1.5 Massimi e minimi

(1)

Questo volume contiene una raccolta di esercizi di varia provenienza assegnati durante gli ultimi anni in corsi di Analisi Matematica II.

Gli errori di stampa (in particolare nelle risposte) sono semplicemente inevitabili, i lettori sono quindi invitati a controllare criticamente ogni affermazione (per in- ciso questo `e il modo migliore per imparare!) ed a segnalare gli eventuali errori riscontrati.

Buon lavoro!

Marina Ghisi e Massimo Gobbino

Pisa, 20 ottobre 2002

(2)

I Esercizi 5

1 Funzioni di pi`u variabili 7

1.1 Insiemi 2 dimensionali . . . 8

1.2 Limiti 1 . . . 10

1.3 Limiti 2 . . . 13

1.4 Continuit`a, differenziabilit`a . . . 16

1.5 Massimi e minimi . . . 18

1.6 Max/min su domini . . . 19

1.7 Studio di funzioni . . . 21

1.8 Luoghi di zeri . . . 23

1.9 Invertibilit`a . . . 24

2 Equazioni differenziali 27 3 Convergenza uniforme 37 3.1 Convergenza uniforme 1 . . . 38

3.2 Convergenza uniforme 2 . . . 41

4 Integrali multipli 45 4.1 Integrali impropri 1 . . . 46

4.2 Integrali impropri 2 . . . 48

4.3 Integrali . . . 50

5 Esercitazioni scritte 53

6 Miscellanea 59

7 Test d’esame 77

8 Compiti d’esame 91

II Risposte 97

(3)

1.5 Massimi e minimi

Si considerino le funzioni definite come da tabella; calcolarne l’estremo inferiore (inf), l’estremo superiore (sup), il minimo (min) ed il massimo (max) (se non esistono indicare N.E.) sugli insiemi (D) definiti dalle relazioni date, precisando se tali insiemi sono compatti (comp).

f D comp inf sup min max

x − y + 3z² x²+ y²+ z² = 1 x

1 + z² x + y² = 1, x²+ z² = 1 xyz x² + 2y² = 1, x² + z² = 1 x + yz x²+ y²+ z² ≤ 1

xy x²+ y²+ z² < 1 xyz² x²+ y²+ z² = 4 x − y + z 2x²+ y²+ z² ≤ 1

xz + y² x²+ y²+ z² = 1, x + z = 0 xy + z² x²+ y²+ 2z² < 1 x − y²+ z² x²+ y² = 2, x²− z² = 1

xyz xz = 1, y²+ z²+ xy = 7, x, y ≥ 0 xyz xz = 1, z²− y²+ xy = 7, x, y ≥ 0 x² − xy²+ 2z x + y² = 1, x²+ z = 1 x² − xy²+ 2z x² + y²= 1, x²+ z = 1

x + y²+2

3z³ x²+ y²− z² = 0, x + z² = 1 2 2x²+ y²+ z³ x²+ y²− z² = 0, x²+ z = 3 4

(4)

Stabilire se i seguenti problemi di Cauchy hanno soluzione globale per t ≥ 0 e limitata per t ≥ 0 all’interno dell’intervallo massimale di esistenza:

Globale Limitata

Eq. diff. Dato Si No Si No

u^′ = u²− 3 u(0) = 3 2 2 2 2

u^′ = u²− 3 u(0) = 0 2 2 2 2

u^′ = u²− 3 u(0) = −3 2 2 2 2

u^′ = u²+ 3 u(0) = −3 2 2 2 2

u^′ = u³− 3 u(0) = 3 2 2 2 2

u^′ = u³− 3 u(0) = −3 2 2 2 2

u^′ = (u²− 1)² u(0) = 0 2 2 2 2

u^′ = (u − 2)(√

u − 4) u(0) = 20 2 2 2 2

u^′ = (u − 2)(√

u − 4) u(0) = 12 2 2 2 2

u^′ = (u − 2)(√

u − 4) u(0) = 1 2 2 2 2

u^′ = (u − 2)(4 −√

u) u(0) = 1 2 2 2 2

u^′ = u + sin u u(0) = 3 2 2 2 2

u^′ = u − 2 sin u u(0) = 1 2 2 2 2

u^′ = u − 2 sin u u(0) = 3 2 2 2 2

u^′ = −u⁻¹ u(0) = 4 2 2 2 2

u^′ = log(u − 1) u(0) = 3/2 2 2 2 2

(5)

Equazioni Differenziali 2

Globale Limitata

u^′ = u + t² u(0) = 3 2 2 2 2

u^′ = u + t² u(0) = 0 2 2 2 2

u^′ = arctan(t + u) u(0) = 0 2 2 2 2

u^′ = (u²− 20)(t + u) u(0) = 0 2 2 2 2

u^′ = u²− t² u(0) = −4 2 2 2 2

u^′ = u²− t² u(0) = 0 2 2 2 2

u^′ = t log u u(0) = 4 2 2 2 2

u^′ = t log u u(0) = 1/2 2 2 2 2

u^′ = u log u u(0) = 2 2 2 2 2

u^′ = u log u u(0) = 1/2 2 2 2 2

u^′ = u log²u u(0) = 2 2 2 2 2

u^′ = u log²u u(0) = 1/2 2 2 2 2

u^′ = u|u − 8|e^−u u(0) = 20 2 2 2 2

u^′ = u|u − 8|e^−u u(0) = −20 2 2 2 2

u^′ = |u(u − 8)|e^−u u(0) = −20 2 2 2 2

u^′ = |u(u − 8)|e^−u− t² u(0) = 0 2 2 2 2

(6)

Consideriamo il problema di Cauchy:

u^′ = t · u · arctan(t − u²) u(0) = α.

Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

Per ogni α ∈ R la soluzione `e globale per t ≥ 0 2 2

Per ogni α ∈ R la soluzione `e globale 2 2

Per ogni α ∈ R la soluzione è monotona per t ≤ 0 2 2 Esiste α > 0 per cui la soluzione è monotona per t ≥ 0 2 2 Esiste α > 0 per cui la soluzione è limitata per t ≥ 0 2 2 La differenza tra due soluzioni con α > 0 è infinitesima per t → +∞ 2 2

u^′ = t + log u u(0) = α.

Per ogni α > 1 la soluzione è globale per t ≥ 0 2 2 Per ogni α > 0 la soluzione è globale per t ≤ 0 2 2 Esiste α ∈]0, 1[ per cui la soluzione è globale 2 2 Per ogni α > 0 la soluzione è globale 2 2 Esiste α > 0 per cui la soluzione è globale e monotona 2 2 Per α = 1 si ha che u(t) ≤ e^t per ogni t ≥ 0 2 2

(7)

u^′ = (u − t²)u u(0) = α.

Per ogni α < 0 la soluzione è globale per t ≥ 0 2 2 Esiste α > 0 per cui la soluzione è globale per t ≥ 0 2 2 Per ogni α > 0 la soluzione è globale per t ≤ 0 2 2 Esiste α ∈ R per cui la soluzione ha un max relativo in t = 1999 2 2 Per ogni α < 0 la soluzione è infinitesima per t → +∞ 2 2 Per ogni α > 0 la soluzione è globale per t ≥ 0 2 2 Esiste α < 0 per cui la soluzione è globale per t ≤ 0 2 2 Esiste un’unico α > 0 per cui la soluzione è globale e monotona per t ≥ 0 2 2

u^′ = (t − u)² u(0) = α.

Per ogni α < 0 la soluzione `e globale per t ≥ 0 2 2

Esiste α < 0 per cui la soluzione `e globale e limitata per t ≥ 0 2 2 Esiste α > 0 per cui la soluzione `e globale per t ≥ 0 2 2

Per ogni α > 0 la soluzione `e globale per t ≥ 0 2 2

Esiste α > 0 per cui la soluzione `e globale e priva di flessi a tg. orizzontale 2 2 Per α = 1/3 la soluzione ha un flesso in t = log√

2 2 2

(8)

u^′ = (|t| − |u|)u u(0) = α.

Esiste α > 0 per cui la soluzione è globale per t ≥ 0 2 2 Per ogni α > 0 la soluzione è globale per t ≥ 0 2 2 Esiste α > 0 per cui la soluzione è globale e limitata per t ≥ 0 2 2 Esiste α > 0 per cui la soluzione è globale e infinitesima per t ≤ 0 2 2

Per ogni α > 0 la soluzione `e globale 2 2

Esiste α > 0 per cui la soluzione `e globale e monotona per t ≤ 0 2 2 Per ogni α > 0 la retta u = t `e asintoto obliquo per la soluzione 2 2

u^′ = tan |tu| u(0) = α.

Per ogni α > 0 la soluzione è globale per t ≥ 0 2 2 Per ogni α < 0 la soluzione è globale per t ≥ 0 2 2 Per ogni α < 0 la soluzione è infinitesima per t → +∞ 2 2 Esiste α > 0 per cui la soluzione ha un break down in t = 1999 2 2 Esiste α ∈ R\{0} per cui la soluzione è globale 2 2

(9)

u^′ = e^u− e^t u(0) = α.

Per ogni α ≤ 0 la soluzione `e globale per t ≥ 0 2 2

Per ogni α ≤ 0 la soluzione `e globale 2 2

Esiste α < 0 per cui la soluzione `e limitata 2 2

Esiste α > 0 per cui la soluzione `e globale 2 2

Esiste α > 0 per cui la soluzione `e globale e monotona 2 2 Esiste unico α > 0 per cui la soluzione ha un asintoto obliquo per t → +∞ 2 2

u^′ = log

2^u²^−t² − 1

u(0) = α.

Esiste α ∈]0, 1[ per cui la soluzione è globale per t ≥ 0 2 2 Esiste α ∈]0, 1[ per cui la soluzione è globale per t ≤ 0 2 2 Per ogni α ∈]0, 1[ la soluzione è globale per t ≤ 0 2 2 Esiste α > 0 per cui la soluzione ha un max relativo in t = 1999 2 2 Per ogni α > 1 la soluzione è globale per t ≤ 0 2 2

Esiste α > 1 per cui la soluzione `e globale e monotona per t ≥ 0 2 2

(10)

u^′ = 1

1 + t² · 1

1 + tu u(0) = α.

Per ogni α > 0 la soluzione è globale per t ≥ 0 2 2 Esiste α < 0 per cui la soluzione è globale 2 2 Per ogni α ∈ R la soluzione è globale 2 2 Per ogni α ∈ R la soluzione è limitata 2 2

Per α = 0 la soluzione `e dispari 2 2

u^′ =√

t²+ 1 − u² u(0) = α.

Per ogni α ∈] − 1, 1[ la soluzione `e globale 2 2 Per ogni α ∈] − 1, 1[ la soluzione `e limitata 2 2 Per ogni α ∈]0, 1[ si ha che u(t) > t per ogni t ≥ 0 2 2 Per ogni β ∈] −√

2, −1[ esiste α ∈] − 1, 0[ tale che u(1) = β 2 2 Per ogni β ∈]7,√

50[ esiste α ∈]0, 1[ tale che u(7) = β 2 2

(11)

u^′ = tan u · sin t u(0) = α.

Per ogni α ∈]0, π/2[ la soluzione `e pari 2 2

Esiste α ∈]0, π/2[ per cui la soluzione `e globale 2 2 Esiste α ∈]0, π/2[ per cui la soluzione `e periodica 2 2

Per ogni α ∈]0, π/2[ la soluzione `e globale 2 2

Esiste α ∈]0, π/2[ per cui la soluzione ha un break down in t = π 2 2

u^′ = − ue^−t+ | sin u|

u(0) = α.

Per ogni α > 0 la soluzione è globale per t ≥ 0 2 2 Esiste α > 0 per cui la soluzione è infinitesima per t → +∞ 2 2 Per ogni α > 0 la soluzione è globale per t ≤ 0 2 2 Per ogni α > 0 la soluzione è limitata in ] − ∞, 0] 2 2 Per ogni α < 0 la soluzione è limitata in ] − ∞, 0] 2 2

Per ogni α < 0 la soluzione `e globale 2 2

Per ogni α < 0 la soluzione è limitata in [0, +∞[ 2 2 Esiste α < 0 per cui la soluzione è globale e monotona 2 2 Per ogni α > 0 la soluzione è infinitesima per t → +∞ 2 2

(12)

Dire se le serie date convergono puntualmente (pun.) ed uniformemente (uni.) sugli insiemi indicati e (se esistono), calcolare il limite delle funzioni definite da tali serie per x → 1⁻ e x → +∞.

Esercizio 1

[0, 1[ ]2, +∞[ ] − 2, −1[ limiti

serie pun. uni pun. uni pun. uni x → 1⁻ x → +∞

X+∞

n=1

n^−x

X+∞

n=1

xⁿ(1 + n²)⁻¹

+∞

X

n=1

(1 + nx²ⁿ)⁻¹

X+∞

n=1

e^−nxn⁻¹

+∞

X

n=1

xⁿ n²+ |x|ⁿ

+∞

X

n=1

tan

x² n²+ x²

X+∞

n=2

1 − cos(e^−n|x|)

+∞

X

n=1

arctan

n

n²+ x²ⁿ

X+∞

n=2

1 − 1

n

xn²

X+∞

n=1

nxⁿ 1 + nx⁴ⁿ

(13)

Esercitazione scritta 1

Globale Limitata

u^′ = (u − 3) arctan u u(0) = 2 2 2 2 2

u^′ = (u − 3) arctan u u(0) = −1999 2 2 2 2

u^′ = (u − 3) arctan u u(0) = 1999 2 2 2 2

u^′ = sin e^u+ cos log(u⁸+ 1) + 4 u(0) = 3000 2 2 2 2

u^′ = u⁴− 20 u(0) = 2 2 2 2 2

u^′ = u⁴− 20 u(0) = 3 2 2 2 2

u^′ = ue^u u(0) = −8 2 2 2 2

u^′ = ue^u u(0) = 8 2 2 2 2

u^′ =√

4u − u² u(0) = 1 2 2 2 2

(t + 1)²u^′ = (u − 3) arctan u u(0) = 1999 2 2 2 2

Calcolare i seguenti limiti (indicare “N.E.” se il limite non esiste):

Limite Risposta Limite Risposta

(x,y)→(0,0)lim

xy

x²+ y²+ 1 lim

x²+y²→+∞

xy x²+ y²+ 1

(x,y)→(0,0)lim

x³y

|x|³+ |y|³ lim

x²+y²→+∞

x³y

|x|³+ |y|³

(x,y)→(0,0)lim

arctan xy

x²+ y² lim

x²+y²→+∞

arctan xy x²+ y²

(14)

Chiuso Limitato

Insieme Si No Si No

{(x, y) ∈ R² : x²+ 3y² ≤ 8, x² − y² ≤ 0} 2 2 2 2 {(x, y, z) ∈ R³ : x²+ y²+ z ≤ 1, xz² ≥ 1} 2 2 2 2 {(x, y, z) ∈ R³ : x²+ y² < 1, 3x + 4y + 5z = 8} 2 2 2 2

Dire se le seguenti funzioni hanno, nel punto indicato, un minimo relativo, un massimo relativo, oppure nessuno dei due (indicato in tabella con la dicitura “altro”):

Funzione Punto Min. rel. Max. rel. Altro

−x²− y² (0, 0) 2 2 2

x²− y² (0, 0) 2 2 2

|x| + |y| (0, 0) 2 2 2

x³+ y³ (0, 0) 2 2 2

x⁴+ y⁴ (0, 0) 2 2 2

x²− 6xy + y² (0, 0) 2 2 2

sin⁴xy + arctan x⁶ (0, 0) 2 2 2

log²x · log(3y²− 2) (1, 1) 2 2 2

(15)

5. Consideriamo le funzioni

f (x, y) = x³y

x²+ y⁴, g(x, y) = xy³ x²+ y⁴. Per queste funzioni discutere:

(a) continuit`a in (0, 0);

(b) esistenza delle derivate direzionali in (0, 0);

(c) esistenza del differenziale in (0, 0);

(d) appartenenza a C¹(R²).

6. Calcolare estremo inferiore e superiore della funzione f (x, y) = 1 − e^−xy

x²+ y²

nell’insieme A = {(x, y) ∈ R² : 0 < x² + y² ≤ 1}. Dire se si tratta rispettivamente di minimo e massimo.

7. Consideriamo la funzione

Φ(x, y, z) = e^x²^−z− cos(2y + z²) + sin²(xyz).

(a) Dimostrare che esiste un intorno U di (0, 0) in R² ed una funzione ϕ ∈ C^∞(U, R) tale che Φ(x, y, ϕ(x, y)) = 0.

(b) Calcolare ∇ϕ(0, 0).

(c) Calcolare il polinomio di Taylor di grado 2 della ϕ in (0, 0).

(d) Dopo aver dimostrato che, per r sufficientemente piccolo, ϕ `e positiva su Br = {0 <

x²+ y² ≤ r}, discutere la convergenza dell’integrale Z

Br

ϕ^α al variare del parametro α ∈ R.

8. Determinate due funzioni ϕ, ψ, non identicamente nulle, in modo che la forma differenziale ω = ϕ(x) xye^ydx + ψ(y)(x³+ sin y) dy

sia esatta.

9. Discutere l’invertibilit`a locale e globale della funzione Φλ : R² −→ R² definita da Φ_λ(x, y) = (e^x³^+λxcos(y + 2), e^x³^+λxsin(y + 2)), ∀ (x, y) ∈ R² al variare del parametro λ ∈ R.

(16)

Eq. Diff. 1 Glob. Lim.

N N

S S

N N

S S

N N

S S

N S

S N

S S

S N

N S

Eq. Diff. 2 Glob. Lim.

S N

S S

S N

N S

S N

S S

N N

S S

S N

N N

S S

S N

Eq. Diff. 3 Pag. 1 Pag. 2

V V V F F V

V V V V V F F V

V V V F V V

V F V F V V

(17)

V V F V F V V

F V V V F

F V V V V F V

V V V V V

V V V F V

V F V F F

V V V F F V V V V