1) Si consideri un oscillatore armonico di massa m e ”frequenza” ω.

Corso di laurea in Fisica

I Parziale di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 7 Gennaio 2015

studente/ssa:

matricola:

1) Si consideri un oscillatore armonico di massa m e ”frequenza” ω.

- Si scrivano e si risolvano le equazioni di Heinseberg per gli operatori impulso e posizione;

- Si consideri l’operatore parit` a Π, se ne scriva l’azione sugli operatori impulso e posizione. Utiliz- zando la risposta alla domanda precedente si trovi esplicitamente un operatore che agisce come Π in termini dell’operatore di evoluzione temporale;

- Si calcoli al tempo t il valor medio sullo stato fondamentale degli operatori pq

e p

q.

Una volta scritte le equazioni del moto per gli operatori ed appurato che l’operatore parit` a scambia x in -x e p in -p si pu` o notare

come l’evoluzione temporale ad un dato tempo t

opera la stessa trasformazione e cio` e x(t

)=-x(0) e p(t

)=-p(0) cosicch` e l’operatore di evoluzione temporale al tempo t

coincide con la parit` a. Quale

`

e il tempo t

? Per il calcolo dei valori medi si pu` o far uso

dell’azione della parit` a sullo stato fondamentale e sugli operatori da mediare...

2) Una particella di spin 1/2 si trova inizialmente nell’autostato dello spin lungo l’asse z corrispondente all’autovalore ¯ h/2. Lo spin evolve nel tempo secondo l’Hamiltoniano:

H = −ˆ n · ~ σ ˆ

n ` e un versore che individua una direzione inclinata di 30

rispetto all’asse positivo di z.

- σ

` e costante del moto?

- Esiste un periodo associato all’evoluzione dello stato?

Se si esprime il prodotto scalere σ·ˆ n intermini delle componenti di σ si nota subito che [H, σ

] 6= 0 e questo determina la risposta al primo quesito. Per il secondo si deve esprimere l’operatore di evoluzione temporale...

3) Un atomo di idrogeno ` e soggetto ad una forza costante dimodulo F

diretta lungo il verso positivo dell’asse z.

- Scrivere il potenziale V associato a tale forza.

- V commuta con l’hamiltoniano dell’atomo di idrogeno libero (in assenza della forza esterna)?

- V commuta con la componente z del momento angolare?

Si consideri la massa del protone molto maggiore di quella

dell’elettrone. Si scriva l’hamiltoniano totale considerando la forza agente sull’elettrone. I termini cinetici del moto elettronico non commutano con la coordinata nella componente z. Per il secondo quesito si possono usare sia le coordinate sferiche che le coordinate cartesiane nella espressione di L

...

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4) I tre stati ortonormali |1 >, |2 > e |3 > sono autostati dell’Hamiltoniano ˆ H

con autovalori rispettivamente ,− e −. Su questi stati l’azione di un potenziale ˆ V si esprime come

V |1 >= v ˆ

|1 >

V |2 >= v ˆ

|3 >

V |3 >= v ˆ

|2 >

- Scrivere nella base dei tre stati le matrici rappresentanti ˆ H

e ˆ V - Calcolare le correzione alle energie al primo ordine non nullo in V .

Si pu` o notare che il sottospazio generato dai vettori |2 > e |3 > ` e degenere, dunque in questo sottospazio si deve applicare la teoria delle perturbazioni nel caso degenere.

5) 2 particelle identiche di massa m non interagenti sono sottoposte al potenziale armonico unidimen- sionale di frequenza caratteristica ω.

- Nel caso in cui a) le due particelle abbiano spin nullo, b) le due particelle abbiano spin 1/2 scrivere lo stato fondamentale ed il primo eccitato con le corrispettive energie e degenerazioni.

- Nel caso b) valutare l’effetto di un potenziale V = −λ~ s

· ~s

con λ costante positiva. Valutare il nuovo stato fondamentale il primo eccitato con le corrispettive energie e degenerazioni.

La parte dipendente dalle coordinate degli stati fondamentale ed eccitato(i) in assenza delle perturbazioni si pu` o scegliere opportunamente simmetrizzando/antisimmetrizzando le autofunzioni di singola particella (autostati dell’oscillatore armonico). Per quanto riguarda il caso b) ` e conveniente considerare la parte spinoriale descritta dalle autofuzioni della somma dei due spin. Sempre nel caso b) si puo notare che le autofuzioni della somma dei due spin sono anche autofunzioni di V e quindi il problema si risolve esattamente. Attenzione al fatto che per λ sufficientemente grande e positivo lo stato fondamentale passa da uno stato di singoletto ad uno stato di tripletto...

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