1. (6 punti) Si calcoli l’integrale
Z 2 1
√x
√x+ 1dx .
1. (6 punti) Si calcoli l’integrale
Z 3 1
√x+ 1 x+ 1 dx .
1. (6 punti) Si calcoli l’integrale Z 4
3
√x+ 1 x − 1 dx .
1. (6 punti) Si calcoli l’integrale Z 2
0
√x+ 1
√x+ 2dx .
2. (6 punti)
Si determini la soluzione y(x) del problema di Cauchy
y′ = 2y2 y2+ 1x y(0) = 1 .
Inoltre, si determini il valore α > 0 per cui y(x)
xα tende a un numero finito e non nullo per x → +∞.
2. (6 punti)
Si determini la soluzione y(x) del problema di Cauchy
y′ = y2 y2+ 4x y(0) = 2 .
Inoltre, si determini il valore α > 0 per cui y(x)
xα tende a un numero finito e non nullo per x → +∞.
2. (6 punti)
Si determini la soluzione y(x) del problema di Cauchy
y′ = 6y2 y2+ 9x2 y(0) = 3 .
Inoltre, si determini il valore α > 0 per cui y(x)
xα tende a un numero finito e non nullo per x → +∞.
2. (6 punti)
Si determini la soluzione y(x) del problema di Cauchy
y′ = 3y2 y2+ 16x2 y(0) = 4 .
Inoltre, si determini il valore α > 0 per cui y(x)
xα tende a un numero finito e non nullo per x → +∞.
3. (6 punti)
Sia f : R → R la funzione definita da
f(x) = 2x + 1 x2 + 3 .
Se ne disegni qualitativamente il grafico [in particolare: limiti a +∞ e a −∞, segno, crescenza e decrescenza, convessit`a e concavit`a per x “vicino a +∞” e per x “vicino a −∞”, motivando le risposte; non `e invece richiesta la convessit`a e concavit`a in generale].
3. (6 punti)
Sia f : R → R la funzione definita da
f(x) = 3 − x 2x2+ 1 .
Se ne disegni qualitativamente il grafico [in particolare: limiti a +∞ e a −∞, segno, crescenza e decrescenza, convessit`a e concavit`a per x “vicino a +∞” e per x “vicino a −∞”, motivando le risposte; non `e invece richiesta la convessit`a e concavit`a in generale].
3. (6 punti)
Sia f : R → R la funzione definita da
f(x) = 2 − 3x x2 + 1 .
Se ne disegni qualitativamente il grafico [in particolare: limiti a +∞ e a −∞, segno, crescenza e decrescenza, convessit`a e concavit`a per x “vicino a +∞” e per x “vicino a −∞”, motivando le risposte; non `e invece richiesta la convessit`a e concavit`a in generale].
3. (6 punti)
Sia f : R → R la funzione definita da
f(x) = x+ 1 3x2+ 2 .
Se ne disegni qualitativamente il grafico [in particolare: limiti a +∞ e a −∞, segno, crescenza e decrescenza, convessit`a e concavit`a per x “vicino a +∞” e per x “vicino a −∞”, motivando le risposte; non `e invece richiesta la convessit`a e concavit`a in generale].
