1. Sia k · k la norma euclidea su R 2 e poniamo 0 := (0, 0) ∈ R 2 . Definiamo quindi

(1)

Esame di Geometria 1

Anno Accademico 2012/2013

12 Giugno 2013

Svolgere i seguenti esercizi giustificando le risposte.

1. Sia k · k la norma euclidea su R ² e poniamo 0 := (0, 0) ∈ R ² . Definiamo quindi

d : R ² × R ² −→ R, (P, Q) 7−→







kP − 0k + kQ − 0k se P 6= Q,

0 altrimenti.

(a) Provare che d ` e una metrica su R ² .

(b) Sia P ∈ R ² r {0}; descrivere i dischi aperti D (R

²

,d) (P, r) con r < kP − 0k.

(c) Descrivere i dischi aperti D _(R

²

_,d) (0, r) con r > 0.

(d) Lo spazio metrico (R ² , d) ` e compatto? ` E connesso?

(e) Quali sono i sottoinsiemi densi di (R ² , d)? Stabilire se (R ² , d) ` e separabile.

(f) Descrivere le successioni convergenti in (R ² , d).

(g) Stabilire se (R ² , d) ` e completo.

2. Sia X := {2, 3, 4, . . . } l’insieme dei numeri interi ≥ 2 e per ogni n ∈ X poniamo U _n := m ∈ X | m divide n .

(a) Mostrare che la famiglia {U n } _n∈X ` e la base per una topologia τ su X.

(b) Lo spazio topologico (X, τ ) ` e T ₀ ? ` E T ₁ ? ` E T ₂ ?

(c) Lo spazio topologico (X, τ ) ` e compatto? ` E localmente compatto?

(d) Lo spazio topologico (X, τ ) ` e connesso? ` E localmente connesso?

Consideriamo la relazione di equivalenza ∼ su X tale che m ∼ n se m − n ` e pari.

(e) Descrivere la topologia quoziente su X/ ∼.

(Gira il foglio)

(2)

3. Sia (X, d) uno spazio metrico. Definiamo il diametro di un sottoinsieme (non vuoto) C di X come

diam(C) := supd(x, y) | x, y ∈ C . (a) Mostrare che se C ` e compatto allora diam(C) < +∞.

(b) Provare che (X, d) ` e completo se e solo se per ogni successione decrescente F ₀ ⊃ · · · ⊃ F _n ⊃ · · ·

di sottoinsiemi chiusi e non vuoti di X tali che lim

n→+∞ diam(F n ) = 0 si ha

\

n∈N

F n 6= ∅.

(Suggerimento: Per dimostrare l’implicazione “⇐” nel punto (b), considerare una successione di Cauchy (x _n ) _n∈N in X e definire sottoinsiemi chiusi F _n di X in termini degli elementi x _n della successione.)

Risolvere esercizi distinti su protocolli distinti.

1. Sia k · k la norma euclidea su R 2 e poniamo 0 := (0, 0) ∈ R 2 . Definiamo quindi

Esame di Geometria 1

Anno Accademico 2012/2013

12 Giugno 2013

Svolgere i seguenti esercizi giustificando le risposte.

1. Sia k · k la norma euclidea su R 2 e poniamo 0 := (0, 0) ∈ R 2 . Definiamo quindi

d : R 2 × R 2 −→ R, (P, Q) 7−→







kP − 0k + kQ − 0k se P 6= Q,

0 altrimenti.

(a) Provare che d ` e una metrica su R 2 .

(b) Sia P ∈ R 2 r {0}; descrivere i dischi aperti D (R

,d) (P, r) con r < kP − 0k.

(c) Descrivere i dischi aperti D (R

,d) (0, r) con r > 0.

(d) Lo spazio metrico (R 2 , d) ` e compatto? ` E connesso?

(e) Quali sono i sottoinsiemi densi di (R 2 , d)? Stabilire se (R 2 , d) ` e separabile.

(f) Descrivere le successioni convergenti in (R 2 , d).

(g) Stabilire se (R 2 , d) ` e completo.

2. Sia X := {2, 3, 4, . . . } l’insieme dei numeri interi ≥ 2 e per ogni n ∈ X poniamo U n := m ∈ X | m divide n .

(a) Mostrare che la famiglia {U n } n∈X ` e la base per una topologia τ su X.

(b) Lo spazio topologico (X, τ ) ` e T 0 ? ` E T 1 ? ` E T 2 ?

(c) Lo spazio topologico (X, τ ) ` e compatto? ` E localmente compatto?

(d) Lo spazio topologico (X, τ ) ` e connesso? ` E localmente connesso?

Consideriamo la relazione di equivalenza ∼ su X tale che m ∼ n se m − n ` e pari.

(e) Descrivere la topologia quoziente su X/ ∼.

(Gira il foglio)

3. Sia (X, d) uno spazio metrico. Definiamo il diametro di un sottoinsieme (non vuoto) C di X come

diam(C) := supd(x, y) | x, y ∈ C . (a) Mostrare che se C ` e compatto allora diam(C) < +∞.

(b) Provare che (X, d) ` e completo se e solo se per ogni successione decrescente F 0 ⊃ · · · ⊃ F n ⊃ · · ·

di sottoinsiemi chiusi e non vuoti di X tali che lim

n→+∞ diam(F n ) = 0 si ha

\

n∈N

F n 6= ∅.

(Suggerimento: Per dimostrare l’implicazione “⇐” nel punto (b), considerare una successione di Cauchy (x n ) n∈N in X e definire sottoinsiemi chiusi F n di X in termini degli elementi x n della successione.)

Risolvere esercizi distinti su protocolli distinti.

1. Sia k · k la norma euclidea su R ² e poniamo 0 := (0, 0) ∈ R ² . Definiamo quindi

d : R ² × R ² −→ R, (P, Q) 7−→

(a) Provare che d ` e una metrica su R ² .

(b) Sia P ∈ R ² r {0}; descrivere i dischi aperti D (R

(c) Descrivere i dischi aperti D _(R

_,d) (0, r) con r > 0.

(d) Lo spazio metrico (R ² , d) ` e compatto? ` E connesso?

(e) Quali sono i sottoinsiemi densi di (R ² , d)? Stabilire se (R ² , d) ` e separabile.

(f) Descrivere le successioni convergenti in (R ² , d).

(g) Stabilire se (R ² , d) ` e completo.

2. Sia X := {2, 3, 4, . . . } l’insieme dei numeri interi ≥ 2 e per ogni n ∈ X poniamo U _n := m ∈ X | m divide n .

(a) Mostrare che la famiglia {U n } _n∈X ` e la base per una topologia τ su X.

(b) Lo spazio topologico (X, τ ) ` e T ₀ ? ` E T ₁ ? ` E T ₂ ?

diam(C) := supd(x, y) | x, y ∈ C . (a) Mostrare che se C ` e compatto allora diam(C) < +∞.

(b) Provare che (X, d) ` e completo se e solo se per ogni successione decrescente F ₀ ⊃ · · · ⊃ F _n ⊃ · · ·

(Suggerimento: Per dimostrare l’implicazione “⇐” nel punto (b), considerare una successione di Cauchy (x _n ) _n∈N in X e definire sottoinsiemi chiusi F _n di X in termini degli elementi x _n della successione.)