2,8 21,98 24,92 20,16 0,4 3,140 3,56 2,88 3,0 23,55 26,70 21,60 0,5 3,925 4,45 3,60 3,2 25,12 28,48 23,04 0,6 4,710 5,34 4,32 3,4 26,69 30,26 24,48 0,7 5,495 6,23 5,04 3,6 28,26 32,04 25,92 0,8 6,280 7,12 5,76 3,8 29,83 33,82 27,36 0,9 7,065 8,01 6,48 4,0 31,40 35,60 28,8 1,0 7,850 8,90 7,20 4,5 35,32 39,77 32,4 1,2 9,420 10,68 8,64 5 39,25 44,50 36,0 1,4 10,99 12,46 10,0 86 47,10 53,40 43,2 1,6 12,56 14,24 11,52 7 54,95 62,30 50,4 1,8 14,13 16,02 12,96 8 62,80 71,20 57,6 2,0 15,70 17,80 14,40 9 70,65 80,10 64,8 2,2 17,27 19,58 15,84 10 78,50 89,00 72,0 Spessore

s [mm]

Acciaio Rame Zinco Spessore Acciaio Rame s

[mm] Zinco

Tabella 2.18 Massa [kg/m²] delle lamiere di spessore s

(21)

l’Unità didattica in breve a2

sollecitazioni assiali di trazione o compressione

Si ha una sollecitazione semplice di trazione quando in qualunque sezione trasversale di un corpo agisce solo una forza normale N–

, ossia quando la risultante delle forze applicate ha la linea di azione coincidente con l’asse geometrico del corpo e tende ad allungare le fibre longitudinali.

Considerando l’ipotesi della conservazione delle sezioni piane, secon

do cui le sezioni trasversali si spostano parallelamente a se stesse, per effetto delle deformazioni generate dalle forze esterne, le fibre longitudi

nali della trave risultano ugualmente tese, cioè subiscono lo stesso allun

gamento totale ∆l e lo stesso allungamento relativo ε. Pertanto, secondo la leg ge di proporzionalità fra tensioni e deformazioni (legge di Hooke), an che le tensioni interne σ assumono lo stesso valore in tutti i pun ti della se zio ne.

Ricavato il valore della tensione massima agente sul corpo in esa

me e assumendo un’opportuna tensione ammissibile statica σ_ams (o carico di sicurezza), dipendente dal materiale, affinché un corpo possa resistere alle sollecitazioni esterne, la tensione massima non dev’essere mag giore dalla tensione ammissibile.

Le formule ricavate per le sollecitazioni di trazione sono valide anche per le sollecitazioni di compressione; si differenziano solo per il verso del

le sollecitazioni, delle deformazioni e delle tensioni che, per convenzione, si indicano positivi nel caso di trazione, negativi nel caso di compressione.

Si noti che alcuni materiali, per esempio la ghisa, hanno due diversi carichi di rottura a trazione e a compressione; quindi la tensione am

missibile a trazione è diversa da quella a compressione. Molti altri ma

teriali, come per esempio l’acciaio, presentano lo stesso comportamento a trazione e a compressione, di conseguenza la tensione ammissibile a trazione e quella a compressione si possono considerare coincidenti.

Quando un corpo, per effetto di una sollecitazione assiale, è soggetto a una variazione di lunghezza ∆l, corrispondente a una deformazione relativa longitudinale ε, esso subisce contemporaneamente delle defor- mazioni relative trasversali nelle direzioni ortogonali alla direzione del la sollecitazione assiale e di verso opposto a ε.

In un corpo, soggetto a variazioni di temperatura, si generano tensio

ni normali che vanno a sommarsi a quelle dovute ai carichi applicati. In un corpo, una variazione di temperatura ∆t determina una variazione di lunghezza ∆l, funzione della lunghezza iniziale, della variazione di tem

peratura e del coefficiente di dilatazione, o contrazione termica lineare.

sollecitazioni di flessione

La sollecitazione di flessione si verifica quando, delle sei caratte

ristiche di sollecitazione che possono agire sulla sezione generica di una trave, è presente solo il momento flettente M_f, costante in tutte le sezioni e giacente in un piano che contiene il suo asse longitudinale.

(22)

Ap pli can do quindi due coppie di forze uguali, contrarie e di momento M_f alle estremità di una trave a sezione costante, questa si deforma e il suo asse geometrico assume la forma di un arco di circonferenza.

Il piano delle coppie è detto piano di sollecitazione e la retta d’in

tersezione fra questo piano e quello della sezione considerata è deno

minata asse di sollecitazione. Per effetto delle coppie, le fibre lon

gitudinali della trave, poste dalla parte della concavità, sono soggette a compressione, quindi si accorciano, mentre quelle dalla parte della convessità sono sottoposte a trazione, perciò si allungano. Le fibre poste all’altezza del baricentro della sezione considerata mantengono la stessa lunghezza; la loro traccia, rappresentata dalla perpendicolare all’asse di sollecitazione, è denominata asse neutro.

L’equazione di deformazione a flessione mostra come la cur

vatura è tanto più grande quanto più grande è il momento flettente e quanto più piccolo è il modulo di elasticità (materiale più deformabile).

Inol tre si può notare l’influenza del momento quadratico della sezione:

la curvatura è tanto minore quanto maggiore è la rigidità a flessione della trave.

La tensione interna σ che si genera in ogni punto della sezione tra

sversale della trave, lungo la direzione normale all’asse neutro, è nulla in corrispondenza dell’asse neutro; inoltre, in una sezione generica, le tensioni presentano un andamento lineare triangolare. I valori massimi di tensione a trazione (σ_max) e a compressione (σ'_max) si concentrano nei punti più lontani dall’asse neutro, dove la distanza è massima e sono ricavati in funzione dei moduli di resistenza della sezione.

Nei calcoli di verifica occorre accertare che le tensioni massime σ_max, in dot te nelle sezioni della trave in esame, non siano maggiori delle ten

sioni ammissibili σ_ams.

In generale una coppia flettente di momento M_f può agire in un piano qualunque (piano di sollecitazione) passante per l’asse longitu

dinale di una trave; se l’asse di sollecitazione, perpendicolare al vetto

re momento M_f, non è un asse di simmetria della sezione della trave, allora si parla di flessione deviata. In questo caso, il vettore M_f può essere scomposto in due coppie M_fz e M_fy, considerando separatamente le deformazioni e le tensioni indotte da ciascuna delle coppie in ogni punto della sezione. Nei limiti di validità della legge di Hooke, si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti, ottenendo la de

formazione generata da M_f e la conseguente tensione, come somma algebrica delle deformazioni e delle tensioni indotte dai momenti M_fz e M_fy, agenti separatamente.

Vi sono organi meccanici ad asse curvo, detti a grande curvatu- ra, il cui raggio di curvatura è di poco maggiore della dimensione della sezione trasversale nel piano dell’asse stesso. Per questi corpi l’asse neutro n non è baricentrico e, per rendere uguali le tensioni nelle fi

bre dalla parte del la concavità con quelle dalla parte della convessità, è conveniente adottare sezioni che abbiano il baricentro più vicino al lato della concavità, co me per esempio i ganci. La tensione massima generata dalla parte della con cavità è data dal prodotto della tensione corrispondente a una trave ad asse rettilineo, per un parametro detto fattore di curvatura.

solidi a sezione variabile Nelle costruzioni di macchine è frequente l’uso di corpi sollecitati a tra­ zione o a compressione, che presentano sezioni variabili