(1) Si consideri un cancello schematizzato come il ret-tangolo

(1)

ESAME SCRITTO DI FISICA GENERALE LA

INGEGNERIA GESTIONALE E DEI PROCESSI GESTIONALI A-K,

DELLE TELECOMUNICAZIONI, MECCANICA, DELL’AMBIENTE E DEL TERRITORIO E CHIMICA

(Proff. A. Bertin, N. Semprini Cesari, A. Vitale e A. Zoccoli) 9/1/2004

(1)

Si consideri un cancello schematizzato come il ret- tangolo ABCD mostrato in figura, di lati e

, in cui A e B rappresentano i cardini. Il can- cello, il cui baricentro si trova al centro del rettango- lo, è soggetto al peso

a = BC b =CD

pr . Calcolare, in condizioni di equilibrio, le espressioni delle seguenti quantità:

pr y

x A

B

D C G

a) le componenti orizzontali delle forze Φr_A e ΦB

r esplicate dai cardini A e B in reazione alla forza peso;

b) la risultante delle componenti verticali di tali forze di reazione.

* * *

1) Calcolare l’espressione del lavoro compiuto dalla forza conservativa F xr( , , )y z =

{

⁽²^x ^{z i}⁾ ^{z j} ⁽^x ^{y k}⁾

}

α + r+ r + + r

tra gli istanti t e t su di un punto ma- teriale di massa m il cui moto è descritto dalla legge oraria

=0 =^T

0 0 0

( ) x y z

r t i j k t

T T T

 

= + +  r r r

r .

2) Spiegare in quali condizioni la quantità di moto e il momento della quantità di moto di un sistema meccanico sono, insieme o singolarmente, grandezze costanti nel tempo.

3) Calcolare, rispetto all’asse di simmetria, l’espressione del momento d’inerzia di un corpo di massa M a forma di stella, costituito da cinque raggi uguali filiformi e rettilinei, ciascuno dei quali ha lunghezza L, densità di massa (lineare) unifor- me e i due estremi situati rispettivamente al centro e ai diversi vertici di un pen- tagono.

(2)

pr y

x A

B

D C G

ΦurB

ΦurA

rrB

rrG b

Soluzione Esercizio a

In condizioni di equilibrio si ha

1) 0 0

T

F M

=

= ur r uur r

Le forze in gioco sono le reazioni vincolari FurA

e FurB

applicate nei punti A e B rispettivamente nonché la forza peso urp

applicata nel punto G. Tenendo conto del fatto che tali forze non hanno componenti lungo z scriveremo:

2)

( )

0 0

x y

A A A

x y

B B B

, , , , p , p, F = F F F = F F

= - ur ur ur

Se inoltre scegliamo il polo di riduzione per il calcolo dei momenti coincidente con il punto A avremo

3)

( )

2 2 0

0 0

G

B

r a b,

r ,b,

æ ö

= çè ÷ø

= r r

,

Dalle 1), tenendo conto delle 2) e 3) otteniamo allora le seguenti equazioni

0 0

0

0 0 0

2 2 0 0 0

2 0

x x

A B A B

y y

A B

G B B

x y

B B

x B

p

i j k

a b

r p r b

p

a p b

F + F + = F + F =

F + F - =

Ù + Ù F = + =

F F

-

- - F = ur ur ur r

r r r r r r

r ur r ur

0 0r

dalle quali ricaviamo le quantità richieste

2 2

x x

A B

y y

A B

ap ap

a ) b b

b ) p

F = F = -

F + F =

(3)

Quesito N.1

Dato che il campo di forza è conservativo basterà calcolare l’integrale di linea della forza lungo un qualunque cammino che congiunge il punto A, occupato all’istante t=0, ed il punto F occupato all’istante t=T. Dalla espressione della posizione in funzione del tempo, sosti- tuendo t=0 e t=T rispettivamente, si trova facilmente ^A⁼

(

^{0 0 0}^{, ,}

)

^{, F} ⁼

(

^{x , y ,z}⁰ ⁰ ⁰

)

^.

Integrando lungo lungo gli spi- goli come indicato in figura otteniamo

( 0 0 0)

F x , y , z

(^{0 0 0})

A , ,

^a

0

0 0

2

0 0 0 0 0

2

x

z

y

x dx

x dz

z dy

( x x z y z ) +

+

=

+ +

ò ò ò

a

a a

Quesito N.3

Si deve calcolare il momento di inerzia di ciascun raggio rispetto ad un asse normale al raggio stesso e passante per un suo estremo. Si ottiene facilmente

² ²

0 3

L

r dm= ldx x =lL

ò ò

³

Tenendo ora conto che i raggi sono 5 e che lL M= otteniamo ⁵ ² I =3ML .