Analisi Matematica 1 1 Settembre 2017 COMPITO 1 1. Sia A il luogo dei punti z 2 C tali che (|z

Analisi Matematica 1 1 Settembre 2017 COMPITO 1

1. Sia A il luogo dei punti z2 C tali che

(|z i|  3 Re⇣

iz+7¯z+1

|z|²+2

⌘ 0.

Allora l’area di A vale

Risp.: A : ⁹₂ B : 9⇡ C : ^9⇡₂ D : 9

2. Il limite

n!+1lim

[7(n + 2)! (n 1)!] log⇣

n+8 n+7

⌘

⇣pn² 7n + 2 ⁿ⌘ n!

vale

Risp.: A : 7 B : 7 C : ¹₇ D : ¹₇

3. Il limite

xlim!0⁺

4⇣

e^{cos x 1} e^x2⌘ log(1 + 4x) 4 sin x + x⁴ vale

Risp.: A : ³₄ B : +1 C : ⁴₃ D : 4

4. Siano ↵2 R e f : R ! R definita da

f (x) =

(x^{↵ 7}log x se x > 0 p x se x 0.

Allora f ammette in x = 0 un punto a tangente verticale se e solo se Risp.: A : ↵ < 8 B : ↵  8 C : 7 < ↵ < 8 D : 7 < ↵  8

5. Sia ↵2 R. Allora la serie

+1

X

n=2

n^↵log(eⁿ+ 1) n^↵+1 converge se e solo se

Risp.: A : ↵ < 0 B : per ogni ↵ C : ↵ > 0 D : per nessun ↵

6. L’integrale improprio Z +1

0

e^xarctan(e^x+ 1) (e^x+ 1)²+ 1 dx vale

Risp.: A : ¹₂h

⇡²

4 arctan²2i

B : ^⇡₈² C : +1 D : log^⇡₄² log(arctan²2)

7. La soluzione del problema di Cauchy

(y⁰ = (1 x) tan y y(0) = ^⇡₄

`e data da

Risp.: A : arccos e^{x x22 +log}

p2

2 B : arcsin e^{x x22} C : arcsin e^{x x22 +log}

p2

2 D : arccos e^{x x22}

8. Sia data la funzione

f (x) = x 2 +|x|

e^x1 Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f ) =R \ {0} V F (b) lim_{x! 1}f (x) = 0 V F

(c) y = 2x + 4 `e asintoto obliquo per x! +1 V F (d) f⁰(1) = 2e ¹ V F

(e) f `e crescente su ] 1, 0[ V F (f) f `e convessa su ]¹₃, +1[ V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.