E-M Appendice - 15
A-15 Onde e.m. su una linea costituita da due conduttori piani affacciati.
Sono dati due conduttori sottili, ciascuno a forma di lastra piana , indefinitamente lunghi, larghi a, distanti h.
1)- Calcoliamo per prima cosa la capacità del sistema .
I due conduttori formano praticamente un condensatore a facce piane e parallele.
Ogni elemento di lunghezza dz possiede una capacità dC a dz
0 .h
La capacità per unità di lunghezza vale quindi:
c dC dz
a
0 h
2)- Per calcolare la induttanza per unità di lunghezza, pensiamo i conduttori percorsi da corrente I nel verso indicato dalle frecce . Consideriamo dapprima la lastra superiore.
Si può pensare ciascuno dei due conduttori (vedi figura2) suddiviso in tante strisce longitudinali elementari di larghezza dx , percorse da corrente di densità lineare J I
a
Nel punto P (in corrispondenza del centro della lastra e a distanza r dalla striscia dx) il campo dB
prodotto da detta striscia ha modulo che vale:
dB Jdx
r
0
2 . Un elemento dx simmetrico, produce ancora in P un campo dB la cui componente secondo l’asse Y si elide con quella dell’elemento precedente mentre la componente X si somma.
Nel punto P il campo dB è parallelo all’asse X e diretto nel verso negativo dell’asse (verso sinistra in Figura 2 , quindi con segno negativo).
1
E-M Appendice - 15
Dalla figura si ricava anche: dx cosr d. (se gli angoli sono positivi in senso orario)
Sommando tutti i contributi in P dati da tutte le strisce infinitesime di larghezza dx , (integrando per
che varia dal bordo sinistro al bordo destro della lastra) (si ricordi: dB è negativo) si ottiene:
B Jdx
r
J r d
r
J d J
0 0 0 0
1 2
2 2 2 2
1 2
1 2
1 2
cos .
.cos cos .
Se si può assumere che le due lastre siano molto vicine (cioè in figura 1 sia a >> h e in figura 2 sia a>>r) gli angoli e diventano praticamente angoli retti (cioè
1 2 e 2 2) e la parentesi quadra tende ad assumere il valore (- .
B risulta quindi parallelo alle lastre ovunque (o quasi: cioè trascurando, come nei condensatori, l’effetto al bordo); esso è diretto verso sinistra (a causa del segno negativo) e di modulo B J
0 indipendente dalla distanza dalle lastre stesse. 2
La seconda lastra, percorsa da corrente in senso opposto, genera un campo che, nello spazio racchiuso fra le lastre, si addizione al precedente, mentre al di fuori delle stesse si sottrae (e quindi lo annulla).
Fra le due lastre esiste quindi un campo B di modulo B 0J. Al di fuori il campo è nullo.
Calcoliamo ora il flusso di B attraverso la spira formata dalle due lastre.
La spira è un rettangolo di altezza h e base pari alla lunghezza (praticamente infinita) delle lastre.
Il flusso di B attraverso una sezione infinitesima della spira di altezza h e lunghezza dz (vedi figura 1) vale quindi (ricordare che B è uniforme fra le due lastre e perpendicolare alla superficie h.dz) :
d J h dz hI
adz
( )B 0 . . 0
L’induttanza del tratto infinitesimo dz vale quindi: dL d I
h adz
0 L’induttanza per unità di lunghezza diviene allora: dL
dz
h
0a
Procediamo ora come al punto (3) della Appendice 14. Si noti soltanto che in Appendice 14 si è supposta la linea parallela all’asse X ( e i calcoli e le derivate sono stati sviluppati in funzione della variabile X). Qui è appropriato svolgere i calcoli in funzione della variabile Z : la linea è disposta parallelamente all’asse Z. (vedi Figure 1 e 3)
2
E-M Appendice - 15
dv i
t dz v
z
i t
di v
t c dz c v
t
.
.
i
z
Con queste varianti si trova comunque che, anche su questa linea (pure questa a costanti distribuite), tensione e corrente si propagano per onde; la velocità di propagazione W0 è ancora :
W0 c 0 0
1 1
cioè uguale alla velocità delle onde elettro-magnetiche nel vuoto.
Se fra le due lastre fosse interposto un dielettrico isotropo, omogeneo, lineare, di costante dielettrica relativa r, la capacità diverrebbe cd e la velocità a sua volta diverrebberc
Wd 1cd 1r
0 0
cioè Wd W W
r
0 0
3
