a.a. 2008-2009 2.7.2009 2◦ APPELLO DI GEOMETRIA

(1)

(2)

(3)

a.a. 2008-2009 2.7.2009

2

^◦

APPELLO DI GEOMETRIA

Per ogni quesito dare adeguate spiegazioni.

(1) Per ogni k ∈ R sia L

k

= {(kt

²

+ t + 1, t

³

− kt, kt

³

+ t

²

+ k) : t ∈ R}, dire se esistono k ∈ R tali che L

k

sia piana, proiettare L

−1

da P = (0, 1, 0) sul piano di equazione z = 1.

(2) Sia φ : R

⁴

−→ R

³

, definito da

φ(x, y, z, t) = (x + z, y + t, x + y + z + t)

a) determinare la matrice associata a φ rispetto alle basi canoniche, b) determinare dimensioni e basi di ker φ e im φ,

c) dire se ∃ ψ : R

³

−→ R

⁴

tale che ψ ◦ φ = id

_R4

, d) dire se ∃ ξ : R

³

−→ R

⁴

tale che φ ◦ ξ = id

_R3

.

(3) In P

³

siano dati i punti A=[0,1,1,0], B=[1,1,0,2], C=[1,0,1,1], D=[1,0,1,0], Q=[1,1,1,1].

a) Verificare che le rette r := r

_AB

, s := r

_CD

sono sghembe.

b) Vericare che Q / ∈ r ∪ s .

c) Determinare in forma parametrica il piano α contenente r e Q e il piano β contenente s e Q.

d) E’ vero che α ∩ β = {Q} ?

e) Determinare, se esiste, un riferimento proiettivo di P

³

contenente A,B,C,D.

(4) Siano dati in R

³

le rette r

k

:

( x − kz − 2 = 0 x + y = 0 , s :

( x = y

z = −2 , e il piano π

k

: x − y + kz + 2 = 0 .

a) Determinare per quali k ∈ R risulta r

k

incidente con π

k

. b) Determinare per quali k ∈ R risulta r

k

ortogonale a π

k

.

c) Fissato k=0, stabilire se la proiezione ortogonale di r

0

su π

0

e’ la retta s.

1

(4)

1 1. Per ogni k∈R sia L

^k

= {(kt

²

+t+1,t

³

-kt,kt

³

+t

²

+k): t∈ R }.

a) Dire se esistono k∈R tali che L

^k

sia piana.

b) Proiettare L

-1

da P(0,1,0) sul piano di equazione z=1.

Soluzione .a) L

k

è piana ⇔ ∃ a, b, c, d reali non tutti nulli tali che a(kt

²

+t+1) +b(t

³

-kt) +c(kt

³

+t

²

+k) +d=0 ∀ t∈R.

Ordinando il polinomio in t e annullando tutti i suoi coefficienti si ha il sistema

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

= + +

=

−

= +

0 d ck a

0 bk a

0 c ak

0 ck b

⇒

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

= + +

= +

=

⇒ =

= +

−

=

0 d ck a

0 ck a

1 k opp.

0 c 0 ) k - c(1 0

c ck -

ck b

2

3 3

Per k=1 si ottiene : a=b=-c , d=0 e quindi se a≠0 si ha il piano ax+ay-az=0 , ossia il piano x+y-z=0 che contiene la linea.

Per c=0 si ha l’unica soluzione a=b=c=d=0, che non dà alcun piano.

b) L

-1

:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

− +

−

= +

=

+ +

−

=

1 t t z

t t y

1 t t x

2 3 3

2

La retta r passante per il pto corrente di L

-1

e P(0,1,0) ha equazioni parametriche

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

− +

−

=

+ +

=

+ +

−

=

1)u t

t ( z

1)u - t t ( 1 y

1)u t t ( x

2 3

3 2

al variare di t , u in R.

L’intersezione di r con il piano z=1 conduce all’equazione 1=( -t

³

+t

²

-1) u , da

cui si ricava

1 t t

1

2

3

+ −

= −

u che sostituita in r dà

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

⎨

⎧

=

− +

− + +

=

− +

−

+ +

= −

1 z

) 1 (

1) - t t 1 ( y

) 1 (

1) t t x (

2 3 3 2 3

2

t t

,

rappresentazione parametrica cercata della linea che proietta L

-1

da P(0,1,0)

sul piano z=1.

(5)

2 2. Sia φ:R

⁴

→ R

³

definito da φ (x,y,z,t) = (x+z, y+t, x+y+z+t)

a) Determinare la matrice associata a φ mediante le basi canoniche.

b) Determinare dimensioni e basi di Imφ e kerφ . c) Dire se esiste ψ:R

³

→ R

⁴

tale che ψ

°

φ = Id

^R4

. d) Dire se esiste δ:R

³

→ R

⁴

tale che φ

°

δ = Id

R3

.

Soluzione . a) M

^E_φ(E³ ₄₎

=

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

1 1 1 1

1 0 1 0

0 1 0 1

b) In A= M

^E_φ(E³ ₄₎

si ha : C

1

= C

3 ,

C

2

=C

4

e le C

1

, C

2

sono L.I. Ne segue che:

dim Imφ = ρ (A) =2 e B

Imφ

= { C

¹

, C

2

}= {(1,0,1), (0,1,1) }.

Inoltre dim kerφ = 4- dim Imφ = 2 e

C

1

= C

3

⇒ e

1

- e

3

∈ kerφ ⇔ (1,0,-1,0) ∈ kerφ C

2

=C

4

⇒ e

2

- e

4

∈ kerφ ⇔ (0,1,0,-1) ∈ kerφ , da cui si ha B

_kerφ

= {(1,0,-1,0), (0,1,0,-1) }.

c) Detta B la matrice M

^E_ψ(E3)⁴

associata a ψ:R

³

→ R

⁴

mediante le basi canoniche, si ha che la matrice associata a ψ

°

φ : R

⁴

→ R

⁴

mediante le basi canoniche è BA. Affinchè risulti ψ

°

φ = Id

^R4

deve quindi essere BA = I

4

, con I

4

matrice identica di ordine 4. Confrontando le caratteristiche deve risultare

ρ(BA)= ρ (I

⁴

) . Poiché vale la proprietà :ρ(BA) ≤ min (ρ(A), ρ(B)) Ne segue che ρ(BA) ≤ 2 , mentre ρ (I

4

) =4. Quindi non esiste ψ con le proprietà richieste.

d) Detta C la matrice M

^E_δ⁴_(E3)

associata a δ:R

³

→ R

⁴

mediante le basi

canoniche, si ha che la matrice associata a φ

°

δ : R

³

→ R

³

mediante le basi canoniche è AC. Analogamente a c) deve risultare ρ(AC)= ρ (I

³

) , ma con le stesse considerazioni si ricava ρ(AC) ≤ 2 , mentre ρ (I

3

) =3. Quindi non esiste δ con le proprietà richieste.

c) (e analogamente d)) si può ad es. anche risolvere senza l’utilizzo della proprietà ρ(BA) ≤ min (ρ(A), ρ(B)), tramite lo studio diretto di BA = I

⁴

, mediante il confronto dei coefficienti: è immediato ottenere l’assurdo.

(6)

3 3. In P

³

siano dati i punti A=[0,1,1,0], B=[1,1,0,2], C=[1,0,1,1], D=[1,0,1,0],

Q=[1,1,1,1].

a) Verificare che le rette r:=r

AB

, s:= r

CD

sono sghembe.

b) Vericare che Q∉r ∪ s.

c) Determinare in forma parametrica il piano α contenente r e Q e il piano β contenente s e Q.

d) E’ vero che α ∩ β = {Q} ?

e) Determinare, se esiste, un riferimento proiettivo di P

³

contenente A,B,C,D.

Soluzione . a) r

AB

, r

CD

sono sghembe ⇔ dim L(r , s) = 3 ⇔ dim L(A,B,C,D)=3 ⇔ ρ (A,B,C,D)=4 Calcoliamo det(A,B,C,D), mettiamo le coordinate dei pti in colonna:

⎟⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

0 1 2 0

1 1 0 1

0 0 1 1

1 1 1 0

det C −

₂

C

₁

⎟⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

0 1 2 0

1 1 1 1

0 0 0 1

1 1 1 0

det =

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

0 1 2

1 1 1

det =2≠0

⇒ ρ (A,B,C,D)=4.

b) Q∉r ∪ s ⇔ Q∉r e Q∉s

Q∈r ⇔ Q è combinazione lineare di A, B ⇔ ρ (A,B,Q) = ρ (A,B)

ρ (A,B,Q)=

⎟⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

1 2 0

1 0 1

1 1 1

1 1 0

ρ = 3

Ma ρ (A,B)=2 essendo i due pti A e B distinti e allora ρ (A,B,Q)≠ρ (A,B).

Analogamente ρ (C,D,Q)=

⎟⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

1 0 1

1 1 1

1 0 0

1 1 1

ρ =3

E quindi ρ (C,D,Q)≠ρ(C,D).

N.B. a) e b) possono anche essere svolti utilizzando le equazioni parametriche di r ed s.

(il minore formato dalle prime 3 righe e 3 colonne è non nullo ).

(il minore formato dalle righe

R

2

, R

3

, R

4

e dalle 3 colonne è

non nullo ).

(7)

4 c) Il piano α contenente r e Q è il piano contenente A,B,Q e quindi una sua rappresentazione parametrica è

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ +

=

+ +

=

+ +

=

+ +

=

) 1 ( ) 2 ( ) 0 (

) 1 ( ) 0 ( ) 1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 0 (

3 2 1 0

c b

a x

c b

a x

c b a

x

c b a

x

⇒

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+

= +

=

+ +

= +

=

c b x

c a x

c b a x

c b x

3

2

2 1 0

Analogamente si può procedere per determinare una rappresentazione del piano β contenente s e Q. Oppure, dall’osservazione delle coordinate dei pti C,D,Q si può ricavare che l’equazione cartesiana di β è x

0

= x

2

e quindi

una rappresentazione parametrica di β è

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

=

c x

a x

b x

a x

3 2 1 0

.

4. Siano dati in R

³

le rette r

k

:

⎩ ⎨

⎧

= +

=

−

− 0 y x

0 2 kz

x , s:

⎩ ⎨

⎧

−

=

= 2 y x

z e il piano π

^k

: x-y+kz+2=0.

a) Determinare per quali k risulta r

k

incidente con π

^k

. b) Determinare per quali k risulta r

k

ortogonale a π

^k

.

c) Fissato k=0, stabilire se la proiezione ortogonale di r

0

su π

⁰

è la retta s.

Soluzione . a) r

k

incidente con π

k

⇔ r

k

non è parallela a π

k

⇔ u

_rk

⋅ N

_πk

(prod. scalare) ≠0.

Il vettore direzionale di r

k

è u

_rk

= (k,-k,1), il vettore normale al piano π

^k

è N

_πk

= (1,-1,k). Quindi u

_rk

⋅ N

_πk

= 3k ≠0 ⇔ k ≠0.

b) r

k

ortogonale a π

^k

⇔ u

_rk

e N

πk

sono paralleli ⇔ u

_rk

x N

_πk

(prod. vett.)=0 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− k k k

1 1

1 → u

_rk

x N

_πk

= (-k

²

+1, 1-k

²

, 0)

Quindi: u

_rk

x N

_πk

= (0,0,0) ⇔ -k

²

+1=0 ⇔ k=±1

c) Da a) si sa che per k=0 r

0

è parallela a π

⁰

. Se la proiezione ortogonale di r

0

su π

⁰

è la retta s allora necessariamente s è parallela a r

0

.

Determiniamo i vettori direzionali : u

_r0

= (0,0,1) , u

s

= (1,1,0). Ma questi

due vettori non sono paralleli e quindi la risposta a c) è NO.

(8)

(9)

a.a. 2006-2007 12.2.2008

ESAME DI GEOMETRIA PER INFORMATICA

Per ogni quesito dare adeguate spiegazioni.

(1) Sia V

λ

, al variare di λ ∈ R il sottospazio di R

⁵

costituito dalle soluzioni del sistema lineare omogeneo

 



 

x

₁

+ 2x

₂

− x

₄

= 0 2x

1

+ 4x

2

+ x

3

− x

4

= 0 x

1

+ 2x

2

+ λx

5

= 0

. Determinare

• La dimensione e una base di V

λ

, al variare di λ ∈ R;

• Una base del sottospazioV

₋₁^⊥

. (2) Sia L :

 



 

x = t

²

+ t y = t

³

+ t

²

z = t

³

− t

,

• dire se L ` e piana ed eventualmente determinare il piano che la contiene,

• scrivere una rappresentazione del cono con vertice in (1, 1, 0) che si appoggia a L,

• trovare la proiezione ortogonale di L sul piano x − z = 0.

(3) Dati i punti di P

³

(R), P

1

= [0, 1, 1, 1], P

2

= [0, 1, −1, 0], P

3

= [1, 0, 1, 1], P

4

= [0, 0, 2, 1], siano rispettivamente r ed s le rette congiungenti P

1

con P

2

e P

3

con P

4

,

• determinare le equazioni di r ed s,

• determinare r ∩ s,

• determinare un piano contenente sia r che s,

• determinare un piano π contenente s ma non r e calcolare π ∩ r

• determinare un riferimento proiettivo di P

³

(R) contenente P

1

, P

2

, P

3

.

1

(10)

1. Sia V



, al variare di  in R, il sottospazio di R

⁴

costituito dalle soluzioni del sistema lineare omogeneo

 

 



















0 2

0 4

2 0 2

5 2 1

4 3 2 1

4 2 1

x x x

x x x x

x x x



.

a) Determinare la dimensione e una base di V



, al variare di R.

b) Determinare una base del sottospazio V

_1^

Soluzione a)

La matrice associata al sistema è

 







 













0 0 2 1

0 1 1 4 2

0 1 0 2 1 A

(A



) =3 R : il minore formato da C

1

, C

3

, C

4

è non nullo 1 0

0 0 1

1 1 2

1 0 1







 dim V



= 5-3 =2 R Una base di V



si trova così :

isoliamo a 1°membro il minore non nullo trovato

 

 





















5 2 1

2 4

3 1

2 4

1

2 4 2

2 x x x

x x

x



e attribuiamo alle variabili libere x

2

,x

5

i valori 1, 0 alternativamente

 x

2

=1, x

5

=0

 

 





















2 4 2

2

1

4 3 1

4 1

x

x x x

x x

 

 









0 0 2

4 3 1

x x x

e la soluzione è (-2,1,0,0,0)

 x

2

=0, x

5

=1

 

 















1



4 3 1

4 1

0 2

0 x

x x x

x x

 

 













4 3 1

x x x

e la soluzione è (-,0, ,-,1)

Si conclude che una base di V



è B



= (-2,1,0,0,0), (-,0, ,-,1)

al variare di R.

(11)

Soluzione b)

1. Sia

2. Sia L:

 

 















t t z

t t y

t t x

3 2 3 2

.

a) Dire se L è piana ed eventualmente determinare il piano che la contiene.

b) Scrivere una rappresentazione del cono con vertice in (1,1,0) che si appoggia ad L .

c) Trovare la proiezione ortogonale di L sul piano x-z=0.

Soluzione a) E' facile vedere che x-y+z=0 è il piano che contiene L : (t

²

+t)-(t

³

+t

²

)+(t

³

-t)=0 tR

Soluzione b)

Una base di V

-1

è B

-1

= (-2,1,0,0,0), (1,0, -1,1,1) ed è V

-1

=<(-2,1,0,0,0), (1,0, -1,1,1)>

Per def.

 



 













 



0 1 1 1 0 1

0 0 0 0 1 2

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1 5 5

4 3 2 1

1

e (x ,x ,x ,x ,x ) ( , ,- , , ) ) , , , , ( ) ,x ,x ,x ,x

|(x R ) ,x ,x ,x ,x V (x

=  (x

₁

,x

₂

,x

₃

,x

₄

,x

₅

)  R

⁵

|  2 x

₁

 x

₂

 0 , x

₁

 x

₃

 x

₄

 x

₅

 0 

Si ha dim V =3. Un minore non nullo di ordine massimo di

_1^

 

 







1 1 1 0 1

0 0 0 1

2 è

0 1

1  2

, che isoliamo a I° membro :

 











5 4 3 1

2

1

0

2 x x x x

x x

e in modo analogo ad a) si trova una base di V .

_1^

 x

3

=1, x

4

=0, x

5

=0 

 









1 0 2

1 2 1

x

x  soluzione: (1,2,1,0,0)

 x

3

=0, x

4

=1, x

5

=0 

 











1 0 2

1 2 1

x

x  soluzione: (-1,-2,0,1,0)

 x

3

=0, x

4

=0, x

5

=1 

 











1 0 2

1 2 1

x

x  soluzione: (-1,-2,0,0,1) Si conclude che

una base di V

_1^

è B = (1,2,1,0,0), (-1,-2,0,1,0), (-1,-2,0,0,1).

Scriviamo le rette VP, con V(1,1,0) e P(t

²

+t,t

³

+t

²

,t

³

-t) :





 



















u t t z

u t t y

u t t x

F

) ( 0

) 1 (

1 ) 1 (

1 :

3 2 3 2

Al variare di t, u in R, F è il cono richiesto in forma parametrica.

V

P

(12)

Soluzione c)

Intersechiamo G con  :x-z=0, otteniamo

cercata

ortogonale proiezione

linea la è R, t di variare al



 















 











 







 















 















 



 



























 



 



















2 2 2

2 :

2 0 2

0

2 3 3

2 3

2 3 2

2 3 3

2 3 2

3 2

3 2 3 2

t t t t

t z

t t y

t t t t

t x M

t t v t

v t t z

t t y

v t t x

v t t v t t

v t t z

t t y

v t t x

z x

v t t z

t t y

v t t x

3. Dati i punti di P3, P

1

=[0,1,1,1], P

2

=[0,1,-1,0], P

3

=[1,0,1,1], P

4

=[0,0,2,1], siano rispettivamente r ed s le rette congiungenti P

1

con P

2

e P

3

con P

4

.

a) Determinare le equazioni di r ed s b) Determinare rs

c) Determinare un piano contenente sia r che s

d) Determinare un piano  contenente s ma non r e calcolare r e) Determinare un riferimento proiettivo di P3 contenente P

1

, P

2

, P

3

. Soluzione a) Una rappresentazione parametrica di r è :

r: L(P

1

, P

2

) :

 



 

















 



 























a x

b a x

b a x x

b a x

3 2 1 0

3 2 1

0

0 ) 0 ( ) 1 (

) 1 ( ) 1 (

) 0 ( ) 0 (

al variare di a,b R

Eliminando i parametri a, b si ottiene una rappresentazione cartesiana di

 









3 2 1 0

2 : 0

x x x r x L

P



(1,0,-1)

Il cilindro che si appoggia ad L ed ha generatrici // (1,0,-1) ha la seguente forma parametrica

R v t, di variare

al 

 

 















v t t z

t t y

v t t x G

3 2 3 2

:

(13)

Analogamente, una rappresentazione parametrica di s è:

s: L(P

3

, P

4

) :

 



 















 



 





















b a x

b a x x

a x

b a x

3 2 1 0

2 0

) 1 ( ) 1 (

) 2 ( ) 1 (

) 0 ( ) 0 (

) 0 ( ) 1 (

al variare di a,b R

Eliminando i parametri a,b si ha una rappresentazione cartesiana di s

 









 

 

 













0 2 : 0

0

3 2 0 1

3 2 0 3

3 2 1

x x x s x

x x x x

b x x x

Soluzione b) Da P

4

= P

1

- P

2

segue che P

4

rs. Le due rette r ed s sono distinte poiché P

3

s e P

3

r ( x

0

non è nulla). Se ne conclude che P

4

=rs.

Soluzione c) P

1

e P

4

sono punti distinti di r, P

3

s , P

3

r , quindi P

1

, P

4

, P

3

non sono allineati ( L.I.). Ne segue che P

1

, P

4

, P

3

individuano il piano  per r ed s.

L'equazione cartesiana di  è :

0 ) ( 1 ) 0

1 1 0 1

1 2 0 0

1 1 1 0

3 2 1 0









1 2 0

1 1 1

x x x x

C lungo sviluppo (

3 2 1 0

1

x x x x

 x

0

-(-x

1

-x

2

+2x

3

)=0  : x

0

+x

1

+x

2

-2x

3

=0

Soluzione d) Da a)

 











0 2 : 0

3 2 0 1

x x x

s x quindi x

1

=0 è un piano  contenente s, che non contiene r , essendo distinto da . Ne segue che r = sr =P

4

. Soluzione e) P

1

=[0,1,1,1] corrisponde in R

⁴

a v

1

=(0,1,1,1)

P

2

=[0,1,-1,0] corrisponde in R

⁴

a v

2

=(0,1,-1,0) P

3

=[1,0,1,1] corrisponde in R

⁴

a v

3

=(1,0,1,1)

Completiamo v

1

, v

2

, v

3

a base di R

⁴

aggiungendo ad esempio v

4

=(0,1,0,0) ( è immediato verificare che v

1

, v

2

, v

3

, v

4

sono L.I.).

Infine aggiungiamo un quinto vettore v

5

che sia combinazione lineare dei quattro vettori v

1

, v

2

, v

3

, v

4

a coefficienti tutti non nulli , ad esempio v

5

= v

1

+v

2

+v

3

+v

4.

Abbiamo così individuato i cinque punti di P3 P

1

, P

2

, P

3

, P

4

, P

5

, con

P

4

=[0,1,0,0], P

5

=[1,3,1,2] che costituiscono un riferimento proiettivo

con i requisiti richiesti.

(14)

a.a. 2006-2007 14.9.2007

ESAME DI GEOMETRIA PER INFORMATICA

Per ogni quesito dare adeguate spiegazioni.

(1) Date σ :

 



 

x = u

²

+ v

²

y = u − v z = uv

, γ :

 



 

x = t

²

− 1 y = t + 1 z = t

²

+ t

e r :

( y = 0

x − 2z = 0 :

• dire se γ ` e piana.

• determinare γ ∩ r e σ ∩ r,

• dire se σ ` e un cilindro,

• determinare una curva C tale che C ⊂ σ.

(2) Siano ϕ

_a

: R

³

−→ R

³

e ψ

_a

: R

³

−→ R

³

rispettivamente l’omomorfismo associato, rispetto alle basi canoniche, ad

A =





1 −1 0

0 1 1

1 0 a





e l’omomorfismo definito da ψ

_a

(x, y, z) = (x + 2y + az, 2x + 4y − z, 3x + ay).

Determinare dim

_R

ker ϕ

_a

◦ ψ

_a

e dim

_R

ker ψ

_a

◦ ϕ

_a

al variare di a ∈ R.

(3) • Scrivere un riferimento proiettivo in P

²

(R), contenente i punti O[1, 0, 0], A[1, 1, 1];

• scrivere una proiettivit` a di P

²

(R) che manda la retta x

₁

= 0 nella retta x

₂

= 0, la retta x

₂

= 0 nella retta x

₁

= 0 e lascia fisso il punto A;

• (facoltativo) dire se tale proiettivit` a ` e unica.

1

(15)

(16)

(17)

a.a. 2005-2006 24.1.2007

ESAME DI GEOMETRIA PER INFORMATICA

Per ogni quesito dare adeguate spiegazioni.

(1) Sia V

λ

, al variare di λ ∈ R il sottospazio di R

⁴

costituito dalle soluzioni del sistema lineare omogeneo

 



 

x

1

+ 2x

2

− x

4

= 0 2x

1

+ 4x

2

+ x

3

− x

4

= 0 x

1

+ 2x

2

+ λx

4

= 0

. Determinare

• La dimensione e una base di V

λ

, al variare di λ ∈ R;

• Una base del sottospazioV

₋₁^⊥

. (2) Provare che

V = {

x + y 2x z 2y + z

: x, y, z ∈ R}

`

e un sottospazio vettoriale di M

2

(R) e determinarne una base.

(3) Sia L :

 



 

x = t

²

+ t y = t

³

+ t

²

z = t

³

− t

,

• dire se L ` e piana ed eventualmente determinare il piano che la contiene,

• scrivere una rappresentazione del cono con vertice in (1, 1, 0) che si appoggia a L,

• trovare la proiezione ortogonale di L sul piano x − z = 0.

(4) Dati i punti di P

³

(R), P

1

= [0, 1, 1, 1], P

2

= [0, 1, −1, 0], P

3

= [1, 0, 1, 1], P

4

= [0, 0, 2, 1], siano rispettivamente r ed s le rette congiungenti P

1

con P

2

e P

3

con P

4

,

• determinare le equazioni di r ed s,

• determinare r ∩ s,

• determinare un piano contenente sia r che s,

• determinare un piano π contenente s ma non r e calcolare π ∩ r

• determinare un riferimento proiettivo di P

³

(R) contenente P

₁

, P

₂

, P

₃

.

1

(18)

a.a. 2005-2006 11.7.2006

ESAME DI GEOMETRIA PER INFORMATICA

Per ogni quesito dare adeguate spiegazioni.

(1) Date σ :

 



 

x = u

²

+ v

²

y = u − v z = uv

e γ :

 



 

x = t

²

− t y = t + 1 z = t

²

+ t

:

• dire se γ ` e piana.

• dire se γ ⊂ σ,

• dire se σ ` e un cilindro o un cono,

• determinare una curva C ⊂ σ.

(2) Siano r

λ

:

( λx − y − z = λ

x + λy = 0 ed s

λ

:

( λx + (λ + 2)y = 0 (λ + 2)x + λz = 0

• dire per quali valori di λ ∈ R i sistemi r

_λ

, s

_λ

, rappresentano rette,

• determinare gli eventuali valori per cui r

_λ

∩ s

_λ

= ∅,

• determinare r

_λ

∩ s

_λ

, al variare di λ ∈ R.

(3) Siano P

0

[1, 1, 1], P

1

[2, 0, 1], P

2

[0, 2, 1], , P

3

[0, 1, 1] ∈ P

²

(R),

• provare che P

0

, P

1

, P

2

sono allineati e che P

0

, P

1

, P

3

non lo sono,

• determinare un punto Q ∈ P

²

(R) tale che P

0

, P

1

, P

3

, Q non siano in posizione generale,

• determinare un punto P

4

sulla retta per P

0

e P

1

tale che β(P

0

, P

1

, P

2

, P

4

) = 2.

1

(19)

(20)

(21)

(22)

Esame di Geometria per Informatica

a.a. 2003-2004, 20. 7. 2004

Per ogni esercizio dare adeguate spiegazioni

1. • Dato il polinomio X

⁸

−1 ∈ C[X], determinare le soluzioni dell’equazione X

⁸

− 1 = 0.

• Identificando il piano di Argand-Gauss con R

²

, scrivere le equazioni delle diagonali di lunghezza 2 dell’ottagono regolare O di vertici i numeri complessi determinati precedentemente.

2. Sia γ : {(t

²

− 1, t

²

− 2t, t + 1) : t ∈ R}.

• Provare che γ ` e una curva piana.

• Determinare proiezione ortogonale di γ su π : x − y − 2z = 0.

3. • Determinare il piano π passante per i punti A[0, 0, 0, 1], B[1, 1, −1, 0], C[1, −2, 2, 1] ∈ P

³

(R).

• Scrivere una rappresentazione parametrica della retta impropria di π.

• Dire se i punti A, B, C, D[1, 1, 1, 1], E[0, 1, −1, 0] individuano un riferimento proiettivo di P

³

(R).

4. Data la matrice

A =

1 −1 0

0 1 1

∈ M

2,3

(R).

• Dire se:

∃ B ∈ M

3,2

(R) tale che AB = I

2

,

∃ C ∈ M

3,2

(R) tale che CA = I

3

,

in caso affermativo esibire un esempio, specificando se ne ∃ in numero finito o infinito.

• Detti rispettivamente

φ

A

: R

³

−→ R

²

l’omomorfismo associato ad A ∈ M

2,3

(R), φ

Da

: R

²

−→ R

³

l’omomorfismo associato a

D

_a

=



 1 2 2 4 1 a



 ∈ M

3,2

(R)

rispetto alle basi canoniche,

determinare dim

k

ker (φ

D_a

◦ φ

A

) al variare di a ∈ R.

1

(23)

Esame di Geometria per Informatica

a.a. 2003-2004, 16. 9. 2004

Per ogni esercizio dare adeguate spiegazioni.

n.o. es 1,2,3,4;

v.o. es 1,2,4,5.

1. Dato il polinomio X

ⁿ

−1 ∈ C[X], dire per quali n ∈ Z il numero complesso z = i ` e radice dell’equazione X

ⁿ

− 1 = 0.

2. Sia γ : {(t

²

− 1, 2t − 2, t + 1) : t ∈ R}.

• Provare che γ ` e una curva piana.

• Determinare proiezione ortogonale di γ su π : x − y − 2z = 0.

• Trovare una superficie S non piana contenente γ.

3. Data la proiettivit` a f (x

0

, x

1

, x

2

) = (x

0

+ x

1

− x

2

, 3x

0

+ 2x

1

+ x

2

, 3x

1

+ 3x

2

) di P

²

(R).

• Provare che f ha 3 punti fissi P

₁

, P

₂

, P

₃

distinti e determinarli.

• Dire se ∃ rette di punti fissi per f.

• Dire se ∃ un riferimento proiettivo di P

²

(R) che abbia i tre punti P

1

, P

2

, P

3

come punti fondamentali ed eventualmente determinarlo.

4. Sia φ : R

⁴

−→ R

³

l’omomorfismo associato alla matrice

M

_φ(E^E³

4)

=





1 0 3 0

2 1 6 −2

1 −1 3 2



 .

• Determinare una base di ker φ e una base di im φ.

• Determinare un vettore u ∈ R

³

tale che φ

⁻¹

(u) = ∅.

• Determinare, se esitono, tre vettori l. i. v

1

, v

2

, v

3

∈ R

⁴

tali che φ(v

1

) = φ(v

2

) = φ(v

3

).

• Determinare un vettore v ∈ R

⁴

tale che φ(v) = (2, 4, 2).

5. Dato U = L{(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1, )}.

• Trovare due sottospazi V 6= W ⊂ R

⁴

tali che U + V = U + W = R

⁴

e U ∩ V = U ∩ W = 0

_R4

.

• Determinare φ : R

⁴

−→ R

⁴

tale che φ

_|U

= id

_U

e φ(U ) = W.

• Dire se φ ` e necessariamente surgettiva, iniettiva.

1

(24)

Esame di Geometria per Informatica

a.a. 2003-2004, 17. 6. 2004

Per ogni esercizio dare adeguate spiegazioni.

Recupero I compitino esercizi 1, 2.

Recupero II compitino esercizi 3, 4.

1. • Verificare se la curva γ : {(t

²

− 2t, 2t

²

+ t, t

²

− 1) : t ∈ R} ` e piana.

• Scrivere la proiezione ortogonale di γ sul piano π : x − y + z = 0.

2. Dati il piano π : x + 2y − z − 1 = 0 e la retta r : {(t, t, 3t) : t ∈ R}

• Provare che ogni piano del fascio di piani per r non parallelo a π sega π in una retta s con r//s.

• Trovare (se ∃) una retta su π ⊥ a r.

3. Sia φ

λ

: R

³

−→ R

³

l’omomorfismo definito da φ

_λ

(x, y, z) = (x − y, λx + yλz, x + λy + 2z)

• Determinare la dimensione di im φ

λ

al variare di λ ∈ R.

• Determinare una base di ker φ

2

e ker φ

0

.

4. Data la proiettivit` a f (x

0

, x

1

, x

2

) = (x

0

+ x

1

− x

2

, 2x

1

+ x

2

, 3x

2

) di P

²

(R).

• Provare che f ha 3 punti fissi distinti e determinarli.

• Provare che ∃ 3 rette distinte r

1

, r

2

, r

3

tali che f (r

i

) = r

i

, ∀ i = 1, 2, 3.

• Provare che per nessun i = 1, 2, 3 vale f (P ) = P, ∀ P ∈ r

i

.

1

(25)

2 Compitino di Geometria per Informatica

a.a. 2003-2004, 6. 6. 2004

Per ogni esercizio dare adeguate spiegazioni

1. Siano r : n x = 1 z = 0 ed s :

( x = t y = t z = t

t ∈ R.

• Provare che r ed s sono sghembe.

• Determinare la comune perpendicolare ad r ed s.

• Determinare l’equazione della superficie F ottenute ruotando s in- torno ad r.

• Determinare su F la circonferenza di raggio minimo.

2. In P

²

(R) siano r : x

0

+ x

1

= 0, s : x

1

+ x

2

= 0, t : x

0

+ x

2

= 0,

• Determinare {P } = r ∩ s, {Q} = r ∩ t, {R} = s ∩ t.

• Provare che P, Q, R, X = P + 2Q + 3R formano un riferimento proiettivo E con P, Q, R punti fondamentali e X punto unit` a.

• Determinare le coordinate di A[1, 1, 1] in E.

3. Sia φ : R

⁴

−→ R

³

l’omomorfismo associato alla matrice

M

_φ(E^E³

4)

=



 1 0 2 0

2 1 4 −1

1 −1 2 1



 .

• Determinare una base di ker φ e una base di im φ.

• Determinare un vettore u ∈ R

³

tale che φ

⁻¹

(u) = ∅.

• Determinare, se esitono, tre vettori l. i. v

₁

, v

₂

, v

₃

∈ R

⁴

tali che φ(v

₁

) = φ(v

₂

) = φ(v

₃

).

• Determinare un vettore v ∈ R

⁴

tale che φ(v) = (3, 6, 3).

1

(26)

Esame di Geometria per Informatica

a.a. 2002-2003, 4. 2. 2004

Per ogni esercizio dare adeguate spiegazioni

1. Sia f

_λ

: R

³

−→ R

⁴

di coniche passanti per i punti A[1, 0, 0], B[1, 0, 1] e tangenti alla retta r : X

₁

+ X

₂

− 2X

₀

= 0 in C[1, 1, 1].

Dire se esiste una γ ∈ Φ tale che γ ∩ U

0

sia un’ellisse.

2. Data γ : (X

₀²

− 2X

0

X

1

+ 2X

0

X

2

+ X

₁²

+ X

₂²

)(X

₁²

+ X

₂²

− 2X

0

X

2

) = 0.

• Determinare i punti all’ infinito di γ.

• Dire se γ ´ e proiettivamente equivalente a δ : (X

₀²

+ X

₁²

+ X

₂²

)

²

= 0.

• Dire se ogni curva proiettivamente equivalente a γ si spezza nell’unione di due coniche non degeneri.

3. a) Date tre rette r

1

, r

2

, r

3

di P

⁴

a due a due sghembe e non contenute in un iperpiano, provare che esiste un’unica retta s che si appoggia a tutte e tre.