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POSIZIONE, VELOCITÀ, ACCELERAZIONE

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Academic year: 2021

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(1)
(2)

La descrizione del moto tramite i concetti di posizione, velocità, accelerazione può essere estesa per trattare il moto in due e tre dimensioni.

Sarà indispensabile utilizzare il formalismo vettoriale per esprimere le grandezze e le equazioni cinematiche.

I concetti di velocità ed accelerazione vettoriali mostreranno delle nuove proprietà che non hanno corrispondente nella cinematica in una dimensione.

La trattazione del moto della particella in tre dimensioni sarà notevolmente agevolata dalla scomposizione delle grandezze vettoriali lungo gli assi cartesiani x,y,z

Si tratteranno in dettaglio il moto dei proiettili sottoposti solo alla gravità e quello di un particella in moto lungo una traiettoria circolare.

INTRODUZIONE

La spinta all’uomo proiettile è data da una molla o da aria compressa (il rumore ed il fumo sono effetti scenici). Come si fa a piazzare la rete nel punto giusto?

(3)

POSIZIONE, VELOCITÀ ED ACCELERAZIONE

Per descrivere il moto di una particella in due e tre dimensioni è necessario utilizzare il FORMALISMO VETTORIALE

posizione

velocità

accelerazione

Il vettore velocità risulta tangente alla traiettoria (e verso concorde con quello del moto nell’istante considerato)

Il vettore accelerazione risulta diretto verso la concavità della traiettoria

(4)

POSIZIONE, VELOCITÀ, ACCELERAZIONE

Vettore POSIZIONE

r = xˆi + yˆj + z ˆk t

v r

Δ

= Δ

!

Il vettore velocità media esprime la rapidità con cui varia la posizione del punto

nell’intervallo di tempo Δt

Vettore VELOCITÀ MEDIA

v =

r

2

−  r

1

t

2

− t

1

= Δ  r Δt

contiene informazioni sia scalari sia direzionali

dt r v d

! !

=

La velocità istantanea esprime la rapidità con cui varia la posizione del punto in

Vettore VELOCITÀ ISTANTANEA

v = lim

Δt→0

Δ  r

Δt = dr dt

La velocità istantanea risulta sempre tangente

alla traiettoria

derivata di un vettore Vettore SPOSTAMENTO

Δ 

r =r

2

− 

r

1

nel tempo

Δt = t

2

− t

1

( 

r

1

+ Δ  r =

r

2

)

(5)

POSIZIONE, VELOCITÀ ED ACCELERAZIONE

Espressione della velocità in componenti cartesiane v =d

r dt = d

dt

(

xˆi + yˆj + z ˆk

)

= dxdt ˆi + dydt ˆj + dzdt k = vˆ xˆi + vyˆj + vzkˆ

v

x

= dx

dt ; v

y

= dy

dt ; v

z

= dz dt

y

v

1

v

2

v

1

v

2

Δ 

v Δ 

v =

v

2

−  v

1

a = Δ v Δt Vettore accelerazione media

a =

v

2

−  v

1

t

2

− t

1

= Δ  v Δt

Il vettore accelerazione media esprime la rapidità con cui varia la

velocità del punto (modulo e direzione) nel tempo Δt

derivare un vettore derivare le componenti

(6)

VETTORE ACCELERAZIONE ISTANTANEA

a = lim

Δt→0

Δ v

Δt = dv

dt = d2r

dt2 = axˆi + ayˆj + azkˆ

L’accelerazione istantanea esprime la rapidità con cui varia la velocità v del punto

in un certo istante.

L’accelerazione istantanea risulta diretta verso la concavità della traiettoria e contiene informazioni sul cambiamento della velocità in modulo e direzione

(7)

ESEMPIO

Una particella si muove nel piano xy in modo che le sue coordinate varino nel tempo secondo le equazioni x(t)= t3- 32t e y(t)= 5t2 + 12.

Determinare r, v, a al tempo t=3 s.

r = xˆi + yˆj = t

( (

3 − 32t

)

ˆi + 5t

(

2 +12

)

ˆj

)

m

r 3s

( )

= −69ˆi + 57 ˆj

( )

m

vx = dx

dt = 3t

(

2 − 32

)

ms−1; vy = dydt = 10t

( )

ms−1

v 3s  ( ) = v

x

ˆi + v

y

ˆj = −5ˆi + 30 ˆj ( ) ms

−1

a

x

= dv

x

dt = 6t ( ) ms

−2

; a

y

= dv

y

dt = 10 ms

−2

a 3s

( )

= axˆi + ayˆj = 18ˆi +10 ˆj

( )

ms−2

a non è parallela a v, è diretta verso la concavità

(8)

MOTO CON ACCELERAZIONE COSTANTE

In un moto con accelerazione costante (uniformemente accelerato) l’accelerazione a rimane costante durante il moto

Le tre componenti dell’accelerazione ax,ay,az sono costanti e il moto complessivo è la composizione di tre moti uniformemente accelerati lungo i tre assi cartesiani

In generale la traiettoria sarà una linea curva.

Il moto dei gravi, trascurando la resistenza dell’aria, è un esempio di moto spaziale uniformemente accelerato (su un piano).

Velocità della particella

ax = dvx

dt = costante; → dvx = axdt → dvx = ax dt

t0 t vx 0

vx

= ax dt

t0 t

v

x

− v

x 0

= a

x

t → v

x

= v

x 0

+ a

x

t →v =

v

0

+  at

Espressione vettoriale il moto sta in un piano

Posizione della particella vx = dx

dt ; → dx = vxdt → dx = vxdt

t0 t

x0 x

=

(

vx 0+ axt

)

dt

t0 t

x − x

0

= v

x 0

t +

12

a

x

t

2

→ x = x

0

+ v

x 0

t +

12

a

x

t

2

→  r =

r

0

+ 

vt +

12

at

2

(9)

MOTO CON ACCELERAZIONE COSTANTE

Relazione fra spostamento e accelerazione

vx = vx 0 + at; x = x0 + vx 0t + 12 axt2 Si elimina il tempo

vx2 = vx 02 + 2ax

(

x − x0

)

→ vxvx = vx 0vx 0 + 2ax

(

x − x0

)

Sommando le tre equazioni scalari

v ⋅

v =v

0

⋅ 

v

0

+ 2  a ⋅

r −r

0

( )

espressione

scalare

v ⋅  

v = v

x

v

x

+ v

y

v

y

+ v

z

v

z

v

0

⋅ 

v

0

= v

x 0

v

x 0

+ v

y0

v

y0

+ v

0 z

v

z 0

a ⋅ (   r −

r

0

) = a

x

(x − x

0

) + a

y

(y − y

0

) + a

z

(z − z

0

)

(10)

r =  

r 0 + 

v 0 t + 1 2

at 2 v =  

v 0 +  at

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

r

0

= posizione all'istante t = 0 v

0

= velocità all'istante t = 0 a = costante

N.B. Una volta fissato il sistema di riferimento dare il segno giusto alle variabili

(11)

MOTO DI UN PROIETTILE

Un esempio di moto ad accelerazione costante è il moto di un proiettile quando si trascuri la resistenza dell’aria.

L’accelerazione di gravità g è costante, ha modulo g=9,80 ms-2 ed è diretta verso il basso.

La sua direzione definisce la verticale.

a

y

= −g; a

x

= 0

si assume che v0 sia nel piano xy vz 0 = 0; az = 0 → vz

( )

t ≡ 0

il moto è nel piano xy si assume che il moto inizi nel

punto origine degli assi

x

0

= y

0

= 0; v

x 0

, v

y0

condizioni iniziali

(12)

MOTO DI UN PROIETTILE: VELOCITÀ

Componenti della velocità

v =  

v

0

+  at

v

x

= v

x 0

+ a

x

t = v

0

cos ϕ

0

La componente orizzontale della velocità si mantiene costante ed è indipendente da g.

vy = vy0 + ayt = v0sin

ϕ

0 − gt

La componente verticale cambia per effetto della gravità. E’ la stessa della caduta libera.

I moti orizzontale e verticale del proiettile sono indipendenti

La velocità orizzontale con cui viene lanciato il proiettile non influisce sul moto di caduta

Vettore velocità

Modulo della velocità

Direzione della velocità

v = v

x2

+ v

y2

tan ϕ = v

y

/ v

x

Il vettore velocità è in ogni istante tangente alla traiettoria

(13)

MOTO DI UN PROIETTILE: SPOSTAMENTO

r =  

r

0

+ 

v

0

t +

12

gt

2

Si elimina il tempo fra le due equazioni

y = v

(

0sinϕ0

)

x

v0cosϕ0 1

2g x

v0cosϕ0

"

#$ %

&

'

2

y = tan

(

ϕ0

)

x − g

2 v

(

0cosϕ0

)

2 x

2

Equazione della traiettoria:

parabola

Perché l’altezza del rimbalzo decresce?

x = x

0

+ v

x 0

t +

12

a

x

t

2

= v (

0

cos ϕ

0

) t

y = y

0

+ v

y0

t +

12

a

y

t

2

= v (

0

sin ϕ

0

) t −

12

gt

2

(14)

MOTO DI UN PROIETTILE: GITTATA

y = 0 → x tanϕ

(

0

)

g

2 v

(

0cosϕ0

)

2 x

#

$

%%

&

' ((= 0

x = 0, R = x = 2v02

g sinϕ0cosϕ0 = v02

g sin 2ϕ0

•  La gittata è massima quando φ0=45°

•  Introducendo la resistenza dell’aria la traiettoria non è più parabolica e la gittata diminuisce

Confronto fra un proiettile lanciato orizzontalmente e un proiettile lasciato cadere

I moti verticale ed orizzontale sono indipendenti

(15)

TIRO AD UN BERSAGLIO IN CADUTA LIBERA

In assenza di gravità il proiettile colpirebbe il bersaglio fermo

I due proiettili subiscono lo stesso spostamento verticale dovuto alla gravità Δy=-(1/2)gt2 Posizione del proiettile

r

P

= 

r

0 P

+ 

v

0 P

t +

12

gt

2

= 

v

0 P

t +

12

gt

2

Posizione del bersaglio

r

T

= 

r

0T

+ 

v

0T

t +

12

gt

2

= 

r

0T

+

12

gt

2

Per avere collisione deve essere allo stesso tempo t

r

P

= 

r

T

r

T

= 

r

P

→ 

r

0T

= 

v

0 P

t t =

r

0T

v

è vera quando http://www.youtube.com/watch?v=aWDv-vuH0_4

Nell’istante in cui il bersaglio cade il proiettile lascia il sistema di lancio

Il proiettile colpisce sempre il bersaglio indipendentemente dalla velocità v0 di lancio

(16)

ESEMPIO

Un aereo lancia una capsula di salvataggio mentre vola orizzontalmente verso il punto dove è posto il bersaglio alla velocità di 155 km/h e ad un’altezza di 225 m.

Trovare l’angolo φ in corrispondenza del quale l’obbiettivo è raggiunto

pacco soccorsi

ϕ

0

= 0; y = −225m; y = y

0

− v (

0

sin ϕ

0

) t −

12

gt

2

= −

12

gt

2

t = − 2y

g = − 2 −225m ( )

9,80 ms

-2

= 6, 78s

tempo di caduta

x = v

x 0

t = 155km/h ( ) ( 1h/3600s ) ( 6, 68s ) =

= 0, 292 km = 292 m

α = arctan x

y = arctan 292 m

225m = 52°

(17)

GLI UOMINI PROIETTILE

The first human cannonball was Rosa Richter – aka Zazel – in 1877. She used a spring-powered cannon

 

The Guinness Book of World of Records tells us:

1877: Rosa Richter, known as Zazel, is the first recorded human cannonball with a shot of 6m (30ft) at the Royal Aquarium, London 1940: Emanuel Zacchini, one of a family of cannonballs, sets the world record at 53m 1995: David Smith Snr breaks that by flying 55m

2011: He is overtaken by his son David Smith Jr who flies 59m in Milan

(18)

IL VOLO DI EMANUELE ZACCHINI (1992)

a) Riuscirà a sorvolare le tre ruote panoramiche?

b) Di quanto sovrasterà la seconda ruota?

|v0| = 26, 5ms−1= 95, 4 kmh−1

x0 = 0 y0 = 0

vy = 0 → vy = v

(

0sinϕ0

)

− gt = 0 → tM = v0sinϕ0 g y = v

(

0sinϕ0

)

tM 12gtM2 =

(

v0sinϕ0

)

2

gg v

(

0sinϕ0

)

2

2g2 =

=

(

v0sinϕ0

)

2 =

(

26, 5ms−1

)

2

(

sin 53°

)

2 = 22, 9 m

y = tanϕ

(

0

)

x − g

2 v

(

0cosϕ0

)

2 x

2 = tan 53°

( ) (

23m

)

9,80 ms

(

−2

) (

23m

)

2

2 26, 5ms

(

−1

)

2

(

cos53°

)

2 = 20, 3m

Equazione della traiettoria

y = tanϕ

(

0

)

x − g

2 v

(

0cosϕ0

)

2 x

2 = tan 53°

( ) (

46 m

)

9,80 ms

(

−2

) (

46 m

)

2

2 26, 5ms

(

−1

)

2

(

cos53°

)

2 = 20, 3m

prima ruota

terza ruota

(19)

IL VOLO DI EMANUELE ZACCHINI (1992)

c) Quanto è il

tempo di volo?

T = 2t

M

= 2v

0

sin ϕ

0

g = 2 26, 5ms (

−1

) ( sin 53° )

9,80 ms

−2

( ) = 4, 3s

d) A quale distanza dal cannone deve essere posta la rete?

R = v

02

g sin 2 ϕ

0

= ( 26, 5ms

−1

)

2

9,80 ms

−2

( ) sin106° = 68,8m

I moti orizzontale e verticale sono indipendenti Salto con lo skateboard

v

02

= 0 + 2aL → a = v

02

2L = ( 26, 5ms

−1

)

2

2 2 m ( ) = 176 ms

−2

e) Accelerazione alla partenza

circa 18 g

(20)

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Nel moto circolare uniforme la traiettoria è una circonferenza e la velocità è costante in modulo mentre varia continuamente in direzione (esempio: noi sulla terra!)

E’ un tipo di moto estremamente frequente sia in natura che nelle applicazioni tecnologiche

Calcolo dell’accelerazione

v cambia in direzione ma non in modulo Variazione di velocità Δv=v2-v1 Δv è diretta verso il

centro della circonferenza

triangoli simili

Relazioni geometriche

1

2 Δv = vsin θ

2 ; r θ = v Δt

(21)

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Modulo dell’accelerazione media

a =Δv

Δt = 2vsin ( θ / 2 )

r θ / v = v

2

r

sin ( θ / 2 )

θ / 2

Modulo dell’accelerazione istantanea

Δt → 0 → θ → 0; θ ≈ sin θ

(q in radianti)

a = lim

Δt→0

Δv

Δt = lim

Δt→0

v

2

r

sin ( θ / 2 )

θ / 2 = v

2

r

Direzione dell’accelerazione istantanea

L’accelerazione istantanea a è sempre parallela a Δv, quindi è rivolta verso il centro della circonferenza. E’ una accelerazione centripeta.

Relazioni geometriche

1

2 Δv = vsin θ

2 ; r θ = v Δt

(22)

VETTORE ACCELERAZIONE NEL MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Velocità ed accelerazione costanti in modulo e variabili in direzione

accelerazione centripeta “diretta verso il centro”

•  Dimensioni fisiche della accelerazione

[ ] a = v

!" #$

2

[ ] r =

( L/T )

2

L = L

T

2

= m s

2

L’accelerazione esprime la rapidità di variazione della velocità

(23)

VETTORE ACCELERAZIONE NEL MOTO CIRCOLARE UNIFORME

L’accelerazione centripeta è determinata dalla variazione in direzione della velocità

esempi di relazione fra accelerazione e velocità

(24)

ESEMPIO

La luna gira intorno alla terra in 27,3 giorni. Si supponga che la sua orbita sia circolare di raggio r=3,82 108 m. Quanto vale il modulo dell’accelerazione della luna?

Periodo di una rivoluzione della luna

T = 27, 3giorni = 27,3× 86 400s

Velocità della luna

v = 2 π r

T = 2 π ( 3,82 ⋅10

8

m )

2, 36 ⋅10

6

s = 1018ms

-1

Accelerazione centripeta

a = v

2

r = ( 1018ms

−1

)

2

3,82 ⋅10

8

m = 0, 00271ms

−2

= 2, 76 ⋅10

−4

g

n

g

n

= 9,80665ms

−2 Accelerazione di gravità a livello del mare e a 45° di latitudine

(25)

NATURA VETTORIALE DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE

Nel moto circolare generico l’accelerazione ha due componenti:

Una centripeta dovuta alla variazione in direzione della velocità Una tangenziale dovuta alla variazione in modulo della velocità

Con il formalismo vettoriale si può ricavare in modo rigoroso e completo la relazione fra velocità ed accelerazione nel moto circolare

Moto circolare uniforme in coordinate polari cilindriche

versori polari

versori cartesiani

uφ, ur sono variabili

Sistema di coordinate polari cilindriche r e φ

r = x

2

+ y

2

; ϕ = arctan y / x ( )

x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ

In coordinate polari cilindriche r è costante e φ cresce linearmente

con il tempo

(26)

NATURA VETTORIALE DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE

Relazione fra versori cartesiani e versori

polari

ˆu

r

= ˆicos ϕ + ˆjsin ϕ

ˆu

ϕ

= ˆicos ( ϕ + ( π / 2 ) ) + ˆjsin ( ϕ + ( π / 2 ) ) = −ˆisin ϕ + ˆjcos ϕ

Velocità della particella

v = v ˆu

ϕ v = costante, positiva o negativa. |v| = modulo di v uφ non è costante

Accelerazione della particella

a = dv

dt = d v ˆu ( )

ϕ

dt = v d ˆu

ϕ

dt

v=costante

d ˆu

ϕ

dt = −ˆi d sin ( ϕ )

dt + ˆj d cos ( ϕ )

dt = −ˆicos ϕ d ϕ

dt − ˆjsin ϕ d ϕ dt =

= − ˆicos ( ϕ + ˆjsin ϕ ) d dt ϕ = − ˆu

r

d dt ϕ

derivata di un versore

vettore ortogonale ruotato di +90°

(27)

NATURA VETTORIALE DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE

a = − ˆurv d

ϕ

dt = − ˆurv2

π

T = − ˆurv 2

π

2

π

r / v = − ˆur v2

r

accelerazione centripeta velocità angolare

Moto circolare generico

v = v ˆu

ϕ Il modulo di v può variare Accelerazione della particella nel

moto circolare uniforme

a =dv

dt = d v ˆu ( )

ϕ

dt = v d ˆu

ϕ

dt + ˆu

ϕ

dv

dt = − ˆu

r

v

2

r + ˆu

ϕ

dv dt

accelerazione centripeta accelerazione tangenziale

(28)

NATURA VETTORIALE DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE

Scomposizione dell’accelerazione in un moto circolare generico

a = − ˆu !

r

a

R

+ ˆu

ϕ

a

T

= − ˆu

r

v

2

r + ˆu

ϕ

dv dt

Modulo dell’accelerazione

a = a

R2

+ a

T2

(29)

variazione del modulo di v

variazione della direzione di v v varia in modulo

e direzione

Se il modulo della velocità è costante aT=0.

Se il moto è rettilineo aR=0.

Anche l’accelerazione in un moto curvilineo qualsiasi può essere scomposta in componenti centripeta e tangenziale. In questo caso il raggio r è il raggio di curvatura della traiettoria nel punto considerato.

(30)

SISTEMI DI RIFERIMENTO IN MOTO RELATIVO TRASLATORIO

Il moto è un concetto relativo.

Una particella osservata da due sistemi di riferimento in moto relativo l’uno rispetto all’altro apparirà animata da moti diversi.

Entrambe le descrizioni sono equamente legittime.

In ambito cinematico la scelta del riferimento è determinata unicamente da criteri di comodità.

E’ importante stabilire una relazione fra le descrizioni della posizione, velocità e accelerazione della particella P vista dai due riferimenti

Particella in moto

osservatore “fisso” osservatore “mobile”

il riferimento O’

trasla e non ruota

Le locuzioni “fisso” e “mobile”

sono convenzionali

vS 'S

http://www.surendranath.org/Applets/Kinematics/RelMotion/RelMotionApplet.html http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=140

(31)

SISTEMI DI RIFERIMENTO IN MOTO RELATIVO TRASLATORIO

Relazione fra le posizioni

r

PS

= 

r

S S!

+  r

P !S

Relazione fra le velocità

dr

PS

dt = dr

S S!

dt + dr

P !S

dt → 

v

PS

= 

v

S S!

+  v

P !S

v di trascinamento

v relativa v assoluta

Se il moto relativo dei due riferimenti è rettilineo uniforme aS’S=0 (la v relativa dei sue osservatori è costante)

 

gli osservatori vedono diverse posizioni Relazione fra le accelerazioni

dv

PS

dt = dv

S S!

dt + dv

P !S

dta

PS

= a

S S!

+ a

P !S

a trascinamento

a relativa a assoluta

vS 'S Posizione di S’ rispetto ad S

(32)

ESEMPI

La bussola di un aereo indica che è diretto verso est; il suo misuratore di velocità rispetto all’aria indica 215 km/h. Un vento spira verso Nord alla velocità di 65 km/h.

a) Qual è la velocità dell’aereo rispetto alla terra?

b) Se il pilota desidera andare verso est quale direzione deve prendere?

•  La particella in moto è l’aereo

•  Sistema fisso: la terra (T)

•  Sistema mobile: l’aria (A)

v

PT

= 

v

PA

+ 

v

AT velocità del vento vPT = vPA2 + vAT2 =

=

(

215kmh−1

)

2 + 65kmh

(

−1

)

2 = 225kmh−1

α = arctanvAT

vPT = arctan 65kmh−1

215kmh−1 = 16,8°

Se il pilota vuole andare verso Est vPT deve essere diretta ad Est.

vPT = vPT2 − vAT2 =

(

215kmh−1

)

2 − 65kmh

(

−1

)

2 = 205kmh−1 β = arcsinvvAT

PT

= arcsin 65kmh−1

215kmh−1 = 17, 6°

(33)

vIT

vIT

vPT

vTP=-vPT

vIP

ESEMPI

Un pipistrello rileva la presenza di un insetto mentre i due stanno volando alle velocità vPT e vIT rispetto al terreno. Quale è la velocità dell’insetto rispetto al pipistrello vIP?

v

IT

= 5, 0 ms (

−1

) cos50° ˆi + 5, 0 ms (

−1

) sin 50° ˆj

v

PT

= 4, 0 ms (

−1

) cos150° ˆi + 4, 0 ms (

−1

) sin150° ˆj

v

IT

= 

v

PT

+ 

v

IP

→ 

v

IP

= 

v

IT

−  v

PT

v

IP

= 5, 0 ms (

−1

) cos50° ˆi + 5, 0 ms (

−1

) sin 50° ˆj −

− 4, 0 ms (

−1

) cos150° ˆi − 4, 0 ms (

−1

) sin150° ˆj ≈

≈ 6, 7ms (

−1

) ˆi + 1,8ms (

−1

) ˆj

v = ( 6, 7ms

−1

)

2

+ 1,8ms (

−1

)

2

= 6, 9 ms

−1

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