Un problema di coutrollo ottimale nel cambiamento di stato in uuo strato.

(1)

Un problema di coutrollo ottimale nel cambiamento di

s t a t o i n u u o s t r a t o .

DBMOaE QUILGHIXI (~irenze) (*) (**~

A B r u n o F i n z i nel suo 70too c o m p l e a n n o

Summary. - I n t h i s p a p e r we s t u d i e d a minim~em p r o p e r t y for a S t e f a n - l i k e p r o b l e m i n a slab S. W e c o n s i d e r e d a l l possible processes o f c h a n g e o f s t a t e w h i c h occur u n d e r secu.

r i l y c o n d i t i o n s i n a n a s s i g n e d t i m e i n t e r v a l t o. W e p r o v e d t h a t , a m o n g these processes the p a r t i c u l a r one for w h i c h the cooling (or w a r m i n g ) t e m p e r a t u r e f : f ( t ) is t i m e - i n d e .

to

p e n d e n t m i n i m i z e s the i n t e g r a l If(t) l d t .

0

A s a eonsequenee~ s u c h a process~ w h i c h occurs i n a n a s i g n e d t i m e i n t e r v a l , m i n i m i zes the e x t e r n a l r~,ork.

I. - I n t r o d u z i o n e e p o s i z i o n e del p r o b l e m a . C o m e (~ noto il s e g u e n t e p r o b l e m a ai l i m i t i

(1.1) D 32 V(~, t)__ ~V(~, l) 0 ~ t ~ < h ( t ) ~ o O < t ,

~t~ 2 - - ~t '

(2.1) h(0) = 0,

(3.1) lira V(t~ , t) = f(t~, 0 < t,

(4.1) lira V(t~ , t) - - 0 , O < t ,

-~h(0

(5.1) l i m 3V(i~' t) _ lh(t) 0 < t,

~-~h(,) ~ D '

(*) L e r o r o esegaito n e l i ' a m b i t o d~ll'attivith del contratto di rieerca matematica del C . N , R n ° 115.2210.2 (atom. Prof. R. Einaudi) presso l'Istituto Matematieo , U . Dini~ della Uaiversith di ~irenz% viale Morgagni 67 a .

(**) E n t r a t a i n Redazione il 27 febbraio 1970,

(2)

3 t 0 DEMORE QUILGHINI: UI'I problema di controllo ottimale, ecc.

t r a d u c e , con riferimento ad un sistema di ascisse materiali ~t, un p r o b l e m a di c a m b i a m e n t o di state in uno strato materiale piano S, di spessore ~o, ter- m i c a m e n t e isotropo ed a c a r a t t e r i s t i c h e t e r m i c o - m a t e r i a l i costanti, s e p p u r e diverse per le due fast, quando si s u p p o n g a che inizialmente S si trovi alla t e m p e r a t u r a critica, in una ben d e t e r m i n a t a fuse, e che il c a m b i a m e n t o di state avvenga a partire dalPistante t : 0 e dal piano ~ - - 0 , (cfr. [1] (1)).

Ovviamente la (4.1) 6 stata scritta assumendo, a meno di una traslazione delia scala termica, che la t e m p e r a t u r a critica alla quale si realizza il cam- b i a m e n t o di state sia nulla, mentre la (5.1), a s s u m e n d o , come f a c c i a m o , che la eos~ante I sia p o s i t i v a , equivale a s u p p o r r e che il fenomeno avvenga per r a f f r e d d a m e n t o (sara quindi [ ( t ) ~ 0 ) , ipotesi anche questa non r e s t r i t t i v a , a meuo di uu c a m b i a m e n t o di segao per la t e m p e r a t u r a V(~, t). Anche q u i , come in [1], p a r l e r e m o di t e m p e r a t u r a per i n d i c a t e la V(IL ~ t) ancorch6 si tratti di calore contenuto hell'uniter di massa, come mettono in evidenza le trasfor- mazioni (2.6) del § 2 di [1]).

Lo schema (1.1)-(5.1) pub essere assunto a r a p p r e s e n t a r e il fenomeno della solidificazione di uno strato liquido 2S (di spessore 2~to), inizialmente alia t e m p e r a t u r a critiea, immerse in. un a m b i e n t e refrigerante realizzato, ad esempio, mediante uu fluido tenure alla ternperatura

f(t)

dal coatatto con una p a r e t e e o n t i u u a m e u t e raffreddata. In tal case infatti si ha il congela- monte dello strafe 2S sin da d e s t r a t h e da sinistra e, a causa della simme- tria, il fenomeno 6 retto dalie due parti da eclaazioni del ripe (1.1)-(5.1), di mode che possiamo limitare il nostro studio soltanto allo strafe S di spessore

I~0 da una delle due parti.

Nella tecnica il prooesso viene in generale realizzato tenendo la p a r e t e fredda del contenitore del fluido r e f r i g e r a n t e a t e m p e r a t u r a costante ed agi- tando v e l o c e m e n t e il fluido stesso in guisa c h e l a t e m p e r a t u r a nel r e f r i g e r a n t e (e quindi sulle pareti delio strafe 2S, q u a n d o il eontatto con it r e f r i g e r a n t e sia b u o n o ) abbia seusibilmente lo stesso valore costanto della p a r e t e fredda.

Tale mode di r a [ f r e d d a r e lo strato 6, per ovvie ragioni, pih facile da realizzare che non un processo in cut la t e m p e r a t u r a f(t) del refrigerante sin effetti- v a m e n t e variabile nel tempo con legge a s s e g n a t a . Ci si pub perb d o m a n d a r e se tale mode di p r o c e d e r e sia anche il pih economico, garantendo peraltro un perfetto c a m b i a m e n t o di s t a t e , evitando il rischio che si verifichino tene- ment di rifusione e di inelusioni di una fuse n e l l ' a l t r a . L a risposta a tale quesito, q u a n d o si definisea cos~ deve inten~lersi per << pih economieo>> e si preeisi in forma o p p o r t u n a la eonctizione di sieurezza~ 6 affermativa, come d i m o s t r e r e m o in questo lavoro, mettendo in evideuza a l c u n e proprieth di mi- niino uel e a m b i a m e a t o di state realiz~ato con t e m p e r a t u r a costante sui plant che limitano 2 S .

(l) I humeri in neretto ed in parenteri quadra si riferiscono alla bibliog~afia I(sta a termine del lavoro.

(3)

DEMORE QUILGHINI: Un probiema di controllo ottimale, ecc. 311 Avendo osservato che il fenomeno nello strato 2S si svolge simultanea- m e n t e e s i m m e t r i c a m e n t e dalle due parti, qui e nel seguito faremo riferimen- to allo strato S di spessore Ire in cut il fenomeno 6 retto dalle equazioni (1.1)-(5.1). Come 6 note, assegnata u n a funzione [(t) esiste una ed u n a sola soluzione lh(/); V(~, t)l di (1.I)-~5.1) e, ~dceversa, assegnata la funzione h(t), 6 possibile d e t e r m i n a r e u n a ed u n a sola funzione V(I~ , t) tale che, posto f ( t ) : lira Y(~t, t), la h(l) e le funzioni cosi costruite verificano le (1.1)-(5.t) (cfr. [2]

~--~0

e [3]). N a t u r a l m e n t e la fit), la h(t) e la V(~, t) appartengono ad opportune classi, p r e c i s a m e n t e la

f~t)

deve essere integrabile in ogni intervallo (0, /o) m e n t r e la h(t) 6 a s s o l u t a m e n t e continua e la V(I~ , l), oltre ad essere derivabile per lo meno fine al secondo ordine, con derivate continue, 6 a q u a d r a t e sommabile rispetto a ~, con n o r m a u n i f e r m e m e n t e limitata rispetto a t. Di pifi, poich6 t r a t t e r e m o problemi di ottimazione del problema inverse di quello di S~]~A~¢, il che equivale a costruire la V(~, t) supponendo nora la h(l), assumendo pot (secondo la (3.1)) f ( t ) - - l i m V(~t, t), tale limite dovrh esistere ed essere integra-

p.->0

bile rispetto a t. I n f i n e , poich6 il fenomeno avviene per r a f f r e d d a m e n t o a p a r t i r e dalFistante l : 0 e dal piano ~ - - 0 , dovrh essere h ( t ) ~ O e V(~, l ) ~ O 0 ~ t, 0 ~ ~ ~ h(t) ~ [~o, ed ancors, in forza della (41), della (5.1) e di queste ultime condizioni, dow'emo avere ]~(t)~O. Qui e per il seguito, senza r i p e t e r e c o n t i n u a m e n t e tall condizioni, i n t e n d e r e m o riferirci a funzioni h(t) e V([ b t) helle classi i n d i c a t e .

Diamo adesso la seguente

DEFINIZIObTE- Date l'istante t o > 0 diremo che u n a eoppia di funzioni h~t) e V(~, t) appartiene alla classe H(to, [~o) se oltre a verificare le (1.1), (2.1), (4.1) e (5.1), si ha h(to)--~o e se, c o m u n q u e si scelgano in h u m e r i e~ ed ~2 tall che 0 ~ . ~ 2 - ~ 1 , si ha:

( V ( ~ , t) d~

d d alh

(6. l) d--t (~2--~,)h ~ 0 , O<t~__to.

I n eonseg~tenza, poich6 la (6.1) costituisce, come dimostreremo, la condi.

zione di sicurezza per cut il fenomeno avvenga senza il perieoIo che si verifichino rifusioni di straterelli gii~ solidificati, con conseguenti inclusioni di una fase nell'altra, posto f i t ) : lira V(~, t), la funzione fit) p e r m e t t e di realizza.

~.~o

re un c a m b i a m e n t o di state sicuro.

Sono esempi di soluzioni a p p a r t e n e n t i alla classe H(to, ~o) la coppia

(7.t) h ( / ) : p.oVt- e r f ( t ~ 2 ~ o ) - e r f ( 2 ~ )

Vto ' v(~, t ~ : v z [ ~ o \ '

er[

(4)

312 DEMORE QUILGHINI:

Un probtema di controllo ottimale, ecc.

essendo e r r ( x ) = exp (--z2)dz

e

dove

0

V~/~o exp

(4Dto~ (2VDto]

(8.1)

r(t)--

v{o, l)-- vz = -- 2VD-/~o \- itS- ] err \ I~o I = cost.,

e la coppia:

h , . ,tto t -- l [ 1 - - exp ~D~o

Droll

eui corrisponde la t e m p e r a t u r a di refrigerazione (2)

{p.2o t

flt)

: V(0, t ) : l l l - exp ID~o)].

Chiariamo adesso il significato fisieo della (6.1). Questa condizione, r i e o r d a n d o l ' o s s e r v a z i e n e fatta che la V{~, l) r a p p r e s s e n t a la q u a n t i t h di ealore, riferita a l l ' u n i t l t di massa, delle particelle di ascissa p. a l F i s t a n t e

t,

e s p r i m e il fatto e h e l a q u a n t i t h m e d i a di calore per u n i i h di m a s s a relativa allo strato limitato dai piani di equazioni

t~=elh(t) e

t~ ---- ¢2 h(/) n o n c r e s c e n t e , anche in r a p p o r t o all'espansione dello strato stesso a seguito del c a m b i a m e n t o di fase (6 infatti l~tt)~0). In tal modo, q u a n d o un q u a l u n q u e straterello di spessore (~2--~1}

h{t)

si 6 t r a s f o r m a t o , solidificandosi, n o n pub essere rifuso poich6 la q u a n t i t h di calore m e d i a va d e c r e s c e n d o nel tempo.

L a (6.1) e s p r i m e percib u n a possibile condizione di sicurezza perch4 il f e n o m e n o a v v e n g a r e g o l a r m e n t e .

Cib p r e m e s s o possiamo e n u n c i a t e il p r i m o p r c b l e m a di m i n i m o che ci p r o p o n i a m o di risolvere in questo lavoro.

Assegnato il tempo to > 0 in cui si devo realizzare il totale c a m b i a m e n t o di stato di S d e t e r m i n a r e la coppia ilh(/); V(~t,

t)feH(to ,

tto) per la quale ri.

sulfa m i n i m o l'integrale

t o t 0

(9.1) Fo lf( )idt =

0 0

(3) Per verificare che le due coppie di funzioni qui indicate appartengono alia classe H(to~po ) con~iene riferirci al teorema 1 det § 2.

(5)

DEMORE QUILGHINI:

Un probtema di controllo ottimate, ecc.

³¹³ Ovviamente il r e n d e r e minimo t'integrale (9.1) risponde ad un criterio di economicith, in quanto si pub supporre che il lavoro necessario, d u r a n t e il tempo to di d u r a t a del f e n o m e n o , per refrigere il fluido tenendolo alla tem- p e r a t u r a

f(t)

cresca anche al c r e s c e r e del valore medio di

If(t) l

nel tempo t0.

Nel § 2, dopo avere dimostrato alcuni teoremi sulle soluzioni detla classe

H(to, ~to),

viene risolto il problema proposto dimostrando c h e l a soluzione b data dalla coppia

h(t) e V{~, l)

definita dalle ~7.1) e dalla (8.1).

Percib il c a m b i a m e n t o di stato dello strato 2S, ottenuto con t e m p e r a t u r a di refrigerazione costante, avviene in condizioni di sicurezza e realizza un principio di economia. Nel § 3 si dimostra u n a diversa propviet/~ di minimo per tale proeesso, provando che tra tutti i processi che h a n n o inizio con tern.

p e r a t u r a di refrigerazione minore di zero e che verificano una coridizione del tipo (6.1), il m i n i m o di calore totale assorbito da S per ottenere il completo cambiamento di stato si ha,, q u a l u n q u e sia il tempo in cui si realizza il fe- n o m e n o , quando la t e m p e r a t u r a di refrigerazione venga m a n t e n u t a costante.

2. - Soluzione del primo problema di m i n i m o .

Dimostriamo p r e l i m i n a r i a m e n t e i seguenti teoremi per le coppie di funzio.

ni della ctasse H.

TEOltEMA t. -

L a condizione

(6.1)

d equivalenle atla condizione

(12) ~ ' ~(t~' t) ~O O<t~ <h(t),

O < t ~ t o .

Si ha infatti

s~h

f v ~ , l) d r d ~

¢~h

dt

(e2--sl)h (62- 61)2h 2

Porcib, essendo

~2h

(e2 -- e~)h f v(~t, l) d~

¢lh

($2 -- ~1) 2 h 2

~_~h

f v(~, O a~

~h

= h , - h, tl - jz -TU-

AnnaIi di Matematica 4o

(6)

Un problema di controllo ottimaie, ecc.

otteniamo

(2.2)

s:h ~ah

dt ~ ~t ~- nlO~ ~ I d~

d (~-- ~)h (~ -- ~)h ~

Q u i n d i se la e o p p i a

h(t), V(~, t)

v e r i f i c a la (6.1), dalla a r b i t r a r i e t ~ di z~

e di s2 ( 0 ~ < z 2 ~ l } , segue, d a l l a (2.2), la (1.2). V i e e v e r s a , se

h(t) e V(~, t)

v e r i f i e a n o la (1.2), dalla (2.2) s e g u e la (6.1), e q u i n d i il t e o r e m a .

TEOI~EMA 2. -

Se la coppia h(t), V(~, t) ~ una sohtzione del problema in.

verso di

(t.1)-~5.1}

apparentemente alla classe H(to, ~to) si ha:

(3.2)

eio4 la funzione h(t)h(t) d non deerescente.

I n f a t t i , dalla (4.1) d e r i v a n d o t o t a l m e n t e r i s p e t t o a t, si ha

(4.2) [2 wt~, t) ~v(~, t)] = o

e pereib, r i c o r d a n d o che h ( t ) > 0 p e r t > 0, o t t e n i a m o dalla (1.2) ( p r i m a parte) W ( h ( O , t) = O,

q u i n d i , dalla s e e o n d a p a r t e d e l l a (1.2), a v r e m o :

(5.2)

[3Win't) l Ih(t) ~2V(~: t) 3 V(p, t) 3~ V(p, O]

~t~ - ~=h(,) = L ~ ~t + h(t) ~t~ + £(t) ~ - - t~ 2 ~=~(,)~ ~ 0 D a l l a (4.2), t e n u r e eonto d e l l a (1.1) e della (5.1), si h a :

(6,2)

I~ 2 V(~, t)]

l/~(t)

[---~1~ 2 j,~=~,) = - - - D- T ,

D a l l a (5.1), d e r i v a n d o r i s p e t t o a t, si ha poi:

[

~V(I*, t) 32V(1~,

l)l l'h(t)

e p e r c i b , r i e o r d a n d o la {6.2), s e g u e :

(7.2)

(7)

DEMORE QUILGHINI: UFI probtema di controlIo ottimale, ecc. 315 3Ia adesso, sostituendo nel secondo m e m b r o della (5 2) i valori delle diverse d e r i v a t e (per ~ = h(t}) daft nell'ordino dalla (7.2), dalla (5.1) e dalla (6.2}.

segue la (3.2) e q u i n d i iI teorema.

Risolviamo adesso il p r i m o p r o b l e m a di minimo. Dovendo estromare ri- spetto a tutte le possibili funzioni h(t), ehe d a n n o luogo a soluzioni della elasso It(to, ~o), l'integrale iV(O, O{dt, oeeorre esprimere, p e r quanto 6 possibibile,

0

V(~,, 0 m e d i a n t e h(O ed h(o. P o n i a m o per questo

(8.2)

V.=zh(t), O ~ t t ~ h ( t ) , O ~ z ~ l , O < t < t o . Avremo allora :

v(~, t, =

V(zh(O, 0 = T(z,

0,

e q u i n d i

~V 1 3 T 32V 1 3ZT 3V (9.2) ~ - - h 3 z ' 3t~ 2 - h 2~z 2 ' ~ t - -

~T h ~T

~t /,z ~z' (O<t, O < h ) .

Perci6 la (i.1), la (4.1) e la (5.1) d a n n o : D ~2T h ~T

~ + ~ z

3 T O < z < l , O < t ,

- - ~ t '

1(l, t) = O, 0 < t,

~ T _-=I -- D

Da q u i , con semplici calcoli si h a :

1

T lhh exp exp exp - -

3z -- D ")~ \ - - -2-D ] - - -D 2D ] J ~t

z

Percib, dalla (8.2) e dalle (9.2), otteniamo

(10.2t

~V~t, t) l h h h "

- 2-b-h) --

exp h~2 / h

D J ( -~t - - h ~ exp \'~2-bh] d y ,

o.

(8)

Un problema di controllo ottimale, ecc.

Dalla (10.2), ricordando che

V(h(t),

t ) = 0, si ha:

h

v(~, 0 lk hh

h h

Da q u e s t ' u l t i m a , ricordando che

h(t)~O,

zione nel primo integrale:

segue, con u n a sempliee trasforma-

,11.2)

f ( t ) ' - V ( O , t ) - V~lV~exp(h]Jerf(2-~/+l//h/~ i* V2D

h h

~7)7~)J/ rtv,vt

0 ,~

h 8y \2Dh] dy d~.

Si ha cio6

re) = v(o, t ) = - + ( h k ) - - F ( h ,

h, e),

avendo indicate con--(I)(hJ~) e con

--F(h, "h, t)

rispettivamente il primo ed il secondo t e r m i n e del secondo m e m b r o della (11.2). Adesso tenure eonto che per /h(t);

V(~, t) l ~ H(to,

~to) sia ¢9(h/~) che

F(h,/t, t)

sono n e e e s s a r i a m e n t e non negativi (cfr. la (1.2) del t e o r e m a 1), a v r e m o :

t o t o to to

,f ^{[f(t) ldt}

^{= ~}

~f

^IV(O,

t~[dt = to ¢(hft)dt + to ¢ if 1 IF(n, h, t)dt,

0 0 0 0

e quindi anche

02.2)

0

tO ¢0

= m~n to

~(hi~)dt -t-

m m ~

F(h, h, t)dt

0 0

se, e soltanto se, il minimo del primo e del secondo integrale a secondo mem- bro vengono realizzati per la stessa soluzione della classe

H(to,

~to). Ora essendo

h h

f

F(h, I~, t) :: --

exp \

2Dh] ~ 8t + f t y

0 "rl

• 2

hy

(9)

DEMORE QUILGHINI:

Un problema di controlto ottimale, etc.

317

il minimo assoluto di

Icj

f F(h, i~, t)dt

0

~v(~,tt h

~vlp.,t)

si realizza, nella classe

H(to,

~o), per

- - 0 , O < ~ < h(t), O < t ~__ to ,

come segue dalla (1.2} del t e o r e m a 1, Q u e s t ' u l t i m a condizione 6 verificata, come si pub f a c i l m e n t e calcolare, dalla coppia

h(l),

V(tL, t) definite dalle (7.1) e dalla (8.1), o come segue a n c h e daI fatto the, dovendo essere

~ l ~ = o = O, ~ V(O, t) = cost.

t o

I1 minimo di

ff}(h'h)dt,,

per

h(t) e V(~, t~

nella classe

H(to,

~to), si ha

0

a n e o r a per

h(t) e V(~, t)

definite datle 17.1)e dalla (8.1) come segue scrivendo l'equazione di Eulero per la q~(hh). Cosi operando si ha infatti che

h(t)

deve essere la soluzione dell'equazione

e percib dell'equazione

d [d¢(hh)]

h-t [ a - - ~ i = o,

hh -- cost.,

t h e verifica le condiaioni h(O)=O, h(to)= ~o. Ottenuta pereib

h(t)-- VI~, t)

c o r r i s p o a d e n t e sarh data dalla seconda delle (7.1) e dalla (8.1).

Che la funzione

h(t)

-- ~to Vt realizzi i| minimo d e l l " m t e g r a l e

VE

~oVt Vto ~ la

t o

J -- f¢(hh) dt

0

si ha poi osservando ehe la variazione seconda di

J, e

cio6

lo t o t o

~a= ~®(hJ,)~t= ~ [ ~ +~G.,~+~V ~ ]~t=~j~(~h+~h)2~t

0 0 0

6 positiva q u a l u n q u e sia la variazione sT(t ) (~(0) -- ~(to) -- 0) data alta funzione

d 2 (I) d2(I)

h(t),

essendo ~ > 0 . P e r verificare che dM~ > 0 conviene esprimere ~(h]z)

(10)

Un problema dt controllo ottimale, ecc.

mediante il suo sviluppo in serie. Essendo

otteniamo : (13.2} q)(hh) -- e da qui

d ~ +(h/~) _

d(hh):

x

exp(--z2) d z = e x p { -x~2}

E~ t2nff _l}d. '

0

v2- e,.f!V

o...~ 2,,+1

(hh'~+l

= t '

1 d2~)(hi~) l l ' " ° ° 2 n - ] ' 1 / , ~ ( n - I - - l ) {h]~ \n-1

4D~ [ h f ~ - - 4 D Z Z

( 2 n q - 1 ) ' . \2D) > 0 , ( h h > 0 ) , d \2D/

essendo lecita la derivazione termine a termine della serie a secondo m e m b r o della (13.2), come si verifiea facilmente con il criterio del r a p p o r t o .

Coneludendo, per ta (12.2) e per l'osservazione ivi fatta, il minimo di

t o to

f if(t)ldt= E f ] v(o, t)ldt,

1

0 0

nella classe

H{to,

~o), si ha quando

h(t) e V{~, t)

sono le funzioni definite dalle (7.1) e dalla (8.1), e i l primo p r o b l e m a di minimo b cosi risotto.

3. - U n a s e c o n d a p r o p r i e t ~ di m i n i m o .

S u p p o n i a m o che il c a m b i a m e n t o di stato abbia inizio con t e m p e r a t u r a di refrigerazione non nulla. Sia cio~

f(O) = lira V{O, l) --- V~ < O.

t.--~O

Se, anche per t > 0 , si ha

f ( t t - - V ~ - - c o s t ,

il c a m b i a m e n t o di stato in S 6 retto, come 6 noto, dalle (7.1b dove, essendo stavolta noto Vz, il tempo to di d u r a t a del fenomeno dei c a m b i a m e n t o totale di stato, si ottiene dalla (8.1).

In particolare osserviamo che la (8.1) da un sol valore per to per la monoto- nia, rispetto a to, dal secondo m e m b r o della (8.1) stessa. Fissato allora V x - - --f(0} < 0 indiehiamo, anche per il seguito, con

ho(t) e

con Vo(p., t) la coppia di funzioni data dalle (7.1}. Sia ora

hl(t} e VI(~, t)

una eoppia di funzioni con

(1.3) lim VI(0, t) "- V~,

t . - > 0

ehe descrive un'altro possibile c a m b i a m e n t o di stato di

S, e

sia tl il tempo di d u r a t a del f e n o m e n o . S u p p o n i a m o inoltre e h e l a coppia

hi(t), Vl(~, t}

ap-

(11)

DEMORE QUILGHINI: Ut'I problema di controllo ottimale, ecc. 319 p a r t e n g a alla elasse H(t~, 11). I n tale ipotesi si ha

t l to

0 0

Cio6, tra tutti i c a m b i a m e n t i di stato t h e verificano una condizione di sicurezza del tipo indicato con la definizione data nel § 1 e che h a n n o inizio con u n a t e m p e r a t u r a di refrigerazione non n u l l a , quello t h e si ottiene man.

tenendo costante la t e m p e r a t u r a di refrigerazione realizza il minimo assorbi- mento totale di ealore da S, i n d i p e n d e n t e m e n t e dal tempo in cut viene otte.

nuta la totale trasformazione di S. Dalla (10.2) del § 2 si ha:

. . . . Ihi "hi\ dt

[ 81~ j~,=o

0 0

tl h 1

+

₀ ₀

l - ! ~ +N ~-WU

m e n t r e , sempre per la (10.2), 6

(4.3)

q[,.ol.

to 0

( 1 ~o2 d t = ltto exp ~-4Dtol'

poich6, in questo caso, il secondo t e r m i n e della (10.2), ~ i d e n t i c a m e n t e hullo, ed 6:

(5.3)

hott) ho(t)= ~

~o = cost.

Ma dalla (11.2), scritta sia per la funzione V~ ehe per la Vo, passando al limite per t--->0 (e quindi per hl(l)-->O) si ha ricordando la (1.3) e la (5.3).

e quindi

lim,_~o h~(t) i~(t) = ho(tl ho(t) = ~ .

(12)

320 DEMORE QUILGHINI: Un problema di controtto ottimale, etc.

Percib, essendo in forza del teorema 2 del § 2

- - 2 l o '

dalla t3.3) (ricordando the h~(t3 ~-~to) si ha:

tl

0

\4Dto! +

q hi

0 0

~f~ t)t exp \2Dh~]

e percib, dal confronto di quest'ultima con la (4.3}, ricordando che {hi; V~}~

H(6, ~o), segue la (2.3).

BIBLIOGRAFIA

[1] D. Q(JILGHINI, U n a a n a t i s i F i s i c o - m a t e m a t i c a del processo del c a m b i a m e n t o di fase, A n n . di Mat. p u r a ed applicaia (IV), -col. L X Y I I , pp. 33-74 (1965).

['2] - - - - , S u l p r o b l e m a i n v e r s o di quello d i S t e f a n , R i v . Mat. U n i v . P a r m a (2) 8 (1967), pp.

131-142.

[3] - - - - , U n a a ~ a l i s i F i s i c o - m o t e m a t i c a del p r o b l e m a di S t e f a n i n v e r s o i n u n o s t r a t o m a . t e r i a l e p i a n o , I s t i t u t o Matematico ,, U. D i n i , dell'Universili~ di F i r e n z e (1968).

Un problema di coutrollo ottimale nel cambiamento di stato in uuo strato.