a) Si determini il potenziale ϕ(y) e il campo elettrico ~ E(y) in un generico punto (0, y, 0), con

Compito di “Fisica II” – Laurea in Matematica – 27/06/2014

Problema 1

Su un tratto lungo 2L dell’asse y, centrato nell’origine, si trova una distribuzione lineare di carica con densit` a costante λ > 0. Lungo l’asse x ` e disposto un filo conduttore infinito, in cui fluisce una corrente costante I nel verso delle x crescenti.

a) Si determini il potenziale ϕ(y) e il campo elettrico ~ E(y) in un generico punto (0, y, 0), con

|y| > L.

b) Due particelle identiche di massa m e carica q > 0, vincolate a scorrere senza attrito lungo l’asse y, a un certo istante si trovano rispettivamente nei punti A = (0, 3L, 0) e D = (0, −3L, 0) con velocit` a nulle. Trascurando la forza peso si determini la velocit` a v _C della particella che inizialmente si trova in A, nell’istante in cui passa per il punto C = (0, 4L, 0).

c) Si determini la reazione vincolare ~ F che l’asse y esercita sulla particella che inizialmente si trova in A, nell’istante in cui passa per C.

d) Si verifichi che il campo elettrico ~ E(y) di cui al quesito a) ha il corretto andamento asintotico per |y| → ∞.

e) Facoltativo: si determini la velocit` a massima v _M della particella che inizialmente si trova in A.

Problema 2

Nel circuito in figura inizialmente l’interruttore T ` e chiuso e il sistema si trova a regime. Si considerino note le grandezze R, L, C e la dif- ferenza di potenziale costante E .

a) Si determinino la corrente I 0 passante per il generatore e l’energia elettrostatica U ₁ im- magazzinata nel condensatore di capacit` a C 1 . b) All’istante t = 0 si apre l’interruttore T . Si scriva l’equazione differenziale a cui deve sod- disfare la carica totale Q(t) presente sui due condensatori per t > 0 e se ne determini la soluzione generale.

c) Si determini esplicitamente Q(t).

d) Si determini la carica massima Q ^∗ ₂ del condensatore di capacit` a C ₂ per t > 0.

e) Quanto vale la potenza media w fornita dal generatore per t > 0?

Soluzioni

Problema 1

a) Sull’asse y il campo elettrico ` e parallelo all’asse: E(y) = E(y)~ ~ u y . Per y > L si ha ϕ(y) = _4πε ^λ

0

ln ^y+L _y−L e E(y) = _2πε ^λL

0

(y

−L

) , mentre per y < −L si ha ϕ(y) = _4πε ^λ

0

ln ^y−L _y+L e E(y) = − _2πε ^λL

0

(y

−L

) .

b) Conservazione dell’energia:

q ²

4πε ₀ (6L) + (2q) λ

4πε ₀ ln 3L + L

3L − L = 2  1 2 mv _C ²



+ q ²

4πε ₀ (8L) + (2q) λ

4πε ₀ ln 4L + L 4L − L

⇒ v _C =

s q 4πε ₀ m

 q

24L + 2λ ln 6 5

 .

c) In C il campo magnetico prodotto dal filo vale ~ B = _2π(4L) ^µ

^I ~ u _z e inoltre ~ v _C = v _C ~ u _y , sicch´ e F = − ~ ~ F _B = −q~ v _C × ~ B = − µ ₀ Iqv _C

8πL ~ u _x . d) Per |y| → ∞, visto che la carica totale ` e Q = 2λL, si ha

E = E(y)~ ~ u _y → sgn(y) λL

2πε 0 y ² ~ u _y = Q~ x 4πε 0 r ³ . e)

q ²

4πε ₀ (6L) + (2q) λ

4πε ₀ ln 3L + L

3L − L = 2  1 2 mv _M ²



⇒ v _M =

r q

4πε ₀ m

 q

6L + λ ln 4  .

Problema 2

a) I ₀ = E /R, U ₁ = 3CE ² /2.

b) L’equazione del circuito ` e

E = L ¨ Q + Q

5C , (1)

con soluzione generale Q(t) = 5CE + A sen(ωt + ϕ), ω = 1/ √ 5LC.

c) I dati iniziali sono Q(0) = 5CE e ˙ Q(0) = I ₀ , sicch´ e la (1) ammette la soluzione unica Q(t) = 5E C + E √

5LC

R sen

 t

√ 5LC

 . d) Visto che Q ₂ (t) = 2Q(t)/5 si ha

Q ^∗ ₂ = 2E C + 2E √

5LC

5R .

e) w = hE Ii = E h ˙ Qi = 0.