COMPITO 1
1) La varianza calcolata su n osservazioni vale zero, allora a) la media delle osservazioni è 0
b) le osservazioni sono distribuite simmetricamente attorno alla media c) le osservazioni sono necessariamente tutte uguali
d) le osservazioni sono tutte uguali a zero
e) n è pari e ci sono scarti dalla media uguali in valore assoluto ma di segno opposto Soluzione
c)
2) La densità di frequenza di una classe
a) è il rapporto tra la frequenza cumulata e l’ampiezza della classe b) è sempre un numero intero
c) è il rapporto tra la frequenza relativa e l’ampiezza della classe d) è il rapporto tra la frequenza e il numero di osservazioni
e) è il rapporto tra il numero di osservazioni e l’ampiezza della classe Soluzione
c)
3) L’indice eta quadrato della X sulla Y
a) coincide con il quadrato del coefficiente di correlazione lineare b) assume valore 1 in caso di indipendenza in media di X da Y c) assume valore zero nel caso in cui X dipende perfettamente da Y d) assume valori nell’intervallo [-1, 1]
e) può essere calcolato soltanto se X è una variabile quantitativa Soluzione
e)
4) Lanciando una moneta si ha probabilità 50% che esca testa. Se per due lanci consecutivi è uscito testa, qual è la probabilità che al terzo lancio esca ancora testa?
a) è più probabile che esca testa b) è più probabile che esca croce c) esce testa con probabilità 1
d) può verificarsi testa o croce con la stessa probabilità e) non si può dire
Soluzione d)
5) Individuare quale delle seguenti affermazioni relative ad una variabile casuale continua X con funzione di ripartizione F(x) è vera.
a) Vale la relazione P(a< X <b)=F(a)-F(b) b) È possibile ottenere P(X >a) come 1-F(a)
c) F(x) corrisponde all’area compresa tra l’asse delle ascisse e la funzione di densità per valori maggiori di x
d) F(x) si ottiene derivando la funzione di densità e) F(x) è costante a tratti
Soluzione b)
6) Dati due stimatori T1 e T2 di uno stesso parametro
a) si ha sempre che uno dei due stimatori ha momento secondo dell’errore di stima minore dell’altro
b) se T1 è distorto e T2 è corretto, T2 è sempre preferibile a T1
c) se entrambi sono non distorti, il confronto tra i due stimatori può essere effettuato solo sulla base della varianza
d) se entrambi sono distorti, il confronto tra i due stimatori si effettua sulla base della varianza e) se T1 è distorto e T2 è corretto, il confronto tra i due stimatori si effettua sulla base della varianza Soluzione
c)
7) La variabile casuale X avente distribuzione Chi-quadrato con 5 gradi di libertà:
a) ha valore atteso e varianza uguale a 10 b) può assumere valori su tutta la retta reale
c) ha varianza uguale a 10 ma valore atteso uguale a 5 d) assume sempre valori minori o uguali a 5
e) ha distribuzione simmetrica Soluzione
c)
8) Con riferimento all’ipotesi H0: = , per effettuare il test al livello di significatività 0.05 la regione di rifiuto risulta
a) l’insieme dei valori maggiori del quantile di ordine 0.975 b) l’insieme dei valori superiori al quantile di ordine 0.05 c) l’insieme dei valori maggiori del quantile di ordine 0.25
d) l’insieme dei valori inferiori al quantile di ordine 0.025 e superiori al quantile di ordine 0.975 e) nessuna delle precedenti è corretta
Soluzione d)
9) Data la seguente distribuzione
Classi di valori Frequenza relativa
-1 − 1 0.2
1 − 5 0.3
5 − 15 0.5
1.0 approssimare il momento ordinario (o dall’origine) di ordine 3.
Soluzione
m3 = 33×0.3+103×0.5 = 508.1
10) Il voto medio nell’esame di matematica di un gruppo di 15 ragazzi è pari a 22. Considerando anche 20 ragazze, il voto medio calcolato sui 35 studenti è 24. Determinare il voto medio delle ragazze.
Soluzione
𝑥̅ = 24 =𝑥̅𝑚× 15 + 𝑥̅𝑓× 20
35 = 22 × 15 + 𝑥̅𝑓× 20 35
20 𝑥̅𝑓 = 24 × 35 − 22 × 15 𝑥̅𝑓 =510
20 = 25.5
11) Con riferimento alle seguenti osservazioni 2 7 5 3 3 7 calcolare la differenza interquantilica.
Soluzione
La serie ordinata è 2 3 3 5 7 7
posto primo quartile: ⌈6 × 0.25⌉ = ⌈1.5⌉ = 2 posto terzo quartile: ⌈6 × 0.75⌉ = ⌈4.5⌉ = 5 x0.75 − x0.25= x(5) − x(2) = 4
12) Data la seguente tabella bivariata
X\Y -1 0 A 5 0 5 B 4 6 10
9 6 15
calcolare la varianza delle medie delle distribuzioni condizionate di Y|x (varianza between).
Soluzione
𝑦̅|𝐴 = −1, 𝑦̅|𝐵 = −2
5, 𝑦̅ = − 9 15 𝑠𝑏2 = (−1 + 9
15)
2
× 5
15+ (−2 5+ 9
15)
2
×10 15= 18
225= 0.08
13) Supponendo che la variabile X dell’esercizio precedente assuma i valori 1 e 2 invece delle modalità A e B, calcolare la covarianza tra le variabili Y e W=1+2X.
Soluzione
𝑚1,1 = 𝑚𝑥𝑦 = −13 15 𝑥̅ =5
3 𝑠𝑥𝑦= −13
15−5
3× (− 9
15) = 2 15 𝑠𝑤𝑦= 2𝑠𝑥𝑦 = 4
15
14) Si lancino contemporaneamente 3 monete, le prime due perfettamente bilanciate e la terza truccata in modo che la probabilità che esca testa sia tripla della probabilità che esca croce.
Determinare la probabilità che esca croce su tutte e tre le monete.
Soluzione
Per le monete bilanciate: P(T)= P(C)=1/2 Per la moneta truccata: P(T)=3/4, P(C)=1/4
1 2×1
2×1 4
15) Si lancino una moneta perfetta e una moneta truccata in modo che la probabilità che esca croce sia doppia della probabilità che esca testa. Inoltre, si consideri il seguente gioco: se si verificano due teste si vince un euro, se si verificano due croci si vince 0.5 euro mentre negli altri casi non si vince nulla. Determinare il valore atteso della variabile V che denota la vincita.
Soluzione
Per la moneta truccata: P(T)=1/3, P(C)=2/3 Risultati Vincita Probabilità
TT 1 euro 1 2×1
3= 1 6 TC 0 euro 1
2×2 3= 2
6 CT 0 euro 1
2×1 3= 1
6 CC 0.5 euro 1
2×2 3= 2
6 𝐸(𝑉) = 1 ×1
6+ 0.5 ×1 3=2
6= 1 3
16) Sia X una variabile casuale con la seguente funzione di densità . 3 1
4, )
( = x x x
f Calcolare P(1<X<2).
Soluzione
𝑃(1 < 𝑋 < 2) = 𝐹(2) − 𝐹(1) = 𝐹(2) − 0 = 𝐹(2) 1
4∫ 𝑡𝑑𝑡
𝑥
1
= 1 4[𝑡2
2]
1 𝑥
=1 4
𝑥2− 1
2 =1
8(𝑥2− 1) 𝐹(𝑥) =1
8(𝑥2− 1) 1 < 𝑥 < 3 𝐹(2) =1
8(4 − 1) =3 8
17) Si consideri un campione casuale X1,..,X9 da una popolazione normale con valore atteso e varianza 36. Calcolare P( X <+).
Soluzione 𝑋̅~𝑁 (𝜇,36
9 = 4)
𝑃(𝑋̅ < μ + 4) = ϕ (𝜇 + 4 − 𝜇
2 ) = ϕ(2) = 0.9772
18) Si consideri un campione casuale X1,..,X4 da una popolazione normale con media e varianza 36. Calcolare il momento secondo dell’errore di stima dello stimatore T=
2
1 (2X1-X2-X3-2X4) del parametro .
Soluzione 𝐸(𝑇) =1
2(2𝜇 − 𝜇 − 𝜇 − 2𝜇) = −𝜇 𝐵(𝑇) = −𝜇 − 𝜇 = −2𝜇
𝑉(𝑇) =1
4(4𝜎2+ 𝜎2 + 𝜎2 + 4𝜎2) =10𝜎2 4 = 90 MSE(T)= 90+4𝜇2
19) Su un campione casuale di n=25 estratto da una popolazione normale la media e la varianza non corretta sono rispettivamente x =15,s2 =24. Determinare l’intervallo di confidenza per al livello
=0.05.
Soluzione 𝑥̅ ∓ 𝑡24,0.975√𝑠𝑐2
𝑛 𝑠𝑐2 = 25
24𝑠2 = 25, 𝑡24,0.975 = 2.064 15 ∓ 2.064√25
25 (12.936, 17.064)
20) In un campione di n=100 studenti sono stati rilevati il sesso e l’esito dell’esame di diritto pubblico ottenendo i seguenti dati
Sesso\Esito Respinto Promoso
M 20 10 30
F 40 30 70
60 40 100
Verificare l’ipotesi di indipendenza tra sesso ed esito dell’esame al livello di significatività =0.05.
Soluzione 𝜒2 = (20 − 18)
18
2
+(10 − 12) 12
2
+(40 − 42) 42
2
+(30 − 28) 28
2
= 0.7936
= 3.841
Non si ha motivo di rifiutare H0
COMPITO 2
1) Si considerino n osservazioni x1,x2,...,xn
a) la media è necessariamente minore della mediana b) la media è necessariamente maggiore della mediana c) media e mediana sono necessariamente uguali d) la media è sempre maggiore della moda e) nessuna delle precedenti
Soluzione e)
2) Se in un box-plot il rettangolo ha altezza 2 a) la media è 2
b) la mediana è 2
c) il quantile di ordine 0.25 è 2 d) la differenza interquartile è 2 e) il quantile di ordine 0.75 è 2 Soluzione
d)
3) La covarianza calcolata sulla base di n coppie di osservazioni a) è sempre positiva
b) è sempre maggiore della varianza di ciascuna variabile
c) dipende dall’unità di misura in cui sono espresse le osservazioni d) è sempre compresa tra -1 e 1
e) è sempre non negativa Soluzione
c)
4) Siano A e B due eventi indipendenti a) A e B sono incompatibili
b) A e B costituiscono una partizione dello spazio fondamentale c) A e Bc sono incompatibili
d) A e Bc sono indipendenti e) B e Ac sono incompatibili Soluzione
d)
A = (B∩A)⋃(Bc∩A)
P(A) = P(B∩A) + P(Bc∩A)
P(A) = P(A)×P(B) + P(Bc|A)×P(A) dividendo tutto per P(A) risulta 1 = P(B) + P(Bc|A)
P(Bc|A) = 1-P(B) = P(Bc) Dato che
P(Bc|A) = P(Bc)
A e Bc sono indipendenti
5) Una variabile casuale discreta X
a) assume sempre un numero finito di valori b) non può avere valore atteso negativo c) assume sempre più di due valori
d) ha varianza calcolabile sulla base di E(X) e E(X2) e) ha sempre valore atteso maggiore o uguale a 0 Soluzione
d)
6) Si consideri una variabile casuale X con distribuzione Binomiale con parametri n=10 e =0.3:
a) X ha la stessa distribuzione della somma di 10 variabili casuali indipendenti con distribuzione di Bernoulli con parametro =0.3
b) la distribuzione di X è sempre approssimabile tramite la distribuzione normale c) X può assumere un qualsiasi numero reale tra 0 e 10
d) X può assumere soltanto valori interi maggiori di 0 e inferiori o uguali a 10 e) la distribuzione di X è simmetrica
Soluzione a)
7) La varianza campionaria ottenuta su un campione casuale:
a) può essere uguale a 0
b) è sempre maggiore della varianza di ciascuna variabile casuale campionaria c) è uguale alla varianza di ciascuna variabile casuale campionaria divisa per n d) è sempre uno stimatore corretto
e) può assumere un numero finito di valori Soluzione
a)
8) Il p-valore rappresenta
a) la probabilità di rifiutare H0 quando è vera b) la probabilità di accettare H0 quando è falsa
c) la somma della probabilità di rifiutare H0 quando è vera e della probabilità di accettare H0 quando è falsa
d) la probabilità che la statistica test assuma un valore ‘più estremo’ di quello osservato e) la probabilità che la statistica test assuma valori nella regione di rifiuto
Soluzione d)
9) Dato il seguente protocollo sperimentale
3, 2, 0, 3, -2, 0, determinare l’indice di curtosi.
Soluzione 𝑥̅ = 1,
Considerata la sequenza degli scarti dalla media
2, 1, -1, 2, -3, -1,
𝑚̅4 = 24+ 1 + 1 + 24+ 34+ 1
6 = 116
6 = 19. 3̅, 𝑠𝑥2 = 22+ 1 + 1 + 22+ 32+ 1
6 = 10
3 = 3. 3̅, 𝑎4 = 19. 3̅
(3. 3̅)2 = 1.74
10) Su n=12 osservazioni della variabile X sono stati osservati i seguenti valori x=6, sx2 =36. Sapendo inoltre che Y=4X-12, determinare il coefficiente di variazione della variabile Y.
Soluzione
𝑦̅ = 4 × 6 − 12 = 12, 𝑠𝑦2 = 16 × 36 = 576, 𝐶𝑉𝑦 =√576
12 = 2
11) Su un campione di 10 osservazioni (xi,yi) (i =1,…,10) sono state ottenute le stime dei parametri della retta di regressione ottenendo l’equazione stimata yi xi
3 5 1
ˆ = + . Sapendo che 9
, 4 ,
9 2
2 = s = x =
sx y , determinare la varianza residua.
Soluzione
Viene richiesto il valore di 𝑠𝑒2 = (1 − 𝑟𝑥𝑦2 )𝑠𝑦2
dove 𝑟𝑥𝑦2 = 𝑠𝑥𝑦2
𝑠𝑥2𝑠𝑦2
La covarianza fra le due variabili può essere ottenuta tenendo presente che 𝛽̂ =𝑠𝑥𝑦
𝑠𝑥2 da cui risulta 𝑠𝑥𝑦= 𝛽̂𝑠𝑥2 = 1
39 = 3.
e quindi
𝑟𝑥𝑦2 = 9
9 × 4=1 4
𝑠𝑒2 = (1 −𝑟𝑥𝑦2 )𝑠𝑦2 = (1 −1
4) × 4 = 3
12) Date le coppie di osservazioni (2,2), (1,2), (2,2), (1,2), (2,2), (1,2), (1,1), (2,2), (2,1), (2,2). relative alle variabili X e Y, costruendo la tabella a doppia entrata determinare la media della variabile Y subordinata a X=2.
Soluzione
X\Y 1 2
1 1 3 4
2 1 5 6
2 8 10
𝑦̅2 = 1 × 1 + 2 × 5
6 =11
6
13) Su n=100 coppie di osservazioni delle variabili X e Y, sono stati osservati i seguenti valori
∑ 𝒙𝒊
𝟏𝟎𝟎
𝒊=𝟏
= 𝟏𝟎𝟎, ∑ 𝒙𝒊𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝒊=𝟏
= 𝟓𝟎𝟎, ∑ 𝒙𝒊
𝟏𝟎𝟎
𝒊=𝟏
𝒚𝒊= 𝟖𝟎𝟎, 𝒚̄ = 𝟒, 𝒔𝒚𝟐 = 𝟒 Calcolare il coefficiente di correlazione lineare tra le variabili U=X+1 e V=-3Y+2.
Soluzione
𝑠𝑥𝑦= 𝑚1,1− 𝑥̅𝑦̅ = 1
100∑ 𝒙𝒊
𝟏𝟎𝟎
𝒊=𝟏
𝒚𝒊− 1
100∑ 𝒙𝒊
𝟏𝟎𝟎
𝒊=𝟏
× 𝑦̅ = 8 − 1 × 4 = 4
𝑠𝑥2 = 𝑚2𝑥− 𝑥̅2 = 1
100∑ 𝑥𝑖2
100
𝑖=1
− ( 1
100∑ 𝑥𝑖
100
𝑖=1
)
2
= 5 − 1 = 4 𝑟𝑥𝑦= 𝑠𝑥𝑦
𝑠𝑥𝑠𝑦 = 4
2 × 2= 1, 𝑟𝑢𝑣= −1
14) Due macchinari A e B producono uno stesso pezzo, ma il macchinario A produce il doppio dei pezzi del macchinario B. Sapendo che il 2% dei pezzi prodotti da A è difettoso mentre l'1% dei pezzi prodotti da B è difettoso, determinare la probabilità che un pezzo estratto a caso sia difettoso.
Soluzione { 𝑃(𝐴) = 2𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 1 𝑃(𝐴) =2
3 𝑃(𝐵) =1 𝑃(𝐷|𝐴) = 0.02 3 𝑃(𝐷|𝐵) = 0.01
𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐷|𝐴)𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐷|𝐵)𝑃(𝐵) = 0.02 ×2
3+ 0.011
3= 0.016̅
15) Da un’urna contenente 5 palline bianche, 3 rosse e due nere si estraggono 7 palline con reinserimento.
Determinare la probabilità di ottenere almeno 6 palline bianche.
Soluzione
𝑃(𝑋 ≥ 6) = 𝑃(𝑋 = 6) + 𝑃(𝑋 = 7) = (7
6) 0.56× 0.5 + 0.57 = 0.0625
16) Sia X una variabile casuale continua con funzione di ripartizione 4 12 2
) 4 (
2 −
= x x
x F Determinare il quantile di ordine 0.25.
Soluzione 𝑥0.252 − 4
12 = 0.25
𝑥0.252 = 0.25 × 12 + 4 = 7 𝑥0.25 = √7
17) Siano X e Y due variabili casuali con la seguente funzione di probabilità congiunta
P(X=0,Y=0)=0.4, P(X=0,Y=1)=0.3, P(X=2,Y=0)=0.2, P(X=2,Y=1)=0.1 Calcolare E(XY).
Soluzione
X\Y 0 1
0 0.4 0.3 0.7
2 0.2 0.1 0.3
0.6 0.4 1.0
𝐸(𝑋𝑌) = 2 × 1 × 0.1 = 0.2
18) Sia X una variabile normale con media 12 e varianza 9 e sia Y una variabile indipendente da X, con distribuzione normale con media 9 e varianza 16. Calcolare P(X>12, Y<13).
Soluzione
[1 − Φ (12 − 12
3 )] Φ (13 − 9
4 ) = [1 − Φ(0)]Φ(1) = 0.5 × 0.8413 = 0.42065
19) Il direttore di un supermercato è interessato a conoscere la probabilità che un cliente del suo supermercato sia soddisfatto sulla base delle seguenti osservazioni relative ad un campione casuale di 8 clienti
Cliente 1 Soddisfatto Cliente 2 Soddisfatto Cliente 3 Insoddisfatto
Cliente 4 Soddisfatto Cliente 5 Insoddisfatto
Cliente 6 Insoddisfatto Cliente 7 Soddisfatto
Cliente 8 Soddisfatto
Determinare una stima della varianza dello stimatore di massima verosimiglianza della probabilità che il cliente sia soddisfatto.
Soluzione
La stima di massima verosimiglianza della probabilità che un cliente sia soddisfatto è la proporzione campionaria 𝑃̂ di clienti soddisfatti. La varianza di questo stimatore è
𝑉(𝑃̂) =𝜋(1 − 𝜋) 𝑛
e la stima di questa varianza è data da 𝑝̂(1 − 𝑝̂)
𝑛 =5/8 × (1 − 5/8)
8 ≈ 0.02930
20) Su due campioni casuali indipendenti x1,…,x10 e y1,…,y8 realizzazioni rispettivamente di una variabile casuale normale con valore atteso 1 e varianza 2 e di una variabile casuale normale con atteso 2
e varianza , si sono osservati i seguenti valori relativi alle medie e alle varianze non corrette .
7 ,
9 ,
4 ,
5 = 2 = 2 =
= y sx sy
x
Verificare l’ipotesi di uguaglianza delle medie al livello =0.05.
Soluzione 𝑠𝑥𝑐2 =10
9 × 9 = 10, 𝑠𝑦𝑐2 = 8
7× 7 = 8, 𝑠𝑝2 = 10 × 9 + 8 × 7
16 = 9.125
|| 𝑥̅ − 𝑦̅
𝑠𝑝√𝑛1+ 𝑛2 𝑛1𝑛2
|| = 5 − 4
√9.125 ×10 + 8 80
= 0.6979 < 𝑡16,0.975 = 2.120
Non si ha motivo di rifiutare H0
