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5. L’equazione delle onde armoniche
Cosa si intende per onda armonica?
Diremo che un’onda è armonica se il movimento che la produce è un’oscillazione armonica. Ad esempio una lamina ancorata ad un estremo, quando vibra oscilla di moto armonico. Le onde armoniche sono importanti perché costituiscono una sorta di alfabeto. Le onde generiche possono infatti essere immaginate come l’effetto risultante della sovrapposizione di tante onde armoniche con varie frequenze.
Cosa si intende per equazione di un‘onda?
L’equazione dell’onda è una formula che permette di esprimere in ogni punto dello spazio e per ogni istante di tempo la grandezza fisica che è stata perturbata e sta viaggiando. Ad esempio nel caso delle onde su di una corda, si tratta dell’altezza y di cui ciascun pezzetto si solleva rispetto alla posizione di equilibrio mentre l’onda sta passando. Nel caso del suono sarà piuttosto la variazione nella densità del materiale rispetto al valore medio.
Come si ricava l’ equazione di un‘onda armonica?
Procederemo considerando una corda tesa il cui capo libero viene fatto oscillare di moto armonico. Il punto iniziale della corda, ove poniamo l’origine degli assi, avrà quindi un’altezza y0 che cambia nel tempo come fa la proiezione lungo le ordinate di un moto circolare uniforme di raggio A e velocità angolare .
Risulta quindi y t0( )Asin, ed essendo 2
t t
T
otteniamo:
0
( ) sin2
y t A t
T
Consideriamo ora un qualunque punto a destra dell’origine, segnato con x in figura: ogni impulso vi giungerà dopo un certo intervallo di tempo t. Se l’onda viaggia con velocità v abbiamo:
v t x t x
v
y +A
-A 0
Asin
x
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Di conseguenza il punto x ha, nell’ istante t, l’altezza y che il punto x 0 aveva t secondi prima e cioè all’istante t t :
( ) 0( ) y t y t t
da cui si ottiene la posizione in funzione del tempo di un generico punto sulla corda:
( ) sin2
y t A t t
T
.
Sostituendo la relazione x t v
otteniamo 2
( ) sin x
y t A t
T v
e ricordando che vT :
2 2
( , ) sin
y x t A t x
T
che è l’equazione di un’onda armonica sulla corda e che, nota la posizione x di un suo pezzettino, ne fornisce la quota y per ogni lettura t di orologio.
Cosa esprime l’equazione dell’onda se fissiamo la coordinata x?
L’espressione trovata ha la doppia dipendenza dal tempo e dalla posizione. Se in essa si fissa il valore di x otteniamo y t( )Asin2Tt costante che
fornisce l’andamento in funzione del tempo dell’altezza del punto, cioè la legge oraria della porzione di corda che occupa la posizione x.
Cosa esprime l’equazione dell’onda se fissiamo il tempo t?
Se viceversa si fissa il valore di t , otteniamo l’altezza della corda in funzione della posizione: y x( )Asincostante2x e cioè una foto della corda all’istante .
Cosa si intende per fase dell’onda?
La grandezza:
2 2
t x
T
si dice fase dell’onda. Essa varia con la distanza percorsa dall’onda e con il tempo trascorso. Osserviamo che se incrementiamo il tempo di un periodo o la posizione di una lunghezza d’onda si ha:
t t T 2 2 2 2
2
fase t T x t x
T T
x x fase 2 t 2 x 2 t 2 x 2
T T
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e quindi valgono le definizioni:
:
T tempo che deve trascorrere affinché la fase dell’onda vari di 2
:distanza che l’onda deve attraversare affinché la sua fase vari di 2
Abbiamo poi che se il tempo trascorso è 1s la fase è variata di 2T, mentre se lo spazio percorso dall’onda è 1m la fase è variata di 2 . Pertanto si definisce:
Numero d’onda: k 2 quantità di cui varia la fase nell’unità di percorso Pulsazione: 2T quantità di cui varia la fase nell’unità di tempo
così che l’equazione delle onde si scrive anche: y x t( , )Asintkx
Esistono altri modi di scrivere l’equazione della stessa onda?
Il valore che la fase assume per t 0 viene detto fase iniziale. Esso è determinato dalla posizione che il capo della corda ha in x 0 quando iniziano le oscillazioni. In conseguenza di tale valore l’equazione delle onde armoniche assume altre espressioni, che sono del tutto equivalenti a quella qui trovata. Ad esempio se la corda parte dal punto più in basso (fase iniziale 2, quindi per t 0;x 0 si deve avere yAsin 2 ):
2 2 2 2
( , ) sin cos
y x t A t x 2 A t x
T T
essendo sin cos
2
x
2
A
A
