1. Determinare i massimi e i minimi relativi delle seguenti funzioni:

(1)

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Esercizi di riepilogo e complemento 7

Estremanti ed estremi relativi e assoluti

1. Determinare i massimi e i minimi relativi delle seguenti funzioni:

a) f (x) = 1 3 x

³

− 3

2 x

²

+ 2x − 1, b) f (x) = x

⁵

− 6x

³

− 8x − 1, c) f (x) = x

⁵

− x

⁴

, d) f (x) = x

²

− 5x + 6

x

²

− 2x + 3 , e) f (x) = 2 cos x + cos 2x.

2. Determinare i massimi e i minimi relativi delle seguenti funzioni:

a) f (x) = e

^(2/3)x

1 − x

²

, b) f (x) = 1 x

²

cos

1 + 2 log 2 x

.

3. Determinare i massimi e i minimi assoluti delle seguenti funzioni:

a) f (x) = 3x

⁴

− 8x

³

− 6x

²

+ 24x (0 x 3), b) f (x) = sin x + cos x (0 x π),

c) f (x) = √

x log

²

x (x > 0), d ) f (x) = sin x + 1

2 sin 2x + 1

3 sin 3x + 1

4 sin 4x + 1 5 sin 5x

0 x π 2

.

4. Determinare i valori della costante k = 0 per i quali la funzione f (x) = kx

²

+ (k − 1)x + k − 2 ha il massimo o il minimo assoluto uguale ad 1.

5. Fra tutti i trapezi inscritti in una semicirconferenza Γ di centro O e diametro AB = 2r e con la base maggiore coincidente con AB, determinare quello di area massima.

6. Di tutti i triangoli rettangoli circoscritti ad una circonferenza di raggio r, determinare quello di perimetro minimo.

7. Con una lamiera di spessore trascurabile e avente la forma di un quadrato di lato l costruire una scatola (aperta) di capienza massima

8. Fra tutti i triangoli che hanno costanti un angolo α e l’altezza h relativa al vertice di α, deter- minare quello in cui ` e minimo il lato opposto all’angolo α.

9. Determinare il percorso che deve seguire un raggio luminoso per andare da un punto A ad un punto B, dopo aver subito una riﬂessione, sapendo che il raggio incidente, il raggio riﬂesso e la normale n speculare nel punto di incidenza stanno in uno stesso piano e che la lunghezza del percorso deve essere la pi` u breve possibile (principio di Huygens).

10. Una nave deve percorrere un cammino di lunghezza d. Fra le spese che la societ`a di nav- igazione deve sostenere vi ` e quella del combustibile e quella del personale e tali spese si suppongono proporzionali rispettivamente al quadrato della velocit` a e al tempo.

Determinare la velocit` a pi` u vantaggiosa.

(2)

11. Su un piedistallo di altezza h `e posta una statua di altezza a. Considerato il piano orizzontale passante per il piede del piedistallo, si chiede a che distanza ci si deve porre, su detto piano, dal piedistallo in modo che la statua sia vista sotto l’angolo visuale massimo.

12. Determinare il percorso seguito da un raggio luminoso per andare da un punto A di un mezzo omogeneo ad un punto B di un altro mezzo omogeneo, separato dal primo da una superﬁcie piana, sapendo che il raggio incidente, il raggio rifratto e la normale alla superﬁcie rifrangente nel punto di incidenza stanno in uno stesso piano e che il cammino percorso deve essere il pi` u breve possibile (principio di Huygens).

13. Dimostrare le seguenti proposizioni:

a) Se x, y sono due variabili positive tali che x + y = s, con s costante, il prodotto xy `e massimo e la somma x

²

+ y

²

` e minima quando x = y.

b) Se due variabili positive hanno prodotto costante, la loro somma e la somma dei loro quadrati sono minime quando i due numeri sono uguali.

c) Se x, y sono due variabili positive tali che x + y = s, con s costante, il prodotto x

^p

y

^q

, (p e q costanti positive) ` e massimo quando x e y assumono valori proporzionali a p e q.

d ) Se x, y sono due variabili positive tali che x

^p

y

^q

= k (k, p, q costanti positive), la somma x + y `e minima quando x e y assumono valori proporzionali a p e q.

14.Di tutti i triangoli ABC di uguale perimetro 2p e aventi il lato AB = a, determinare quello di area massima.

15. Da un disco di metallo avente spessore trascurabile, togliere un settore circolare in modo da formare con il settore rimanente un vaso conico di massima capacit` a.

16. Inscrivere in una data sfera il cono rotondo di massimo volume.

17. Determinare il massimo della funzione

f (x) = sin

^p

x cos

^q

x, 0 < x < π 2 , essendo p e q numeri positivi.

18. Tra tutti i cilindri rotondi di uguale volume V, determinare quello la cui area S della superﬁcie totale ` e minima.

19. Per ciascuna delle seguenti funzioni determinare gli intervalli in cui il graﬁco volge la concavit`a verso l’alto e quelli in cui volge la concavit` a verso il basso.

a) y(x) = x

³

− 6x

²

+ 2x − 1, b) y(x) = 1

4 x

⁴

− 2x

³

+ 9

2 x

²

+ x + 1, c) y(x) = e

^x

+ e

^−x

2 , d) y(x) = x log(1 + x

²

) + 2 arctgx − x.

(3)

20. Determinare i ﬂessi delle seguenti curve:

a) y(x) = 1

12 x

⁴

− 1

2 x

³

+ x

²

+ x + 1, b) y(x) = x x

²

− 1 , c) y(x) = cos x + 1

4 cos 2x + 1

9 cos 3x, d) y(x) = 1 e

^x

+ e

^−x

, e) y(x) = x

⁵

+ 2x

⁶

+ 15

14 x

⁷

, f ) y = 9 √

³

x + x

²

− 1.

21. Trovare gli asintoti della curva y =

x

³

x − 1

22. Determinare gli asintoti delle curve a) y = 1

x sin 1

x b) y = e

^−x

sin

²

x

23. Dimostrare la disuguaglianza

|3x − x

³

| 2, x ∈ [−2, 2].

24. Dimostrare le disuguaglianze 1

2

^p−1

x

^p

+ (1 − x)

^p

1, x ∈ [0, 1], p > 1.

25. Dimostrare la disuguaglianza

x

^m

(a − x)

ⁿ

m

ⁿ

n

ⁿ

(m + n)

^m+n

a

^m+n

, m, n ∈ R

⁺

, x ∈ [0, a].

26. Dimostrare le disuguaglianze x + a

2

^(p−1)/p

(x

^p

+ a

^p

)

^1/p

< x + a, x, a ∈ R

⁺

, p ∈ (1, +∞).

27. Studiare la funzione f(x) = x

²

+ 1 x .

28. Studiare la funzione f(x) = x

²

− 4x + 3 x

²

− 6x + 8 . 29. Studiare la funzione f(x) = x

²

log x.

30. Studiare la funzione f(x) = x

²

e

^x

.

(4)

31. Studiare la funzione f(x) = x

²

log x . 32. Studiare la funzione f(x) =

³

(x

²

− 3x + 2)

²

. 33. Studiare la funzione f(x) = |x − 1|e

^−(x−1)²

. 34. Studiare la funzione f(x) =

1 + 1 x

_x

.

35. Studiare la funzione f(x) = arctg x x − 1 .

36. Studiare la funzione f(x) = − log(2x

²

− 2x + 1).

37. Studiare la funzione f(x) = arctg x

x − 1 + log(2x

²