Università degli Studi di Siena
Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 2019-20) 15 giugno 2020
Compito
"
Z Z Z Z J Z J
Z Z J Z Z Z Z
Z J Z Z J Z J
Z J J Z Z Z Z
J Z Z Z Z Z Z
J Z J Z Z Z Z
J J Z J Z Z Z
J J J J Z Z Z
)
: ; < : 9 ; c : / < : Ê : 9 ; c : / < Í : Ê : 9 ;
# F œ) ÖB −‘À691 B #לÖB −‘ÀB *ל Ó*ß ∞Ò E ∪ F œ Ò!ß ∞Ò, ,
$
E ∩ F œ Ó*ß "!Ó E ∪ F œ E ∪ F E ∩ F œ Ò*ß "!Ó, , .
$ 0 Ð1ÐBÑÑ œ 0 Ð# Ñ œ " " œ " #
) "%B# Ê #"%B# È B %"# ;
1Ð0 ÐBÑÑ œ 1Ð " "Ñ œ # œ # Ê B "%ŠÉ""B‹ %
#
"
B .
% 637 =/8B =/8#B œ 637 =/8B =/8#B † # œ " " † # œ $
B B #B
) .
B Ä ! B Ä !Œ
Per B Ä ∞ %, %B œ 9 / B e /%#B œ 9 # B ; pertanto
637 / % œ 637 / œ 637 / œ ∞
# / # #
B Ä ∞ B Ä ∞ B Ä ∞
B %B B
B %#B B
Š ‹B .
& GÞIÞ) : .‘
Segno ed intersezioni con gli assi: C ! aB − ‘, ; in quanto funzione esponenziale.
Limiti agli estremi del GÞIÞ:
B Ä % ∞
637
/B "%B œ /Ä%∞ Ä∞ œ /Ä%∞œ !;B Ä ∞
637
/B "%B œ /Ä∞ Ä%∞ œ /Ä%∞œ ! E= S<, di equazione C œ !. Crescenza e decrescenza: C œ /w B "%B †" % B % B œ / B "%B † " % #B . C !w se " % #B ! Ê B 5 "Î#. Funzione strettamente crescente in Ó % ∞ß "Î#Ó, strettamente decrescente in Ò"Î#ß ∞Ò. Massimo assoluto in B œ "Î# pari a C "Î# œ È% /.Concavità e convessità: C œ /ww B "%B † " % #B # /B "%B † % # œ
/B "%B †ˆ" % #B#% # C !߉. ww se " % #B#% # ! Ê #B % " # # Ê
#B % " 5 % # ” #B % " # Ê B 5 " % # ” B " #
# #
È È È È
. Funzione strettamente convessa in Ó % ∞ß" % #Ó e in Ò" #ß ∞Ò, strettamente
# #
È È
concava in Ò" % # " ß #Ó. Punti di flesso " „ #ß " .
# # # /
È È È
È%
Grafico:
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
grafico funzione
. ' B " .B œ B "691lBl œ / " % " œ / "
#B $ # $ # $ $ '
) ( ΠΠΠΠ.
"
/
# $ / $ $
"
7) E † \ œ " " † B B œ #B B B ;
" ! B B B % B B B
” • ” " " # " # #• ” " " # "#•
E F œ " " * # œ "! $ #B B B œ "! $
" ! # % $ % B B $ %
” • ” • ” •. Posto ” " # "• ” • si
" #
ottiene B œ $ B œ %" e # .
8) 0 œ =/8C % D † ABw # $ 0 œ # B † C † -9=CCw # 0 œ % $ B † D † AAw # 0 œ % B † ADw $
Compito
"
Z Z Z Z Z J J
Z Z J Z J Z Z
Z J Z Z Z Z Z
Z J J Z J J J
J Z Z Z J Z Z
J Z J Z J Z Z
J J Z J J J Z
J J J J J J Z
)
: ; < : 9 ; : / < : / < Í c; : 9 ; Ê : / < Í c;
# F œ) ÖB −‘À#B 5 "לÖB − ‘ÀB5 !ל Ó % ∞ß !Ò E ∪ F œ Ó % ∞ß &Ò, , E ∩ F œ Ò % $ß !Ò E ∪ F œ E ∪ F E ∩ F œ Ó % $ß !Ò‰ ‰
, , .
$) In un numero di cinque cifre in cui non compare la cifra , si hanno per ogni cifra! nove possibili modi di scelta, pertanto i possibili numeri sono * œ &*Þ!%)& . Se richiediamo che la cifra 1 compaia esattamente tre volte, abbiamo Œ & modi
$
distinti di scelta per posizionare la cifra e " )# modi distinti per le rimanenti due cifre, i possibili numeri sono quindi Π& .
$ † ) œ '%!#
% 637 œ 637 † † B œ † " † ! œ !
B Ä ! B Ä !
" B % " " B % " B "
=/8B B =/8B #
) È # È # .
#
Per B Ä % ∞ / œ 9 %, B %B e % œ 9 /B %B; pertanto
637 / % œ 637 % œ 637 % œ ∞
% / / /
B Ä % ∞ B Ä % ∞ B Ä % ∞
B %B %B
B %B %B
%B
Π.
& GÞIÞ B Á ! GÞIÞ œ Ó % ∞ß !Ò ∪ Ó!ß ∞Ò) : ; .
Segno ed intersezioni con gli assi: C ! se B % # ! Ê B % # ! ovvero
B B
# $
B 5 ! ” B È$ #. Funzione positiva in Ó % ∞ß !Ò e in ÓÈ$ #ß ∞Ò negativa in Ó!ßÈ$ #Ò. Unica intersezione con gli assi nel punto ÐÈ$ #ß !Ñ.
Limiti agli estremi del GÞIÞ:
B Ä „ ∞
637
B % # œ ∞ B# ;
637 637
B Ä „ ∞ B Ä „ ∞
C #
B œ B % B# œ „ ∞;
B Ä !
637
„B % # œ … ∞ E= Z B œ ! B# ; di equazione .
Crescenza e decrescenza: C œ #B # œ # B " .
B B
w
# #
$
C !w se B " ! Ê B % "$ . Funzione strettamente crescente in Ó % "ß !Ó e in Ó!ß ∞Ò, strettamente decrescente in Ò % ∞ß % "Ò. Minimo relativo in B œ % " pari a C % " œ $ .
Concavità e convessità: C œ # % % œ # B % # . C !ßse B 5 ! ” B #..
B B
ww ww
$ $
$ È$
Funzione strettamente convessa in Ó % ∞ß !Ó e in ÒÈ$ #ß ∞Ò, strettamente concava in Ò!ßÈ$ #Ó. Punto di flesso ŠÈ$ #ß !‹.
Grafico:
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
grafico funzione
' B % $ .B œ B % $ 691 B œ / % $ % # % $ 691 # œ
B # #
) ( Œ Œ k k Œ
#
/ # / #
#
/
# % & 691 ) Þ
#
7) C œ # =/8B -9=B † /w $B " =/8 B † / # $B† $ œ =/8#B $ " =/8 B † / # $B.
8) Il piano tangente alla superficie ha equazione D % D T œ fD T † . B % B C % C A % A
Î Ñ
Ï Ò
T T T
D T œ ! fD œ $C ß 'BC % #ß # fD T œ $ß % #ß # , # , . Equazione del piano tangente: D œ $ B % ! % # C # # A % # , oppure $B % #C #A % D œ ).
Compito ‚
"
Z Z Z Z J Z Z
Z Z J J J J Z
Z J Z Z Z Z Z
Z J J J J J Z
J Z Z J J Z Z
J Z J Z J Z Z
J J Z J J Z Z
J J J Z Z Z Z
)
: ; < : Í < : Í < / c; : Ê < : Í < / c; Ê : Ê <
# E œ) ÖB −‘À$B #(לÖB − ‘ÀB $ל Ò$ß ∞Ò E ∪ F œ Ó!ß ∞Ò, , E ∩ F œ Ò$ß &Ò H E ∪ F œ Ò!ß ∞Ò H E ∩ F œ Ò$ß &Ó, , .
$ 0 Ð1ÐBÑÑ œ 0 Ð" B Ñ œ) # È" #"% "B # œÈ" #%B#; 1Ð0 ÐBÑÑ œ 1ÐÈ" #"%BÑ œ " ŠÈ" #"%B‹# œ # #"%B.
% " =/8B % " œ " =/8B % " =/8B "† † œ " † " † " œ "
$B =/8B B $ # $ '
)
637 637
.B Ä ! B Ä !
È È
Per B Ä % ∞ B œ 9 B, # e $B œ 9 B % ; pertanto 637 B % B œ 637 B œ 637 " œ !
B $B B B
B Ä % ∞ B Ä % ∞ B Ä % ∞
# #
% % # .
& GÞIÞ) : .‘
Segno ed intersezioni con gli assi: C ! aB − ‘, ; in quanto funzione esponenziale.
Limiti agli estremi del GÞIÞ:
B Ä „ ∞
637
/B "B œ /Ä„∞ Ä„∞ œ /Ä∞œ ∞;B Ä „ ∞
637
/
B œ ∞ B Ä „ ∞ B œ 9 /
B "%B
B "B
, in quanto per , ˆ ‰.
Crescenza e decrescenza: C œ /w B "B †" B B œ / B "B † " #B . C !w se " #B ! Ê B % "Î#. Funzione strettamente decrescente in Ó % ∞ß % "Î#Ó, strettamente crescente in Ò % "Î#ß ∞Ò. Minimo assoluto in B œ % "Î# pari a C % "Î# œ "Î È% /.
Concavità e convessità: C œ /ww B "B † " #B # /B "B † # œ
/B "B †ˆ" #B# # C ! aB −‰. ww , ‘. Funzione strettamente convessa.
Grafico:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
grafico funzione
. ') Integriamo per parti: ( " B / .B œ " B / % B B ( " † / .B œB
" B / % / - œ B/ - Þ B B B
7) C œ / % =/8B " % B % / % $B œ / $B % =/8B " % B .
" % B " % B
w -9=B $ -9=B # -9=B # $
$ # $ #
8) f0 œ Ð%B% Cß % B *C Ñ# .
J SG % C œ ! Ê C œ Ê Ê
% B *C œ ! "%%B % B œ !
C œ
B "%%B % " œ !
: œ%B œ %B œ %B
# #
œC œ œC œ
B "%%B % " œ !%B Ê B œ ! ” B œ "Î"%%%B T Ð!ß !Ñ , due punti critici " e T Ð"Î"%%ß "Î$'Ñ# .
[0 œ % " à l 0 l œ[
% " ")
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C (#C % ".
WSG l 0 ÐT Ñl œ % " 5 ! T: [ " . " punto di sella.
l 0 ÐT Ñl œ " !ß 0 ÐT Ñ œ[ # # ! T#
BBww % . punto di minimo.
