38 2 2 • Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono): lim x→0+ √x log x

(1)

Pisa, 13 gennaio 2001

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

log x + log 2x = log 3x per ogni x > 0 2 2

cosh(x + 2) = cosh(2x + 1) =⇒ x = 1 oppure x = −1 2 2

sin x < e^x per ogni x > 0 2 2

a_n → 3 =⇒ a_n+3 → 6 2 2

L’equazione x²³+ x = 2001 ha esattamente una soluzione reale 2 2

∀x ∈ R ∃M ∈ R tale che x²+ sin x ≤ M 2 2

sin x + e^2x = 1 + 3x + o(x) per x → 0 2 2

La serie P n(5n²+ 6)⁻¹ converge 2 2

Se y⁰ = y²+ 2 e y(5) = 6, allora y⁰(5) = 38 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

lim

x→0⁺

√x

log x = . . . lim

x→1⁻

√x

log x = . . . lim

x→+∞

√x

log x = . . . .

min {x ∈ R : x − 1 ≥ 4} = . . . . min {x − 1 : x ≥ 4} = . . . .

• Siano

f (x, y) = e^{sin x}²y + y³, A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 9 . Calcolare:

∂²f

∂y²(1, 2) = . . . .

Z

2 dx dy = . . . .

(2)

Pisa, 3 febbraio 2001

L’equazione cos x = √

x non ha soluzioni reali 2 2

La funzione f : R → R definita da f (x) = e^x+ x³ `e iniettiva 2 2

8 sin x⁹ + 9 sin x⁸ ≤ 20 per ogni x ∈ R 2 2

f (x) = sin(cos x) `e una funzione dispari 2 2

Esiste max {x¹⁸+ 3 sinh(xy) : x²+ y² ≤ 2001} 2 2

∀M ∈ R ∃N ∈ N tale che x² ≥ M per ogni x ≥ N 2 2

2 cos x = 2 − x²+ o(x²) per x → 0 2 2

{n²⁰⁰¹a_n} → 8 =⇒ P a_n diverge 2 2

La soluzione generale di y⁰⁰− 4y⁰ = 0 `e y(t) = c₁e^2t+ c₂e^−2t 2 2

x→−∞lim

sin 3x⁸

x⁸ = . . . lim

x→0⁻

sin 3x⁸

x⁸ = . . . lim

x→1

sin 3x⁸

x⁸ = . . . . min {n ∈ N : 2n ≥ 29} = . . . .

supx²+ 4 : x ∈] − 1, 2[ = . . . .

• Siano

f (x, y) = 6xy + cos³y², A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, x ≥ 0 . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(2, 4) = . . . .

Z

A

2x dx dy = . . . .

(3)

Pisa, 17 febbraio 2001

|x| + |2x| = |3x| per ogni x ∈ R 2 2

sin(x + 2) = sin(2x + 1) =⇒ x = 1 2 2

sinh x > cos x per ogni x > 0 2 2

f (x) = cos(sin x) `e una funzione pari 2 2

L’equazione e^x+ arctan x = −1 non ha soluzioni reali 2 2

∀ε > 0 ∃x ∈ R tale che 0 < x⁴ < ε 2 2

sin x³ = x³+ o(x⁵) per x → 0 2 2

P∞

n=1(−1)ⁿn^−1/2 converge 2 2

La soluzione del problema di Cauchy y⁰ = y⁸sin t, y(0) = 0 `e costante 2 2

x→−∞lim

e^2x− 1

x = . . . lim

x→0⁻

e^2x− 1

x = . . . lim

x→1⁺

e^2x− 1

x = . . . .

supx ∈ R : x² ≤ 3 = . . . . min|n − 8|e⁻ⁿ+ 6 : n ∈ N = . . . .

• Siano

f (x, y) =p

log 2 + 3x²y, A =(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], x ≤ y ≤ 1 . Calcolare:

∂²f

∂x²(1, 2) = . . . .

Z

3 dx dy = . . . .

(4)

Pisa, 9 giugno 2001

√2 +√ 2 =√

8 2 2

f (x) = sin e^x `e una funzione periodica 2 2

sin x = x² =⇒ x = 0 2 2

L’equazione x³+ sin x²+ cos x = 2001 ha almeno una soluzione reale 2 2

cos x + sin x = 1 + x + o(x²) per x → 0 2 2

∀M > 0 ∃x > 0 tale che x² > M 2 2

La serieP∞

n=1n²⁰⁰¹xⁿ converge in x = 4/5 2 2

y(t) = e^5t `e una soluzione dell’equazione differenziale y⁰⁰+ 4y⁰ − 5y = 0 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : x ≥ 3, |y| ≤ 2} `e limitato 2 2

x→−∞lim

x²+ 2 sin x

3x²− sin x = . . . lim

x→0

x²+ 2 sin x

3x²− sin x = . . . lim

x→π⁺

x²+ 2 sin x

3x²− sin x = . . . . inf {x ∈]2, 8π[: sin x + cos x < 4} = . . . .

inf {cos x : x ∈ [0, 1]} = . . . .

• Siano

f (x, y) = x^x+ 3y²x, A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(1, 2) = . . . .

Z

A

3 dx dy = . . . .

(5)

Pisa, 30 giugno 2001

L’equazione √ x =√⁴

x ha esattamente due soluzioni reali 2 2

f (x) = e^{sin x} `e una funzione periodica 2 2

L’equazione x⁸+ x⁶+ e^{cos x} = 0 ha almeno una soluzione reale 2 2

max{sinh x : x ∈ [0, 100]} = 1 2 2

x²− sin x² = o(x⁵) per x → 0⁻ 2 2

∀ε > 0 ∃δ > 0 tale che 3^−x < ε per ogni x > δ 2 2 La serie P∞

n=1n²⁰2⁻ⁿ converge 2 2

log₃9¹⁰⁰⁰ = 2000 2 2

La soluzione generale di y⁰⁰− 2y⁰+ y = 0 `e y(t) = c₁e^t+ c₂e^t 2 2

x→−∞lim

sin 2x

x − 1 = . . . lim

x→1

sin 2x

x − 1 = . . . lim

x→2

sin 2x

x − 1 = . . . . sup {n ∈ N : n + sin n > 0} = . . . .

sup {|x − 3| : x ∈ [2, 5]} = . . . .

• Siano

f (x, y) = x³+ xy²+ yx, A =(x, y) ∈ R² : x ∈ [−1, 0], 0 ≤ y ≤ x² . Calcolare:

∂²f

∂x²(1, 2) = . . . .

Z

2x dx dy = . . . .

(6)

Pisa, 21 luglio 2001

√2 ·√ 5 = √⁴

10 2 2

|1 + 3⁵⁰| = |1 − 3⁵⁰| 2 2

L’equazione |2x| = | cos 3x| ha almeno due soluzioni reali 2 2 f (x) = sin(sin x) `e una funzione periodica 2 2

∃δ > 0 tale che x² ≥ δ per ogni x ∈ R 2 2

sin²x = x²+ o(x⁵) per x → 0⁻ 2 2

{na_n} → 2001 =⇒ P a_n diverge 2 2

y⁰⁰+ 3y = t, y(0) = y(1) = 0, `e un problema di Cauchy 2 2 La derivata settima di f (x) = log(1 + x³) si annulla in x = 0 2 2

x→−∞lim

2x + cos x

x − 2 cos x = . . . lim

x→0

2x + cos x

x − 2 cos x = . . . lim

x→^3π₂

2x + cos x

x − 2 cos x = . . . .

sup {n ∈ N : 10n ≤ 1357} = . . . . min|x³− 69| + 2 : x ∈]0, 10[ = . . . .

• Siano

f (x, y) = 3x sin y + sin⁴x⁵, A =(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], x ≤ y ≤ 1 . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(1, 2) = . . . .

Z

A

2x dx dy = . . . .

(7)

Pisa, 22 settembre 2001

2²⁰· 2⁴ = 2⁸⁰ 2 2

cosh x ≥ 1 per ogni x ∈ R 2 2

L’equazione x²⁰⁰¹+ arctan x = 2001 ha esattamente una soluzione reale 2 2

f (x) = sin(x²) `e una funzione periodica 2 2

∀ε > 0 ∃δ > 0 tale che |x²− 9| < ε per ogni x ∈ [3, 3 + δ] 2 2

sin(x + x²) = x + o(x²) per x → 0 2 2

Il raggio di convergenza di P∞

n=1nⁿxⁿ `e +∞ 2 2

L’insieme delle soluzioni di y⁰⁰ = 6y `e uno spazio vett. di dimensione 2 2 2 f (x, y) = x⁴+ x²y² ha un minimo assoluto in (0, 0) 2 2

x→−∞lim

2x + 2^x

3x + 3^x = . . . lim

x→0

2x + 2^x

3x + 3^x = . . . lim

x→+∞

2x + 2^x

3x + 3^x = . . . .

supx ∈ R : x²− 6x ≤ 0 = . . . . minx²− 6x : x ∈ R = . . . .

• Siano

f (x, y) = y cos x, A =(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], −x² ≤ y ≤ x² . Calcolare:

∂²f

∂x²(1, 2) = . . . .

Z

f (x, y) dx dy = . . . .

(8)

Pisa, 6 Ottobre 2001

L’equazione |x + 2| = |x + 3| non ha soluzioni reali 2 2

sinh x ≤ e^−x per ogni x > 0 2 2

f (x) = sin(sin x) `e una funzione dispari 2 2 Esiste max{sin²x + cos⁴x : x ∈]0, 100[} 2 2

∀ε > 0 ∃x ∈ R tale che 3^x < ε 2 2

cos 2x = 1 + x + o(x) per x → 0 2 2

Il raggio di convergenza diP∞

n=1n²xⁿ `e +∞ 2 2

Se x1 = 1 e xn+1 = 2xn+ 1, allora x3 = 7 2 2 y(t) = t² `e una soluzione di t²y⁰⁰− 2y = 0 2 2

x→−∞lim

3x³+ 2x

x³− x = . . . lim

x→0

3x³+ 2x

x³− x = . . . lim

x→1⁺

3x³+ 2x

x³− x = . . . .

infx ∈ R : 1 ≤ x² ≤ 5 = . . . . infx² : 1 ≤ x ≤ 5 = . . . .

• Siano

f (x, y) = 3 sin xy, A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1 . Calcolare:

∂²f

∂x∂y(0, 0) = . . . .

Z

A

3(x²+ y²) dx dy = . . . .