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Esercizio 3
Ricavare la frequenza di oscillazione e la condizione di innesco dell’oscillatore a sfasamento di figura 1.
Figura 1 Oscillatore a sfasamento.
Svolgimento
Il circuito composto dall’amplificatore operazionale U2, dalla resistenza R0 e dal condensatore C collegato al nodo A è un derivatore e sfasa il segnale proveniente dal nodo A di -90o. Affinché sia soddisfatta la condizione di Barkhausen che riguarda la fase (ricordiamo che deve essere nulla) le due celle RC poste tra i punti A e B devono sfasare complessivamente di 90o. Dato che sono uguali ciascuna produrrà uno sfasamento di 45o. Questo avverrà alla frequenza di oscillazione.
Per trovare la frequenza di oscillazione dobbiamo calcolare il guadagno di anello βA. “Apriamo”
l’anello di retroazione nel punto B.
Figura 2 Il circuito per calcolare il guadagno di anello.
Usiamo il teorema di Thevenin per semplificare il circuito. Facciamo il “taglio” nel punto D. La tensione a vuoto è quella ai capi della resistenza R collegata al nodo D.
𝑣𝑒𝑞(𝑠) = 𝑅
𝑅 +𝑠𝐶1 𝑣𝑖(𝑠) = 𝑅
𝑠𝐶𝑅+1 𝑠𝐶
𝑣𝑖(𝑠) = 𝑠𝐶𝑅
1 + 𝑠𝐶𝑅𝑣𝑖(𝑠)
2 L’impedenza equivalente è data da:
𝑍𝑒𝑞 =
𝑅 𝑠𝐶
𝑅 +𝑠𝐶1 =
𝑅 𝑠𝐶𝑅+1𝑠𝐶
𝑠𝐶
= 𝑅
1 + 𝑠𝐶𝑅 Ridisegniamo il circuito:
Figura 3 Il circuito semplificato con il teorema di Thevenin.
Adesso applichiamo nuovamente il teorema di Teorema di Thevenin. Questa volta facciamo il
“taglio” al nodo E.
La tensione a vuoto è quella ai capi della resistenza R:
𝑣𝑒𝑞1(𝑠) = 𝑅
𝑅 +𝑠𝐶1 + 𝑍𝑒𝑞𝑣𝑒𝑞(𝑠) = 𝑅
𝑠𝐶𝑅+1
𝑠𝐶 +1+𝑠𝐶𝑅𝑅 𝑣𝑒𝑞(𝑠) = 𝑠𝐶𝑅(1 + 𝑠𝑅𝐶)
1 + 2𝑠𝐶𝑅 + 𝑠2𝑅2𝐶2+ 𝑠𝑅𝐶𝑣𝑒𝑞(𝑠) = Sostituendo alla tensione a vuoto il valore precedentemente calcolato si trova:
= 𝑠𝐶𝑅(1 + 𝑠𝑅𝐶) 1 + 3𝑠𝐶𝑅 + 𝑠2𝑅2𝐶2
𝑠𝐶𝑅
1 + 𝑠𝐶𝑅𝑣𝑖(𝑠) = 𝑠2𝑅2𝐶2
1 + 3𝑠𝐶𝑅 + 𝑠2𝑅2𝐶2𝑣𝑖(𝑠) Impedenza equivalente:
𝑍𝑒𝑞1 = (𝑍𝑒𝑞+𝑠𝐶1) 𝑅
𝑍𝑒𝑞+𝑠𝐶1 + 𝑅 = (1+𝑠𝐶𝑅𝑅 +𝑠𝐶1) 𝑅
𝑅
1+𝑠𝐶𝑅+𝑠𝐶1 + 𝑅=
(𝑠𝐶𝑅+1+𝑠𝐶𝑅)𝑅 (1+𝑠𝐶𝑅)𝑠𝐶 𝑠𝐶𝑅+1+𝑠𝐶𝑅+𝑠𝐶𝑅+𝑠2𝐶2𝑅2
(1+𝑠𝐶𝑅)𝑠𝐶
= (1 + 2𝑠𝐶𝑅)𝑅 1 + 3𝑠𝐶𝑅 + 𝑠2𝐶2𝑅2 Ridisegniamo nuovamente il circuito:
Figura 4 Il circuito semplificato dopo la seconda applicazione del teorema di Thevenin.
Adesso si vede chiaramente che la tensione di feedback è quella applicata ai capi di R0. Per determinarla dobbiamo trovare la corrente I0.
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Questa corrente, dato che l’amplificatore operazionale è ideale, è la stessa che scorre nella serie Zeq1–C ed è data da:
𝐼0 = 𝑣𝑒𝑞1(𝑠)
𝑍𝑒𝑞1+𝑠𝐶1 = 1
(1+2𝑠𝐶𝑅)𝑅
1+3𝑠𝐶𝑅+𝑠2𝐶2𝑅2+𝑠𝐶1
𝑠2𝑅2𝐶2
1 + 3𝑠𝐶𝑅 + 𝑠2𝑅2𝐶2𝑣𝑖(𝑠) =
= 1
𝑠𝐶𝑅+2𝑠2𝐶2𝑅2+1+3𝑠𝐶𝑅+𝑠2𝐶2𝑅2 𝑠𝐶(1+3𝑠𝐶𝑅+𝑠2𝐶2𝑅2)
𝑠2𝑅2𝐶2
1 + 3𝑠𝐶𝑅 + 𝑠2𝑅2𝐶2𝑣𝑖(𝑠) =
= 1
1+4𝑠𝐶𝑅+3𝑠2𝐶2𝑅2 𝑠𝐶(1+3𝑠𝐶𝑅+𝑠2𝐶2𝑅2)
𝑠2𝑅2𝐶2
1 + 3𝑠𝐶𝑅 + 𝑠2𝑅2𝐶2𝑣𝑖(𝑠) =
= (1 + 3𝑠𝐶𝑅 + 𝑠2𝐶2𝑅2)
1+4𝑠𝐶𝑅+3𝑠2𝐶2𝑅2 𝑠𝐶
𝑠2𝑅2𝐶2
1 + 3𝑠𝐶𝑅 + 𝑠2𝑅2𝐶2𝑣𝑖(𝑠) =
= 𝑠2𝑅2𝐶2
1+4𝑠𝐶𝑅+3𝑠2𝐶2𝑅2 𝑠𝐶
𝑣𝑖(𝑠) = 𝑠2𝑅2𝐶2
1
𝑠𝐶𝑠2𝑅2𝐶2(𝑠2𝑅12𝐶2+𝑠𝐶𝑅4 + 3)𝑣𝑖(𝑠) =
= 1
1
𝑠𝐶(𝑠2𝑅12𝐶2+𝑠𝐶𝑅4 + 3)𝑣𝑖(𝑠) Finalmente possiamo trovare la tensione di feedback:
𝑣𝑓(𝑠) = 𝑅0
1
𝑠𝐶(𝑠2𝑅12𝐶2+𝑠𝐶𝑅4 + 3)𝑣𝑖(𝑠)
E il guadagno di anello (tenendo presente che l’amplificatore operazionale è in configurazione invertente):
𝛽𝐴 =𝑣𝑓(𝑠)
𝑣𝑖(𝑠)= − 𝑅0
1
𝑠𝐶(𝑠2𝑅12𝐶2+𝑠𝐶𝑅4 + 3) Quindi:
𝛽𝐴(𝑗𝜔) = − 𝑅0
1
𝑗𝜔𝐶(𝑗2𝜔21𝑅2𝐶2+𝑗𝜔𝐶𝑅4 + 3)
Ora dobbiamo imporre le condizioni di Barkhausen. Il circuito oscilla se la fase del guadagno di anello è nulla cioè se la parte immaginaria è nulla.
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𝑗3𝑅2𝜔3𝐶3+ 3
𝑗𝜔𝐶 = 0 → − 1
𝑗𝑅2𝜔3𝐶3+ 3 𝑗𝜔𝐶 = 0 Semplificando:
− 1
𝑅2𝜔2𝐶2+ 3 = 0 → 3𝑅2𝜔2𝐶2 = 1
4 La pulsazione di oscillazione vale:
𝜔0 = 1
√3𝑅𝐶 La frequenza di oscillazione è data da:
𝑓0 = 1 2𝜋√3𝑅𝐶
A questo punto dobbiamo sostituire a ω la pulsazione di oscillazione ricordando che la parte immaginaria è nulla:
𝛽𝐴 = − 𝑅0
−𝜔 4
02𝐶2𝑅
= 𝑅0𝜔02𝐶2𝑅
4 =
Sostituendo a ω0 il valore determinato si trova:
=𝑅03𝑅12𝐶2𝐶2𝑅
4 = 𝑅0
12𝑅
Ricordando le condizioni di Barkhausen le oscillazioni si innescano per βA>1 quindi per:
𝑅0
12𝑅 > 1 → 𝑅0 > 12𝑅
L’amplificatore operazionale U1 sfasa il segnale presente al nodo A di 180°.
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Matilde Consales
