Facolt`a di Agraria

Facolt`a di Agraria

Prova scritta di Matematica del 10/9/2004 A.A. 2003-2004

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Risolvere la disequazione 3 ^|2−5x| < 2

] 2 − log ₃ 2

5 , 2 + log ₃ 2

5 [

2. Data la funzione f (x) = ¡

3 − log(1 + 2x) ¢ 2

1. determinare il dominio D;

2. calcolare i limiti agli estremi degli intervalli di cui `e costituito il dominio;

3. determinare in quali intervalli la funzione `e crescente e in quali decrescente;

4. determinare in quali intervalli la funzione `e concava e in quali convessa;

5. disegnare un grafico approssimativo di f 6. calcolare l’estremo inferiore inf

D f di f sul suo dominio, e dire se `e minimo.

1. D =] − 1/2, +∞[

2. lim

x→−1/2

f (x) = lim

x→+∞ f (x) = +∞,

3. f ⁰ (x) = 4 log(1 + 2x) − 3 1 + 2x ,

`e decrescente in ] − 1/2, ^e

₂ ⁻¹ ];

`e crescente in [ ^e

₂ ⁻¹ , +∞[.

4. f ⁰⁰ (x) = 8 4 − log(1 + 2x) (1 + 2x) ³ ;

`e convessa in ] − 1/2, ^e

₂ ⁻¹ ];

`e concava in [ ^e

₂ ⁻¹ , +∞[;

5.

6.

min D f = 0

2 Matematica, 10/9/2004 v1

3. Si consideri la funzione f : R → f (R) con legge

f (x) =

( x se x < 0

α + arctg x se x ≥ 0 dove α `e un parametro reale.

1. Dire per quali valori di α la funzione `e invertibile;

2. dire se per α = 1 la funzione `e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa e tracciarne un grafico approssimativo;

3. determinare per quali valori di α, se ne es- istono, la funzione `e continua in ogni punto del dominio;

4. determinare per quali valori di α, se ne esistono, f `e derivabile in ogni punto del dominio.

1. α ≥ 0

2. per α = 1 la funzione `e invertibile e si ha

f ⁻¹ (y) =

( y se y < 0

tg(y − 1) se 1 ≤ y < 1 + π/2 3. α = 0;

4. α = 0.

4. Dato il problema di Cauchy ( y ⁰ (t) = te ^−2y

y(1) = 1

1. dire se la funzione y(t) = log t `e una soluzione del problema;

2. determinare una soluzione del problema nel caso in cui non lo sia gi`a la funzione di cui al punto precedente, ed eseguire la verifica.

1. non `e soluzione;

2. y(t) = log(t ² + e ² −1)

2 .