Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito A 1

Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito A 1

Esercizio 1 Si consideri il sistema termico schematizzato nella figura seguente dove l’ingresso u corrisponde alla temperatura della stanza di sinistra e l’uscita y corrisponde alla temperatura della stanza centrale.

1. Disegnare il circuito elettrico equivalente per analogia;

2. scrivere le matrici relative alle equazioni nel dominio del tempo

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) che ne descrivono il comportamento.

Esercizio 2 Si consideri il sistema dinamico lineare e stazionario

∆x(t) = Ax(t), dove A =





1 0 1

1 2 0

0 0 −1





Per tale sistema,

1. calcolare gli autovalori ed i corrispondenti autovettori (tali autovalori devono risultare distinti);

2. calcolare le soluzioni di base sia a tempo continuo sia a tempo discreto;

3. calcolare la soluzione generale (sia a tempo continuo sia a tempo discreto) del sistema;

4. calcolare la soluzione (sia a tempo continuo sia a tempo discreto) a partire dalla condizione iniziale x

0

=





−1 2 0





Esercizio 3 Si consideri il sistema dinamico affine e stazionario a tempo continuo

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), dove A =

 0 1

−2 2



, B =

 1 1



Per tale sistema,

1. calcolare gli autovalori ed i corrispondenti autovettori (tali autovalori devono risultare distinti);

2. calcolare la soluzione generale dell’equazione omogenea;

3. calcolare la soluzione generale della non omogenea con l’ingresso costante u(t) = 1;

4. calcolare la soluzione con tale ingresso a partire dalla condizione iniziale x

0

=

 1/2 2



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito A 2

Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito A 3

Soluzione dell’esercizio 2 . Gli autovettori e gli autovalori dell matrice A in oggetto sono i seguenti:





−1 1 0



 ↔ 1;



 0 1 0



 ↔ 2;





−3 1 6



 ↔ −1

La soluzione generale `e dunque data da (per il caso a tempo continuo e a tempo discreto, rispettivamente)

x(t) = c

1





−1 1 0



 e

^t

+ c

2



 0 1 0



 e

^2t

+ c

3





−3 1 6



 e

^−t

x(t) = c

1





−1 1 0



 + c

2



 0 1 0



 2

^t

+ c

3





−3 1 6



 (−1)

^t

La soluzione generale si pu`o calcolare in zero e uguagliarla alla condizione iniziale per determinare la scelta delle costanti (le stesse, per i due casi a tempo continuo e a tempo discreto)





−1 2 0



 = c

1





−1 1 0



 + c

2



 0 1 0



 + c

3





−3 1 6





−1 + c

1

+ 3c

3

= 0 2 − c

1

− c

2

− c

3

= 0

−6c

³

= 0 c

1

= 1, c

2

= 1, c

3

= 0

Infine, sostituendo le costanti nella soluzione generale e semplificando, si ottiene per i due casi la soluzione cercata:

x(t) =





−1 1 0



 e

^t

+



 0 1 0



 e

^2t

=





−e

^t

e

^2t

+ e

^t

0





x(t) =





−1 1 0



 +



 0 1 0



 2

^t

=





−1 1 + 2

^t

0





Soluzione dell’esercizio 3 . Gli autovettori e gli autovalori dell matrice A in oggetto sono i seguenti:

 1

1 + i



↔ 1 + i;

 1

1 − i



↔ 1 − i

La soluzione complessa relativa alla prima coppia autovalore-autovettore `e la seguente:

 1

1 + i



e

^(1+i)t

= e

^t

 1

1 + i

 e

^it

= e

^t

 1

1 + i



(cos t + i sin t)

= e

^t

 cos t + i sin t

cos t − sin t + i (sin t + cos t)



= e

^t

 cos t cos t − sin t

 + i

 sin t sin t + cos t



Da essa si possono determinare le due soluzioni reali di base, da cui costruire la seguente soluzione generale dell’equazione omogenea:

x(t) = e

^t

 c

1

 cos t cos t − sin t

 + c

2

 sin t sin t + cos t



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito A 4

Per determinare la soluzione particolare della non omogenea, poich´e l’ingresso `e costante, scegliamo una soluzione costante x(t) =

 a b



. Sostituendola nell’equazione non omogenea si ottiene

 0 0



=

 0 1

−2 2

  a b

 +

 1 1



b + 1 = 0

−2a + 2b + 1 = 0

a = − 1 2 ,

b = −1

Si pu`o dunque scrivere la soluzione generale della non omogenea come la somma tra la soluzione generale della omogenea e la soluzione particolare della non omogenea:

x(t) = e

^t

 c

1

 cos t cos t − sin t

 + c

2

 sin t sin t + cos t



+

 −

¹₂

−1



Uguagliando la condizione iniziale al valore della soluzione generale in zero si possono determinare le costanti c

i

:

 c

1

c

1

+ c

2

 +

 −

¹₂

−1



=

 1/2 2



c

1

− 1 c

1

+ c

2

− 3

c

1

= 1, c

2

= 2

Sostituendo le costanti nella soluzione generale della non omogenea, si ottiene infine la soluzione cercata:

x(t) = e

^t

 cos t cos t − sin t

 + 2

 sin t sin t + cos t



+

 −

¹₂

−1



=

 e

^t

(cos t + 2 sin t) −

¹₂

e

^t

(3 cos t + sin t) − 1



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito B 5

Esercizio 1 Si consideri il sistema idraulico schematizzato nella figura seguente dove l’ingresso u corrisponde al flusso entrante nel primo serbatoio e l’uscita y corrisponde al flusso uscente dal primo rubinetto.

1. Disegnare il circuito elettrico equivalente per analogia;

2. scrivere le matrici relative alle equazioni nel dominio del tempo

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) che ne descrivono il comportamento.

Esercizio 2 Si consideri il sistema dinamico lineare e stazionario

∆x(t) = Ax(t), dove A =





1 1 0

0 2 0

1 0 −1





Per tale sistema,

1. calcolare gli autovalori ed i corrispondenti autovettori (tali autovalori devono risultare distinti);

2. calcolare le soluzioni di base sia a tempo continuo sia a tempo discreto;

3. calcolare la soluzione generale (sia a tempo continuo sia a tempo discreto) del sistema;

4. calcolare la soluzione (sia a tempo continuo sia a tempo discreto) a partire dalla condizione iniziale x

0

=



 3 3 2





Esercizio 3 Si consideri il sistema dinamico affine e stazionario a tempo continuo

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), dove A =

 0 −2

1 2



, B =

 1 1



Per tale sistema,

1. calcolare gli autovalori ed i corrispondenti autovettori (tali autovalori devono risultare distinti);

2. calcolare la soluzione generale dell’equazione omogenea;

3. calcolare la soluzione generale della non omogenea con l’ingresso costante u(t) = 1;

4. calcolare la soluzione con tale ingresso a partire dalla condizione iniziale x

0

=

 1 0



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito B 6

Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito B 7

Soluzione dell’esercizio 2 . Gli autovettori e gli autovalori dell matrice A in oggetto sono i seguenti:



 2 0 1



 ↔ 1;



 3 3 1



 ↔ 2;



 0 0 1



 ↔ −1

La soluzione generale `e dunque data da (per il caso a tempo continuo e a tempo discreto, rispettivamente)

x(t) = c

1



 2 0 1



 e

^t

+ c

2



 3 3 1



 e

^2t

+ c

3



 0 0 1



 e

^−t

x(t) = c

1



 2 0 1



 + c

2



 3 3 1



 (2)

^t

+ c

3



 0 0 1



 (−1)

^t

La soluzione generale si pu`o calcolare in zero e uguagliarla alla condizione iniziale per determinare la scelta delle costanti (le stesse, per i due casi a tempo continuo e a tempo discreto)



 3 3 2



 = c

1



 2 0 1



 + c

2



 3 3 1



 + c

3



 0 0 1





3 − 2c

1

− 3c

2

= 0 3 − 3c

2

= 0 2 − c

1

− c

²

− c

³

= 0

c

3

= 1, c

2

= 1, c

1

= 0

Infine, sostituendo le costanti nella soluzione generale e semplificando, si ottiene per i due casi la soluzione cercata:

x(t) =



 3 3 1



 e

^2t

+



 0 0 1



 e

^−t

=



 3e

^2t

3e

^2t

e

^2t

+ e

^−t





x(t) =



 3 3 1



 (2)

^t

+



 0 0 1



 (−1)

^t

=





3(2)

^t

3(2)

^t

(2)

^t

+ (−1)

^t





Soluzione dell’esercizio 3 . Gli autovettori e gli autovalori dell matrice A in oggetto sono i seguenti:

 1

−

¹₂

−

¹₂

i



↔ 1 + i;

 1

−

¹₂

+

¹₂

i



↔ 1 − i

La soluzione complessa relativa alla prima coppia autovalore-autovettore `e la seguente:

 1

−

¹₂

−

¹₂

i



e

^(1+i)t

= e

^t

 1

−

¹₂

−

¹₂

i

 e

^it

= e

^t

 1

−

¹₂

−

¹₂

i



(cos(t) + i sin(t))

= e

^t

 cos t + i sin t

−

¹₂

cos t +

¹₂

sin t −

¹₂

i (sin t + cos t)



= e

^t

 cos t

−

¹₂

cos t +

¹₂

sin t

 + i

 sin t

−

¹₂

(sin t + cos t)



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito B 8

Da essa si possono determinare le due soluzioni reali di base, da cui costruire la seguente soluzione generale dell’equazione omogenea:

x(t) = e

^t

 c

1

 cos t

−

¹₂

cos t +

¹₂

sin t

 + c

2

 sin t

−

¹₂

(sin t + cos t)



Per determinare la soluzione particolare della non omogenea, poich´e l’ingresso `e costante, scegliamo una soluzione costante x(t) =

 a b



. Sostituendola nell’equazione non omogenea si ottiene

 0 0



=

 0 −2

1 2

  a b

 +

 1 1



−2b + 1 = 0 a + 2b + 1 = 0

b = 1

2 , a = −2

Si pu`o dunque scrivere la soluzione generale della non omogenea come la somma tra la soluzione generale della omogenea e la soluzione particolare della non omogenea:

x(t) = e

^t

 c

1

 cos t

−

¹2

cos t +

¹₂

sin t

 + c

2

 sin t

−

¹2

(sin t + cos t)



+



−2

1 2



Uguagliando la condizione iniziale al valore della soluzione generale in zero si possono determinare le costanti c

ⁱ

:

 c

1

−

¹2

c

1

−

¹2

c

2

 +

 −2

1 2



=

 1 0



c

1

− 3 = 0

− 1 2 c

1

− 1

2 c

2

+ 1

2 = 0

c

1

= 3, c

2

= −2

Sostituendo le costanti nella soluzione generale della non omogenea, si ottiene infine la soluzione cercata:

x(t) = e

^t

 3

 cos t

−

¹2

cos t +

¹₂

sin t



− 2

 sin t

−

¹2

(sin t + cos t)



+

 −2

1 2



= e

^t

 3 cos t − 2 sin t

−

¹₂

cos t +

⁵₂

sin t

 +

 −2

1 2



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito C 9

Esercizio 1 Si consideri il sistema meccanico schematizzato nella figura seguente dove l’ingresso u corrisponde ad una forza applicata alla massa M

2

, presa positiva come in figura, e l’uscita y corrisponde alla velocit`a della massa M

1

.

1. Disegnare il circuito elettrico equivalente per analogia;

2. scrivere le matrici relative alle equazioni nel dominio del tempo

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) che ne descrivono il comportamento.

Esercizio 2 Si consideri il sistema dinamico lineare e stazionario

∆x(t) = Ax(t), dove A =





−1 0 0

1 3 1

0 0 1





Per tale sistema,

1. calcolare gli autovalori ed i corrispondenti autovettori (tali autovalori devono risultare distinti);

2. calcolare le soluzioni di base sia a tempo continuo sia a tempo discreto;

3. calcolare la soluzione generale (sia a tempo continuo sia a tempo discreto) del sistema;

4. calcolare la soluzione (sia a tempo continuo sia a tempo discreto) a partire dalla condizione iniziale x

0

=





−4 1 2





Esercizio 3 Si consideri il sistema dinamico affine e stazionario a tempo continuo

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), dove A =

 0 −2 1 −2



, B =

 0 1



Per tale sistema,

1. calcolare gli autovalori ed i corrispondenti autovettori (tali autovalori devono risultare distinti);

2. calcolare la soluzione generale dell’equazione omogenea;

3. calcolare la soluzione generale della non omogenea con l’ingresso costante u(t) = 1;

4. calcolare la soluzione con tale ingresso a partire dalla condizione iniziale x

0

=

 1 1



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito C 10

Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito C 11

Soluzione dell’esercizio 2 . Gli autovettori e gli autovalori dell matrice A in oggetto sono i seguenti:





−4 1 0



 ↔ −1;



 0 1 0



 ↔ 3;



 0 1

−2



 ↔ 1

La soluzione generale `e dunque data da (per il caso a tempo continuo e a tempo discreto, rispettivamente)

x(t) = c

1





−4 1 0



 e

^−t

+ c

2



 0 1 0



 e

^3t

+ c

3



 0 1

−2



 e

^t

x(t) = c

1





−4 1 0



 (−1)

^t

+ c

2



 0 1 0



 3

^t

+ c

3



 0 1

−2





La soluzione generale si pu`o calcolare in zero e uguagliarla alla condizione iniziale per determinare la scelta delle costanti (le stesse, per i due casi a tempo continuo e a tempo discreto)





−4 1 2



 = c

1





−4 1 0



 + c

2



 0 1 0



 + c

3



 0 1

−2





−4 + 4c

1

= 0 1 − c

1

− c

2

− c

3

= 0 2 + 2c

3

= 0

c

1

= 1, c

2

= 1, c

3

= −1

Infine, sostituendo le costanti nella soluzione generale e semplificando, si ottiene per i due casi la soluzione cercata:

x(t) =





−4 1 0



 e

^−t

+



 0 1 0



 e

^3t

−



 0 1

−2



 e

^t

=





−4e

^−t

e

^−t

+ e

^3t

− e

^t

2e

^t





x(t) =





−4 1 0



 (−1)

^t

+



 0 1 0



 3

^t

−



 0 1

−2



 =





−4(−1)

^t

(−1)

^t

+ (3)

^t

− 1

2





Soluzione dell’esercizio 3 . Gli autovettori e gli autovalori dell matrice A in oggetto sono i seguenti:

 1

1 2

−

¹₂

i



↔ −1 + i;

 1

1 2

+

¹₂

i



↔ −1 − i

La soluzione complessa relativa alla prima coppia autovalore-autovettore `e la seguente:

 1

1 2

−

¹₂

i



e

^(−1+i)t

= e

^−t

 1

1 2

−

¹₂

i

 e

^it

= e

^−t

 1

1 2

−

¹₂

i



(cos(t) + i sin(t))

= e

^−t

 cos t + i sin t

1

2

cos t +

¹₂

sin t +

¹₂

i (sin t − cos t)



= e

^−t

 cos t

1

2

cos t +

¹₂

sin t

 + i

 sin t

1

2

(sin t − cos t)



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito C 12

Da essa si possono determinare le due soluzioni reali di base, da cui costruire la seguente soluzione generale dell’equazione omogenea:

x(t) = e

^−t

 c

1

 cos t

1

2

cos t +

¹₂

sin t

 + c

2

 sin t

1

2

(sin t − cos t)



Per determinare la soluzione particolare della non omogenea, poich´e l’ingresso `e costante, scegliamo una soluzione costante x(t) =

 a b



. Sostituendola nell’equazione non omogenea si ottiene

 0 0



=

 0 −2 1 −2

  a b

 +

 0 1



−2b = 0

a − 2b + 1 = 0

b = 0,

a = −1

Si pu`o dunque scrivere la soluzione generale della non omogenea come la somma tra la soluzione generale della omogenea e la soluzione particolare della non omogenea:

x(t) = e

^−t

 c

1

 cos t

1

2

cos t +

¹₂

sin t

 + c

2

 sin t

1

2

(sin t − cos t)



+

 −1 0



Uguagliando la condizione iniziale al valore della soluzione generale in zero si possono determinare le costanti c

ⁱ

:

 c

1

− 1

1

2

c

1

−

¹₂

c

2



=

 1 1



c

1

− 2 = 0 1

2 c

1

− 1

2 c

2

− 1 = 0 c

1

= 2, c

2

= 0

Sostituendo le costanti nella soluzione generale della non omogenea, si ottiene infine la soluzione cercata:

x(t) = e

^−t

 2 cos t cos t + sin t

 +

 −1 0



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito D 13

Esercizio 1 Si consideri il sistema termico schematizzato nella figura seguente dove l’ingresso u corrisponde alla temperatura della stanza di sinistra e l’uscita y corrisponde alla temperatura della stanza centrale.

1. Disegnare il circuito elettrico equivalente per analogia;

2. scrivere le matrici relative alle equazioni nel dominio del tempo

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) che ne descrivono il comportamento.

Esercizio 2 Si consideri il sistema dinamico lineare e stazionario

∆x(t) = Ax(t), dove A =





−1 1 0

0 3 0

0 1 1





Per tale sistema,

1. calcolare gli autovalori ed i corrispondenti autovettori (tali autovalori devono risultare distinti);

2. calcolare le soluzioni di base sia a tempo continuo sia a tempo discreto;

3. calcolare la soluzione generale (sia a tempo continuo sia a tempo discreto) del sistema;

4. calcolare la soluzione (sia a tempo continuo sia a tempo discreto) a partire dalla condizione iniziale x

0

=



 1 0 1





Esercizio 3 Si consideri il sistema dinamico affine e stazionario a tempo continuo

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), dove A =

 0 1

−2 −2



, B =

 0 1



Per tale sistema,

1. calcolare gli autovalori ed i corrispondenti autovettori (tali autovalori devono risultare distinti);

2. calcolare la soluzione generale dell’equazione omogenea;

3. calcolare la soluzione generale della non omogenea con l’ingresso costante u(t) = 1;

4. calcolare la soluzione con tale ingresso a partire dalla condizione iniziale x

0

=

 3/2 1



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito D 14

Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito D 15

Soluzione dell’esercizio 2 . Gli autovettori e gli autovalori dell matrice A in oggetto sono i seguenti:



 1 0 0



 ↔ −1;



 1 4 2



 ↔ 3;



 0 0 1



 ↔ 1

La soluzione generale `e dunque data da (per il caso a tempo continuo e a tempo discreto, rispettivamente)

x(t) = c

1



 1 0 0



 e

^−t

+ c

2



 1 4 2



 e

^3t

+ c

3



 0 0 1



 e

^t

x(t) = c

1



 1 0 0



 (−1)

^t

+ c

2



 1 4 2



 3

^t

+ c

3



 0 0 1





La soluzione generale si pu`o calcolare in zero e uguagliarla alla condizione iniziale per determinare la scelta delle costanti (le stesse, per i due casi a tempo continuo e a tempo discreto)



 1 0 1



 = c

1



 1 0 0



 + c

2



 1 4 2



 + c

3



 0 0 1





1 − c

1

− c

2

= 0

−4c

2

= 0 1 − 2c

2

− c

³

= 0

c

1

= 1, c

3

= 1, c

2

= 0

Infine, sostituendo le costanti nella soluzione generale e semplificando, si ottiene per i due casi la soluzione cercata:

x(t) =



 1 0 0



 e

^−t

+



 0 0 1



 e

^t

=



 e

^−t

0 e

^t





x(t) =



 1 0 0



 (−1)

^t

+



 0 0 1



 =



 (−1)

^t

0 1





Soluzione dell’esercizio 3 . Gli autovettori e gli autovalori dell matrice A in oggetto sono i seguenti:

 1

−1 + i



↔ −1 + i;

 1

−1 − i



↔ −1 − i

La soluzione complessa relativa alla prima coppia autovalore-autovettore `e la seguente:

 1

−1 + i



e

^(−1+i)t

= e

^−t

 1

−1 + i



(cos(t) + i sin(t))

= e

^−t

 cos t + i sin t

− cos t − sin t − i (sin t − cos t)



Da essa si possono determinare le due soluzioni reali di base, da cui costruire la seguente soluzione generale dell’equazione omogenea:

x(t) = e

^−t

 c

1

 cos t

− cos t − sin t

 + c

2

 sin t

− (sin t − cos t)



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito D 16

Per determinare la soluzione particolare della non omogenea, poich´e l’ingresso `e costante, scegliamo una soluzione costante x(t) =

 a b



. Sostituendola nell’equazione non omogenea si ottiene

 0 0



=

 0 1

−2 −2

  a b

 +

 0 1



b = 0

−2a − 2b + 1 = 0

b = 0,

a = 1

2

Si pu`o dunque scrivere la soluzione generale della non omogenea come la somma tra la soluzione generale della omogenea e la soluzione particolare della non omogenea:

x(t) = e

^−t

 c

1

 cos t

− cos t − sin t

 + c

2

 sin t

− (sin t − cos t)



+



₁

2

0



Uguagliando la condizione iniziale al valore della soluzione generale in zero si possono determinare le costanti c

ⁱ

:

 c

1

+

¹₂

−c

¹

+ c

2



=

 3/2 1



c

1

− 1 = 0

−c

1

+ c

2

− 1 = 0 c

1

= 1, c

2

= 2

Sostituendo le costanti nella soluzione generale della non omogenea, si ottiene infine la soluzione cercata:

x(t) = e

^−t

 cos t

− cos t − sin t

 + 2

 sin t

− (sin t − cos t)



+



₁

0

2



= e

^−t

 cos t + 2 sin t cos t − 3 sin t

 +



₁

0

2



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito E 17

Esercizio 1 Si consideri il sistema idraulico schematizzato nella figura seguente dove l’ingresso u corrisponde alla pressione nella camera di sinistra e l’uscita y corrisponde al flusso uscente dal terzo rubinetto.

1. Disegnare il circuito elettrico equivalente per analogia;

2. scrivere le matrici relative alle equazioni nel dominio del tempo

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) che ne descrivono il comportamento.

Esercizio 2 Si consideri il sistema dinamico lineare e stazionario

∆x(t) = Ax(t), dove A =





−1 0 1

0 −2 0

0 1 1





Per tale sistema,

1. calcolare gli autovalori ed i corrispondenti autovettori (tali autovalori devono risultare distinti);

2. calcolare le soluzioni di base sia a tempo continuo sia a tempo discreto;

3. calcolare la soluzione generale (sia a tempo continuo sia a tempo discreto) del sistema;

4. calcolare la soluzione (sia a tempo continuo sia a tempo discreto) a partire dalla condizione iniziale x

0

=



 0 0

−2





Esercizio 3 Si consideri il sistema dinamico affine e stazionario a tempo continuo

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), dove A =

 0 1

−5 4



, B =

 0 1



Per tale sistema,

1. calcolare gli autovalori ed i corrispondenti autovettori (tali autovalori devono risultare distinti);

2. calcolare la soluzione generale dell’equazione omogenea;

3. calcolare la soluzione generale della non omogenea con l’ingresso costante u(t) = 1;

4. calcolare la soluzione con tale ingresso a partire dalla condizione iniziale x

0

=



₁

5

1



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito E 18

Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito E 19

Soluzione dell’esercizio 2 . Gli autovettori e gli autovalori dell matrice A in oggetto sono i seguenti:



 1 0 0



 ↔ −1;





−1

−3 1



 ↔ −2;



 1 0 2



 ↔ 1

La soluzione generale `e dunque data da (per il caso a tempo continuo e a tempo discreto, rispettivamente)

x(t) = c

1



 1 0 0



 e

^−t

+ c

2





−1

−3 1



 e

^−2t

+ c

3



 1 0 2



 e

^t

x(t) = c

1



 1 0 0



 (−1)

^t

+ c

2





−1

−3 1



 (−2)

^t

+ c

3



 1 0 2





La soluzione generale si pu`o calcolare in zero e uguagliarla alla condizione iniziale per determinare la scelta delle costanti (le stesse, per i due casi a tempo continuo e a tempo discreto)



 0 0

−2



 = c

1



 1 0 0



 + c

2





−1

−3 1



 + c

3



 1 0 2





−c

1

+ c

2

− c

3

= 0 3c

2

= 0

−2 − c

²

− 2c

³

= 0 c

1

= 1, c

3

= −1, c

2

= 0

Infine, sostituendo le costanti nella soluzione generale e semplificando, si ottiene per i due casi la soluzione cercata:

x(t) =



 1 0 0



 e

^−t

−



 1 0 2



 e

^t

=





e

^−t

− e

^t

0

−2e

^t





x(t) =



 1 0 0



 (−1)

^t

−



 1 0 2



 =





(−1)

^t

− 1 0

−2





Soluzione dell’esercizio 3 . Gli autovettori e gli autovalori dell matrice A in oggetto sono i seguenti:

 1

2 + i



↔ 2 + i;

 1

2 − i



↔ 2 − i

La soluzione complessa relativa alla prima coppia autovalore-autovettore `e la seguente:

 1

2 + i



e

^(2+i)t

= e

^2t

 1

2 + i

 e

^it

= e

^2t

 1

2 + i



(cos(t) + i sin(t))

= e

^2t

 cos t + i sin t

2 cos t − sin t + i (2 sin t + cos t)



= e

^2t

 cos t 2 cos t − sin t

 + i

 sin t 2 sin t + cos t



Da essa si possono determinare le due soluzioni reali di base, da cui costruire la seguente soluzione generale dell’equazione omogenea:

x(t) = e

^2t

 c

1

 cos t 2 cos t − sin t

 + c

2

 sin t 2 sin t + cos t



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito E 20

Per determinare la soluzione particolare della non omogenea, poich´e l’ingresso `e costante, scegliamo una soluzione costante x(t) =

 a b



. Sostituendola nell’equazione non omogenea si ottiene

 0 0



=

 0 1

−5 4

  a b

 +

 0 1



b = 0

−5a + 4b + 1 = 0 b = 0, a = 1

5

Si pu`o dunque scrivere la soluzione generale della non omogenea come la somma tra la soluzione generale della omogenea e la soluzione particolare della non omogenea:

x(t) = e

^2t

 c

1

 cos t 2 cos t − sin t

 + c

2

 sin t 2 sin t + cos t



+



₁

5

0



Uguagliando la condizione iniziale al valore della soluzione generale in zero si possono determinare le costanti c

ⁱ

:

 c

1

2c

1

+ c

2

 +



1 5

0



=



1 5

1



c

1

= 0 2c

1

+ c

2

− 1 = 0

c

1

= 0, c

2

= 1

Sostituendo le costanti nella soluzione generale della non omogenea, si ottiene infine la soluzione cercata:

x(t) = e

^2t

 sin t 2 sin t + cos t

 +



₁

0

5



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito F 21

Esercizio 1 Si consideri il sistema meccanico schematizzato nella figura seguente dove l’ingresso u corrisponde ad una forza applicata alla massa M

1

, presa positiva come in figura, e l’uscita y corrisponde alla velocit`a della massa M

2

.

1. Disegnare il circuito elettrico equivalente per analogia;

2. scrivere le matrici relative alle equazioni nel dominio del tempo

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) che ne descrivono il comportamento.

Esercizio 2 Si consideri il sistema dinamico lineare e stazionario

∆x(t) = Ax(t), dove A =





−1 0 0

0 −2 1

1 0 1





Per tale sistema,

1. calcolare gli autovalori ed i corrispondenti autovettori (tali autovalori devono risultare distinti);

2. calcolare le soluzioni di base sia a tempo continuo sia a tempo discreto;

3. calcolare la soluzione generale (sia a tempo continuo sia a tempo discreto) del sistema;

4. calcolare la soluzione (sia a tempo continuo sia a tempo discreto) a partire dalla condizione iniziale x

0

=



 2 0

−1





Esercizio 3 Si consideri il sistema dinamico affine e stazionario a tempo continuo

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), dove A =

 0 −5

1 4



, B =

 0 1



Per tale sistema,

1. calcolare gli autovalori ed i corrispondenti autovettori (tali autovalori devono risultare distinti);

2. calcolare la soluzione generale dell’equazione omogenea;

3. calcolare la soluzione generale della non omogenea con l’ingresso costante u(t) = 1;

4. calcolare la soluzione con tale ingresso a partire dalla condizione iniziale x

0

=

 1

1 5



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito F 22

Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito F 23

Soluzione dell’esercizio 2 . Gli autovettori e gli autovalori dell matrice A in oggetto sono i seguenti:





−2 1 1



 ↔ −1;



 0 1 0



 ↔ −2;



 0 1 3



 ↔ 1

La soluzione generale `e dunque data da (per il caso a tempo continuo e a tempo discreto, rispettivamente)

x(t) = c

1





−2 1 1



 e

^−t

+ c

2



 0 1 0



 e

^−2t

+ c

3



 0 1 3



 e

^t

x(t) = c

1





−2 1 1



 (−1)

^t

+ c

2



 0 1 0



 (−2)

^t

+ c

3



 0 1 3





La soluzione generale si pu`o calcolare in zero e uguagliarla alla condizione iniziale per determinare la scelta delle costanti (le stesse, per i due casi a tempo continuo e a tempo discreto)



 2 0

−1



 = c

1





−2 1 1



 + c

2



 0 1 0



 + c

3



 0 1 3





2 + 2c

1

= 0

−c

¹

− c

²

− c

³

= 0

−1 − c

1

− 3c

3

= 0 c

1

= −1, c

3

= 0, c

2

= 1

Infine, sostituendo le costanti nella soluzione generale e semplificando, si ottiene per i due casi la soluzione cercata:

x(t) = −





−2 1 1



 e

^−t

+



 0 1 0



 e

^−2t

=





2e

^−t

e

^−2t

− e

^−t

−e

^−t





x(t) = −





−2 1 1



 (−1)

^t

+



 0 1 0



 (−2)

^t

=





2(−1)

^t

−(−1)

^t

+ (−2)

^t

−(−1)

^t





Soluzione dell’esercizio 3 . Gli autovettori e gli autovalori dell matrice A in oggetto sono i seguenti:

 1

−

²₅

−

¹₅

i



↔ 2 + i;

 1

−

²₅

+

¹₅

i



↔ 2 − i

La soluzione complessa relativa alla prima coppia autovalore-autovettore `e la seguente:

 1

−

²5

−

¹5

i



e

^(2+i)t

= e

^2t

 1

−

²5

−

¹5

i



(cos t + i sin t)

= e

^2t

 cos t + i sin t

−

²5

cos t +

¹₅

sin t + i −

¹₅

cos t −

²₅

sin t



= e

^2t

 cos t

−

²₅

cos t +

¹₅

sin t

 + i

 sin t

−

¹₅

cos t −

²₅

sin t



Da essa si possono determinare le due soluzioni reali di base, da cui costruire la seguente soluzione generale dell’equazione omogenea:

x(t) = e

^2t

 c

1

 cos t

−

²5

cos t +

¹₅

sin t

 + c

2

 sin t

−

¹5

cos t −

²₅

sin t



Primo compito di esonero di Fondamenti di Automatica - 28/03/2003 - Compito F 24

Per determinare la soluzione particolare della non omogenea, poich´e l’ingresso `e costante, scegliamo una soluzione costante x(t) =

 a b



. Sostituendola nell’equazione non omogenea si ottiene

 0 0



=

 0 −5

1 4

  a b

 +

 0 1



−5b = 0

a + 4b + 1 = 0 b = 0, a = −1

Si pu`o dunque scrivere la soluzione generale della non omogenea come la somma tra la soluzione generale della omogenea e la soluzione particolare della non omogenea:

x(t) = e

^2t

 c

1

 cos t

−

²₅

cos t +

¹₅

sin t

 + c

2

 sin t

−

¹₅

cos t −

²₅

sin t



+

 −1 0



Uguagliando la condizione iniziale al valore della soluzione generale in zero si possono determinare le costanti c

i

:

 c

1

−

²₅

c

1

−

¹₅

c

2

 +

 −1 0



=

 1

1 5



c

1

− 2 = 0

− 2 5 c

1

− 1

5 c

2

− 1

5 = 0

c

1

= 2, c

2

= −5

Sostituendo le costanti nella soluzione generale della non omogenea, si ottiene infine la soluzione cercata:

x(t) = e

^2t

 2

 cos t

−

²₅

cos t +

¹₅

sin t



− 5

 sin t

−

¹₅

cos t −

²₅

sin t



+

 −1 0



= e

^2t

 2 cos t − 5 sin t

1

5

cos t +

¹²₅

sin t

 +

 −1 0