Oscillatore a sfasamento

(1)

0.0. 7.3 1

Oscillatore a sfasamento

Esempio. Come esempio di utilizzo del metodo della funzione descrittiva si consideri il seguente oscillatore a sfasamento realizzato con un amplificatore operazionale:

Il guadagno dell’amplificatore operazionale `e:

A = −β dove

β = R1

R

• Rappresentazione schematica del sistema retroazionato `e:

−V^p -

N.L.

β ^- ⁶^-

VM

V0-

−G(s) ^-

• L’elemento non lineare (N.L.) `e una saturazione con tratto centrale a pendenza β:

- 6

X1 Vp

VM

V₀

−V^M

β X1 = R VM

R1

β = R1

R

(2)

7.3. FUNZIONE DESCRITTIVA: ESEMPI 7.3 2

• Schema fisico della rete a capacit`a e resistenze:

6

V₀

6

Vp

I-1

C

V1

R I-2

C

V2

R I-3

C

V3

R

• Le equazioni che descrivono il circuito sono:

I1 = C d(V₀ − V¹)

dt , I2 = C d(V₁ − V²)

dt , I3 = C d(V₂ − V³) dt V1 = R(I1 − I²), V2 = R(I2 − I³), V3 = RI3

• Utilizzando le trasformate di Laplace, le tre equazioni differenziali diventano:

I1 = C s (V0 − V¹), I2 = C s (V1 − V²), I3 = C s (V2 − V³)

• Lo schema fisico pu`o quindi essere rappresentato dal seguente schema a blocchi:

V0 -

C s

?

I1

-

R

6

V1

-

C s

?

I2

-

R

6

V2

-

C s

?

I3

-

R

6

V3

-

Vp

0

• La funzione di trasferimento G(s) che lega l’ingresso V⁰(s) all’uscita Vp(s) si calcola agilmente utilizzando la formula di Mason:

G(s) = Vp(s)

V₀(s) = R³C³s³

1 + 5 R C s + 6 R²C²s² + R³C³s³

Infatti, all’interno dello schema a blocchi ci sono 5 anelli distinti, tutti aventi guadagno di anello − R C s. Inoltre ci sono 6 coppie di anelli che non si toccano a due a due, e una terna di anelli che non si toccano a tre a tre. L’unico percorso che parte da V0 e arriva a Vp attraversa tutti i blocchi.

(3)

• Diagramma di Nyquist e Diagrammi di Bode della funzione G(s):

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 -0.2

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Imag

Real

G(jω)

1 Diagramma di Nyquist

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

300 408

600

Imag

Real 1

−_{F (X)}¹

Diagramma di Nyquist (zoom, β = 60)

−1 β G(jω)

Il diagramma interseca il semiasse reale negativo in corrispondenza del punto σ^∗ = −1/K^∗ alla pulsazione ω^∗. I valori di K^∗ e di ω^∗ possono essere agevolmente calcolati utilizzando il criterio di Routh. L’equazione caratteristica 1 + K G(s) = 0 del sistema `e:

R³C³(K + 1)s³ + 6 R²C²s² + 5 R C s + 1 = 0 Dalla tabella di Routh:

3 R³C³(K + 1) 5 R C

2 6R²C² 1

1 (30 − 1 − K)R³C³

0 1

si ricava che il sistema `e stabile per −1 < K < K^∗ = 29.

• Quindi nel sistema si innesca un’oscillazione solo quando:

β > K^∗ dove β = R1

R e K^∗ = 29

• La pulsazione di oscillazione si ricava dall’equazione ausiliaria della tabella di Routh:

6 R²C²s² + 1 = 0 → ω^∗ = 1

R C√ 6

(4)

• Simulazione del seguente schema a blocchi (oscillatore mdl.mdl):

1 tau.s+1 Transfer Fcn V1

To WS8

V2 To WS7

Vp To WS6

V0 To WS5

t

To WS1

Saturation1 s

1 Int3 s

1 Int2 s

1 Int1

−beta

G7

G6 1/R 1/C G5 G4 1/R

1/C G3 G2 1/R

1/C G1 Clock

• Parametri di simulazione (oscillatore m):

R=1; % Resistance

C=0.001; % Capacity

beta=60; % Gain

VM=12; % Maximum voltage

V30=0.1; % Initial condition

Q30=C*V30; % Initial condition

wstar=1/(R*C*sqrt(6)); % Oscillation pulse

tau=0.000001; % Amplifier time constant

Tfin=10*2*pi/wstar; % Duration of the simulation sim(’Phase_Shift_Oscillator_mdl’,Tfin) % Simulation

figure(1) % Opening of the figure nr. 1

subplot(211); plot(t,V0); % Plot of voltage V0 subplot(212); plot(t,Vp); % Plot of voltage Vp

• Risultati della simulazione (variabili V^p e V0):

Posto:

R = 1, C = 0.001, β = 60, VM = 12 si ha che:

ω^∗ = 408.2 T = 15.4 ms

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

-15 -10 -5 0 5 10 15

V0 [V]

Tensione V0

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Vp [V]

Tensione Vp

Time [s]