Test di Matematica 1.

Test di Matematica

1. L’equazione esponenziale 2^𝑥 − 8 = 0 ha come soluzione:

a. 𝑥 = 4 b. 𝑥 = 2

c. 𝑥 = 3 d. 𝑥 = −4

e. 𝑥 = 5

2^𝑥 = 8 ⟹ 2^𝑥 = 2³ ⟹ 𝑥 = 3

2. La retta di equazione 𝑦 = 2𝑥 + 1:

a. Interseca l’asse 𝑦 nel punto (0; 2)

b. Interseca l’asse 𝑦 nel punto (0; −2)

c. Interseca l’asse 𝑥 nel punto (¹₂; 0)

d. Interseca l’asse 𝑥 nel punto (1; 0)

e. Interseca l’asse 𝑦 nel punto (0; 1)

(Suggerimento: si ricordi che l’asse 𝑥 ha equazione 𝑦 = 0, mentre l’asse 𝑦 ha equazione 𝑥 = 0. Fare l’intersezione, significa mettere a sistema le due equazioni retta-asse.)

Calcoliamo le intersezioni della retta con gli assi cartesiani.

{𝑦 = 2𝑥 + 1

𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑥 ∶ 𝑦 = 0 ⟹ 2𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑥 = − 1 2 La retta interseca l’asse 𝑥 nel punto (−¹₂; 0)

{𝑦 = 2𝑥 + 1

𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑦 ∶ 𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = 2(0) + 1 ⟹ 𝑦 = 1 La retta interseca l’asse 𝑦 nel punto (0; 1)

3. Le rette di equazioni 𝑦 = 4𝑥 − 1 e 𝑥 + 4𝑦 = 0:

a. Sono perpendicolari b. Non si intersecano c. Sono parallele

d. Si intersecano formando quattro angoli diversi da 90°

e. Passano entrambe per l’origine

Calcoliamo i coefficienti angolari delle due rette, mettendo la seconda in forma esplicita.

𝑦 = 4𝑥 − 1 ⟹ 𝑚₁ = 4 𝑥 + 4𝑦 = 0 ⟹ 𝑦 = −1

4𝑥 ⟹ 𝑚₂ = −1 4

Si può notare che 𝑚₁⋅ 𝑚₂ = −1, quindi le due rette sono perpendicolari.

4. Dato il fascio di rette 𝑦 − (2𝑘 + 1)𝑥 − 𝑘 = 0, si dica per quale valore di 𝑘 si ha la retta passante per il punto (0; 1).

a. 𝑘 = 0 b. 𝑘 = 1 c. 𝑘 = ¹₃

d. Per ogni valore di 𝑘 e. Non esiste 𝑘

Come prima cosa, imponiamo il passaggio del fascio per il punto (0; 1).

1 − (2𝑘 + 1)(0) − 𝑘 = 0 ⟹ 1 − 𝑘 = 0 ⟹ 𝑘 = 1

5. Il punto 𝑃(2; 1) appartiene alla retta:

a. 2𝑥 + 3𝑦 = 7 b. 𝑥 + 2𝑦 = 3 c. 2𝑥 + 𝑦 = 4

d. 2𝑥 + 𝑦 = 3 e. 𝑥 + 2 = 2

Basta sostituire le coordinate nella prima retta per vedere che è quella ricercata. Infatti 2(2) + 3(1) = 7 ⟹ 4 + 3 = 7 ⟹ 7 = 7

6. Quale delle seguenti è un’equazione di una retta perpendicolare alla retta 4𝑥 + 6𝑦 = 5?

a. 3𝑥 − 2𝑦 = 14 b. 6𝑥 + 4𝑦 = 17 c. 2𝑥 + 3𝑦 = 5

d. 4𝑥 − 6𝑦 = 21 e. 𝑥 + 3𝑦 = 1

Calcoliamo i coefficienti angolari delle rette, mettendole prima in forma esplicita.

4𝑥 + 6𝑦 = 5 ⟹ 𝑦 = −2

3𝑥 +5

6⟹ 𝑚 = −2 3 𝑎 ∶ 3𝑥 − 2𝑦 = 14 ⟹ 𝑦 = 3

2𝑥 − 7 ⟹ 𝑚_𝑎 = 3 2 𝑏 ∶ 6𝑥 + 4𝑦 = 17 ⟹ 𝑦 = −3

2𝑥 −17

4 ⟹ 𝑚_𝑏 = −3 2 𝑐 ∶ 2𝑥 + 3𝑦 = 5 ⟹ 𝑦 = −2

3𝑥 −5

3⟹ 𝑚_𝑐 = −2 3 𝑑 ∶ 4𝑥 − 6𝑦 = 21 ⟹ 𝑦 = 2

3𝑥 −7

2⟹ 𝑚_𝑑 = 2 3 𝑒 ∶ 𝑥 + 3𝑦 = 1 ⟹ 𝑦 = −1

3𝑥 +1

3⟹ 𝑚_𝑒 = −1 3

La retta ricercata deve avere coefficiente angolare che sia l’antireciproco di 𝑚 = −²₃, ossia dev’essere ³

2. La retta ricercata è dunque la 𝑎.

7. In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa misura 𝑖 = 39, mentre la proiezione di un cateto sull’ipotenusa stessa misura 𝑝₁ = 13. Calcolare il perimetro, l’area e l’altezza relativa all’ipotenusa del triangolo in questione.

(Domanda volutamente a risposta aperta)

Sfruttando i Teoremi di Euclide possiamo calcolare in primo luogo i due cateti. Infatti 𝑐₁² = 𝑖 ⋅ 𝑝₁ ⟹ 𝑐₁ = √𝑖 ⋅ 𝑝₁ = √39 ⋅ 13 = √3 ⋅ 13² = 13√3

Siccome 𝑝₂ = 𝑖 − 𝑝₁ = 26, avremo che

𝑐₂² = 𝑖 ⋅ 𝑝₂ ⟹ 𝑐₂ = √𝑖 ⋅ 𝑝₂ = √39 ⋅ 26 = √3 ⋅ 13² ⋅ 2 = 13√6

2𝑝 = 𝑖 + 𝑐₁+ 𝑐₂ = 39 + 13√3 + 13√6 = 13(3 + √3 + √6)

= 13√3(√3 + 1 + √2) Possiamo determinare l’area del triangolo come

𝐴 = 1

2𝑐₁𝑐₂ =1

2⋅ 13√3 ⋅ 13√6 = 1

2(13²)√18 = 169

2 ⋅ 3√2 = 507 2 √2 Infine, siccome 𝐴 = ¹

2𝑖ℎ, l’altezza relativa all’ipotenusa sarà data da ℎ = 2𝐴

𝑖 = 2 ⋅507

2 √2 ⋅ 1

39 = 507

39 √2 = 13²⋅ 3

13 ⋅ 3 √2 = 13√2

In alternativa, l’altezza poteva essere determinata da subito mediante il Secondo Teorema di Euclide, per il quale ℎ² = 𝑝₁⋅ 𝑝₂ ⟹ ℎ = √𝑝₁⋅ 𝑝₂

8. In una scatola ci sono in totale 10 palline, 6 rosse e 4 gialle. Si estrae una prima pallina, che risulta rossa e non la si rimette nella scatola. Qual è la probabilità di estrarre un’altra pallina rossa?

a. ⁵

9

b. ³

5

c. ²

3

d. 50 %

e. ¹

3

Chiaramente, se la pallina non viene rimessa nella scatola, avremo in totale 9 palline di cui 5 rosse (poiché una di queste è stata estratta) e 4 gialle.

La probabilità di estrarre un’altra pallina rossa sarà quindi 𝑝 = 𝑛° 𝑝𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑟𝑜𝑠𝑠𝑒 𝑟𝑖𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖

𝑝𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑟𝑖𝑚𝑎𝑠𝑡𝑒 = 5 9

9. In una scatola ci sono in totale 10 palline, 6 rosse e 4 gialle. Si estrae una prima pallina, che risulta rossa e la si rimette nella scatola. Qual è la probabilità di estrarre un’altra pallina rossa?

a. ⁵₉ b. ³

5

c. ²₃ d. 50 %

e. ¹

3

Stavolta la pallina rossa è rimessa nella scatola, quindi

𝑝 = 𝑛° 𝑝𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑟𝑜𝑠𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖 = 6

10 = 3 5

10. Se si lancia un dado cinque volte, con quale probabilità il 2 esce esattamente tre volte?

a. ₆¹₃ b. ⁵

2

6⁵

c. ¹₂ d. 2 ⋅⁵₆³₅

e. ¹

2⋅⁵²

6²

La probabilità di successo – cioè la probabilità che lanciando un dado esca il 2 – è 𝑝_𝑠 =

1

6. Il numero totale di lanci è 𝑛 = 5, mentre il numero di successi che si devono verificare è esattamente 𝑘 = 3. Sfruttando la distribuzione binomiale si ha

𝑝(3 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒) = (5 3) (1

6)

3

(1 −1 6)

5−3

= 5!

3! ⋅ 2!⋅ 1 6³⋅5²

6² = 5 ⋅ 4 ⋅ 3!

3! ⋅ 2 ⋅ 1 6³⋅5²

6²

=5 ⋅ 4 2 ⋅5²

6⁵ = 5 ⋅ 2 ⋅5²

6⁵ = 2 ⋅5³ 6⁵

11. Qual è la probabilità di ottenere almeno due teste nel lancio di 4 monete?

(Domanda volutamente a risposta aperta.)

La probabilità di ottenere testa nel lancio di una moneta è 𝑝_𝑠 =¹₂. Ora la probabilità di ottenere almeno due teste in 𝑛 = 4 lanci totali è la somma di

𝑝(2 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒) + 𝑝(3 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒) + 𝑝(4 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒) dove

𝑝(2 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒) = (4 2) (1

2)

2

(1 2)

2

= 4!

2! ⋅ 2!(1 2)

4

= 4 ⋅ 3!

2 ⋅ 2 (1 2)

4

= 6 ⋅ (1 2)

4

𝑝(3 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒) = (43) (1 2)

3

(1 2)

1

= 4!

3! ⋅ 1!(1 2)

4

= 4 ⋅ 3!

3! ⋅ 1(1 2)

4

= 4 ⋅ (1 2)

4

𝑝(4 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒) = (4 4) (1

2)

4

(1 2)

0

= 4!

4! ⋅ 0!(1 2)

5

= 4!

4! ⋅ 1(1 2)

4

= (1 2)

4

da cui

𝑝(𝐴𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜 2 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒) = 6 ⋅ (1 2)

4

+ 4 ⋅ (1 2)

4

+ (1 2)

4

= 11 2⁴ =11

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