La descrizione del moto tramite i concetti di posizione, velocità, accelerazione può essere estesa per trattare il moto in due e tre dimensioni.
Sarà indispensabile utilizzare il formalismo vettoriale per esprimere le grandezze e le equazioni cinematiche.
I concetti di velocità ed accelerazione vettoriali mostreranno delle nuove proprietà che non hanno corrispondente nella cinematica in una dimensione.
La trattazione del moto della particella in tre dimensioni sarà notevolmente agevolata dalla scomposizione delle grandezze vettoriali lungo gli assi cartesiani x,y,z
Si tratteranno in dettaglio il moto dei proiettili sottoposti solo alla gravità e quello di un particella in moto lungo una traiettoria circolare.
INTRODUZIONE
La spinta all’uomo proiettile è data da una molla o da aria compressa (il rumore ed il fumo sono effetti scenici). Come si fa a piazzare la rete nel punto giusto?
POSIZIONE, VELOCITÀ ED ACCELERAZIONE
Per descrivere il moto di una particella in due e tre dimensioni è necessario utilizzare il FORMALISMO VETTORIALE
posizione
velocità
accelerazione
Il vettore velocità risulta tangente alla traiettoria (e verso concorde con quello del moto nell’istante considerato)
Il vettore accelerazione risulta diretto verso la concavità della traiettoria
POSIZIONE, VELOCITÀ, ACCELERAZIONE
Vettore POSIZIONE
r = xˆi + yˆj + z ˆk t
v r
Δ
= Δ
!
Il vettore velocità media esprime la rapidità con cui varia la posizione del punto
nell’intervallo di tempo Δt
Vettore VELOCITÀ MEDIA
v =
r
2− r
1t
2− t
1= Δ r Δt
contiene informazioni sia scalari sia direzionali
dt r v d
! !
=
La velocità istantanea esprime la rapidità con cui varia la posizione del punto in
Vettore VELOCITÀ ISTANTANEA
v = lim
Δt→0
Δ r
Δt = d r dt
La velocità istantanea risulta sempre tangente
alla traiettoria
derivata di un vettore Vettore SPOSTAMENTO
Δ
r = r
2−
r
1nel tempo
Δt = t
2− t
1(
r
1+ Δ r =
r
2)
POSIZIONE, VELOCITÀ ED ACCELERAZIONE
Espressione della velocità in componenti cartesiane v = d
r dt = d
dt
(
xˆi + yˆj + z ˆk)
= dxdt ˆi + dydt ˆj + dzdt k = vˆ xˆi + vyˆj + vzkˆv
x= dx
dt ; v
y= dy
dt ; v
z= dz dt
y
v
1v
2v
1v
2Δ
v Δ
v =
v
2− v
1a = Δ v Δt Vettore accelerazione media
a =
v
2− v
1t
2− t
1= Δ v Δt
Il vettore accelerazione media esprime la rapidità con cui varia la
velocità del punto (modulo e direzione) nel tempo Δt
derivare un vettore derivare le componenti
VETTORE ACCELERAZIONE ISTANTANEA
a = lim
Δt→0
Δ v
Δt = d v
dt = d2 r
dt2 = axˆi + ayˆj + azkˆ
L’accelerazione istantanea esprime la rapidità con cui varia la velocità v del punto
in un certo istante.
L’accelerazione istantanea risulta diretta verso la concavità della traiettoria e contiene informazioni sul cambiamento della velocità in modulo e direzione
ESEMPIO
Una particella si muove nel piano xy in modo che le sue coordinate varino nel tempo secondo le equazioni x(t)= t3- 32t e y(t)= 5t2 + 12.
Determinare r, v, a al tempo t=3 s.
r = xˆi + yˆj = t
( (
3 − 32t)
ˆi + 5t(
2 +12)
ˆj)
mr 3s
( )
= −69ˆi + 57 ˆj( )
mvx = dx
dt = 3t
(
2 − 32)
ms−1; vy = dydt = 10t( )
ms−1v 3s ( ) = v
xˆi + v
yˆj = −5ˆi + 30 ˆj ( ) ms
−1a
x= dv
xdt = 6t ( ) ms
−2; a
y= dv
ydt = 10 ms
−2a 3s
( )
= axˆi + ayˆj = 18ˆi +10 ˆj( )
ms−2a non è parallela a v, è diretta verso la concavità
MOTO CON ACCELERAZIONE COSTANTE
In un moto con accelerazione costante (uniformemente accelerato) l’accelerazione a rimane costante durante il moto
Le tre componenti dell’accelerazione ax,ay,az sono costanti e il moto complessivo è la composizione di tre moti uniformemente accelerati lungo i tre assi cartesiani
In generale la traiettoria sarà una linea curva.
Il moto dei gravi, trascurando la resistenza dell’aria, è un esempio di moto spaziale uniformemente accelerato (su un piano).
Velocità della particella
ax = dvx
dt = costante; → dvx = axdt → dvx = ax dt
t0 t vx 0
∫
vx
∫
= ax dtt0 t
∫
v
x− v
x 0= a
xt → v
x= v
x 0+ a
xt → v =
v
0+ at
Espressione vettoriale il moto sta in un piano
Posizione della particella vx = dx
dt ; → dx = vxdt → dx = vxdt
t0 t
∫
x0 x
∫
=(
vx 0+ axt)
dtt0 t
∫
x − x
0= v
x 0t +
12a
xt
2→ x = x
0+ v
x 0t +
12a
xt
2→ r =
r
0+
vt +
12
at
2MOTO CON ACCELERAZIONE COSTANTE
Relazione fra spostamento e accelerazione
vx = vx 0 + at; x = x0 + vx 0t + 12 axt2 Si elimina il tempo
vx2 = vx 02 + 2ax
(
x − x0)
→ vxvx = vx 0vx 0 + 2ax(
x − x0)
Sommando le tre equazioni scalari
v ⋅
v = v
0⋅
v
0+ 2 a ⋅
r − r
0( )
espressionescalare
v ⋅
v = v
xv
x+ v
yv
y+ v
zv
zv
0⋅
v
0= v
x 0v
x 0+ v
y0v
y0+ v
0 zv
z 0a ⋅ ( r −
r
0) = a
x(x − x
0) + a
y(y − y
0) + a
z(z − z
0)
r =
r 0 +
v 0 t + 1 2
at 2 v =
v 0 + at
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
r
0= posizione all'istante t = 0 v
0= velocità all'istante t = 0 a = costante
N.B. Una volta fissato il sistema di riferimento dare il segno giusto alle variabili
MOTO DI UN PROIETTILE
Un esempio di moto ad accelerazione costante è il moto di un proiettile quando si trascuri la resistenza dell’aria.
L’accelerazione di gravità g è costante, ha modulo g=9,80 ms-2 ed è diretta verso il basso.
La sua direzione definisce la verticale.
a
y= −g; a
x= 0
si assume che v0 sia nel piano xy vz 0 = 0; az = 0 → vz
( )
t ≡ 0il moto è nel piano xy si assume che il moto inizi nel
punto origine degli assi
x
0= y
0= 0; v
x 0, v
y0condizioni iniziali
MOTO DI UN PROIETTILE: VELOCITÀ
Componenti della velocità
v =
v
0+ at
v
x= v
x 0+ a
xt = v
0cos ϕ
0La componente orizzontale della velocità si mantiene costante ed è indipendente da g.
vy = vy0 + ayt = v0sin
ϕ
0 − gtLa componente verticale cambia per effetto della gravità. E’ la stessa della caduta libera.
I moti orizzontale e verticale del proiettile sono indipendenti
La velocità orizzontale con cui viene lanciato il proiettile non influisce sul moto di caduta
Vettore velocità
Modulo della velocità
Direzione della velocità
v = v
x2+ v
y2tan ϕ = v
y/ v
xIl vettore velocità è in ogni istante tangente alla traiettoria
MOTO DI UN PROIETTILE: SPOSTAMENTO
r =
r
0+
v
0t +
12
gt
2→
Si elimina il tempo fra le due equazioni
y = v
(
0sinϕ0)
xv0cosϕ0 − 1
2g x
v0cosϕ0
"
#$ %
&
'
2
y = tan
(
ϕ0)
x − g2 v
(
0cosϕ0)
2 x2
Equazione della traiettoria:
parabola
Perché l’altezza del rimbalzo decresce?
x = x
0+ v
x 0t +
12a
xt
2= v (
0cos ϕ
0) t
y = y
0+ v
y0t +
12a
yt
2= v (
0sin ϕ
0) t −
12gt
2MOTO DI UN PROIETTILE: GITTATA
y = 0 → x tanϕ
(
0)
− g2 v
(
0cosϕ0)
2 x#
$
%%
&
' ((= 0
x = 0, R = x = 2v02
g sinϕ0cosϕ0 = v02
g sin 2ϕ0
• La gittata è massima quando φ0=45°
• Introducendo la resistenza dell’aria la traiettoria non è più parabolica e la gittata diminuisce
Confronto fra un proiettile lanciato orizzontalmente e un proiettile lasciato cadere
I moti verticale ed orizzontale sono indipendenti
TIRO AD UN BERSAGLIO IN CADUTA LIBERA
In assenza di gravità il proiettile colpirebbe il bersaglio fermo
I due proiettili subiscono lo stesso spostamento verticale dovuto alla gravità Δy=-(1/2)gt2 Posizione del proiettile
r
P=
r
0 P+
v
0 Pt +
12
gt
2=
v
0 Pt +
12 gt
2Posizione del bersaglio
r
T=
r
0T+
v
0Tt +
12
gt
2=
r
0T+
12 gt
2Per avere collisione deve essere allo stesso tempo t
r
P=
r
Tr
T=
r
P→
r
0T=
v
0 Pt t =
r
0Tv
è vera quando http://www.youtube.com/watch?v=aWDv-vuH0_4
Nell’istante in cui il bersaglio cade il proiettile lascia il sistema di lancio
Il proiettile colpisce sempre il bersaglio indipendentemente dalla velocità v0 di lancio
ESEMPIO
Un aereo lancia una capsula di salvataggio mentre vola orizzontalmente verso il punto dove è posto il bersaglio alla velocità di 155 km/h e ad un’altezza di 225 m.
Trovare l’angolo φ in corrispondenza del quale l’obbiettivo è raggiunto
pacco soccorsi
ϕ
0= 0; y = −225m; y = y
0− v (
0sin ϕ
0) t −
12gt
2= −
12gt
2t = − 2y
g = − 2 −225m ( )
9,80 ms
-2= 6, 78s
tempo di caduta
x = v
x 0t = 155km/h ( ) ( 1h/3600s ) ( 6, 68s ) =
= 0, 292 km = 292 m
α = arctan x
y = arctan 292 m
225m = 52°
GLI UOMINI PROIETTILE
The first human cannonball was Rosa Richter – aka Zazel – in 1877. She used a spring-powered cannon
The Guinness Book of World of Records tells us:
1877: Rosa Richter, known as Zazel, is the first recorded human cannonball with a shot of 6m (30ft) at the Royal Aquarium, London 1940: Emanuel Zacchini, one of a family of cannonballs, sets the world record at 53m 1995: David Smith Snr breaks that by flying 55m
2011: He is overtaken by his son David Smith Jr who flies 59m in Milan
IL VOLO DI EMANUELE ZACCHINI (1992)
a) Riuscirà a sorvolare le tre ruote panoramiche?
b) Di quanto sovrasterà la seconda ruota?
|v0| = 26, 5ms−1= 95, 4 kmh−1
x0 = 0 y0 = 0
vy = 0 → vy = v
(
0sinϕ0)
− gt = 0 → tM = v0sinϕ0 g y = v(
0sinϕ0)
tM − 12gtM2 =(
v0sinϕ0)
2g − g v
(
0sinϕ0)
22g2 =
=
(
v0sinϕ0)
2 =(
26, 5ms−1)
2(
sin 53°)
2 = 22, 9 my = tanϕ
(
0)
x − g2 v
(
0cosϕ0)
2 x2 = tan 53°
( ) (
23m)
− 9,80 ms(
−2) (
23m)
22 26, 5ms
(
−1)
2(
cos53°)
2 = 20, 3mEquazione della traiettoria
y = tanϕ
(
0)
x − g2 v
(
0cosϕ0)
2 x2 = tan 53°
( ) (
46 m)
− 9,80 ms(
−2) (
46 m)
22 26, 5ms
(
−1)
2(
cos53°)
2 = 20, 3mprima ruota
terza ruota
IL VOLO DI EMANUELE ZACCHINI (1992)
c) Quanto è il
tempo di volo?
T = 2t
M= 2v
0sin ϕ
0g = 2 26, 5ms (
−1) ( sin 53° )
9,80 ms
−2( ) = 4, 3s
d) A quale distanza dal cannone deve essere posta la rete?
R = v
02g sin 2 ϕ
0= ( 26, 5ms
−1)
29,80 ms
−2( ) sin106° = 68,8m
I moti orizzontale e verticale sono indipendenti Salto con lo skateboard
v
02= 0 + 2aL → a = v
022L = ( 26, 5ms
−1)
22 2 m ( ) = 176 ms
−2
e) Accelerazione alla partenza
circa 18 g
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
Nel moto circolare uniforme la traiettoria è una circonferenza e la velocità è costante in modulo mentre varia continuamente in direzione (esempio: noi sulla terra!)
E’ un tipo di moto estremamente frequente sia in natura che nelle applicazioni tecnologiche
Calcolo dell’accelerazione
v cambia in direzione ma non in modulo Variazione di velocità Δv=v2-v1 Δv è diretta verso il
centro della circonferenza
triangoli simili
Relazioni geometriche
1
2 Δv = vsin θ
2 ; r θ = v Δt
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
Modulo dell’accelerazione media
a = Δv
Δt = 2vsin ( θ / 2 )
r θ / v = v
2r
sin ( θ / 2 )
θ / 2
Modulo dell’accelerazione istantanea
Δt → 0 → θ → 0; θ ≈ sin θ
(q in radianti)a = lim
Δt→0
Δv
Δt = lim
Δt→0
v
2r
sin ( θ / 2 )
θ / 2 = v
2r
Direzione dell’accelerazione istantanea
L’accelerazione istantanea a è sempre parallela a Δv, quindi è rivolta verso il centro della circonferenza. E’ una accelerazione centripeta.
Relazioni geometriche
1
2 Δv = vsin θ
2 ; r θ = v Δt
VETTORE ACCELERAZIONE NEL MOTO CIRCOLARE UNIFORME
Velocità ed accelerazione costanti in modulo e variabili in direzione
accelerazione centripeta “diretta verso il centro”
• Dimensioni fisiche della accelerazione
[ ] a = v
!" #$
2[ ] r =
( L/T )
2L = L
T
2= m s
2L’accelerazione esprime la rapidità di variazione della velocità
VETTORE ACCELERAZIONE NEL MOTO CIRCOLARE UNIFORME
L’accelerazione centripeta è determinata dalla variazione in direzione della velocità
esempi di relazione fra accelerazione e velocità
ESEMPIO
La luna gira intorno alla terra in 27,3 giorni. Si supponga che la sua orbita sia circolare di raggio r=3,82 108 m. Quanto vale il modulo dell’accelerazione della luna?
Periodo di una rivoluzione della luna
T = 27, 3giorni = 27,3× 86 400s
Velocità della luna
v = 2 π r
T = 2 π ( 3,82 ⋅10
8m )
2, 36 ⋅10
6s = 1018ms
-1Accelerazione centripeta
a = v
2r = ( 1018ms
−1)
23,82 ⋅10
8m = 0, 00271ms
−2= 2, 76 ⋅10
−4g
ng
n= 9,80665ms
−2 Accelerazione di gravità a livello del mare e a 45° di latitudineNATURA VETTORIALE DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE
Nel moto circolare generico l’accelerazione ha due componenti:
Una centripeta dovuta alla variazione in direzione della velocità Una tangenziale dovuta alla variazione in modulo della velocità
Con il formalismo vettoriale si può ricavare in modo rigoroso e completo la relazione fra velocità ed accelerazione nel moto circolare
Moto circolare uniforme in coordinate polari cilindriche
versori polari
versori cartesiani
uφ, ur sono variabili
Sistema di coordinate polari cilindriche r e φ
r = x
2+ y
2; ϕ = arctan y / x ( )
x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ
In coordinate polari cilindriche r è costante e φ cresce linearmente
con il tempo
NATURA VETTORIALE DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE
Relazione fra versori cartesiani e versori
polari
ˆu
r= ˆicos ϕ + ˆjsin ϕ
ˆu
ϕ= ˆicos ( ϕ + ( π / 2 ) ) + ˆjsin ( ϕ + ( π / 2 ) ) = −ˆisin ϕ + ˆjcos ϕ
Velocità della particella
v = v ˆu
ϕ v = costante, positiva o negativa. |v| = modulo di v uφ non è costanteAccelerazione della particella
a = d v
dt = d v ˆu ( )
ϕdt = v d ˆu
ϕdt
v=costante
d ˆu
ϕdt = −ˆi d sin ( ϕ )
dt + ˆj d cos ( ϕ )
dt = −ˆicos ϕ d ϕ
dt − ˆjsin ϕ d ϕ dt =
= − ˆicos ( ϕ + ˆjsin ϕ ) d dt ϕ = − ˆu
rd dt ϕ
derivata di un versore
vettore ortogonale ruotato di +90°
NATURA VETTORIALE DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE
a = − ˆu rv d
ϕ
dt = − ˆurv2
π
T = − ˆurv 2
π
2
π
r / v = − ˆur v2r
accelerazione centripeta velocità angolare
Moto circolare generico
v = v ˆu
ϕ Il modulo di v può variare Accelerazione della particella nelmoto circolare uniforme
a = d v
dt = d v ˆu ( )
ϕdt = v d ˆu
ϕdt + ˆu
ϕdv
dt = − ˆu
rv
2r + ˆu
ϕdv dt
accelerazione centripeta accelerazione tangenziale
NATURA VETTORIALE DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE
Scomposizione dell’accelerazione in un moto circolare generico
a = − ˆu !
ra
R+ ˆu
ϕa
T= − ˆu
rv
2r + ˆu
ϕdv dt
Modulo dell’accelerazione
a = a
R2+ a
T2variazione del modulo di v
variazione della direzione di v v varia in modulo
e direzione
Se il modulo della velocità è costante aT=0.
Se il moto è rettilineo aR=0.
Anche l’accelerazione in un moto curvilineo qualsiasi può essere scomposta in componenti centripeta e tangenziale. In questo caso il raggio r è il raggio di curvatura della traiettoria nel punto considerato.
SISTEMI DI RIFERIMENTO IN MOTO RELATIVO TRASLATORIO
Il moto è un concetto relativo.
Una particella osservata da due sistemi di riferimento in moto relativo l’uno rispetto all’altro apparirà animata da moti diversi.
Entrambe le descrizioni sono equamente legittime.
In ambito cinematico la scelta del riferimento è determinata unicamente da criteri di comodità.
E’ importante stabilire una relazione fra le descrizioni della posizione, velocità e accelerazione della particella P vista dai due riferimenti
Particella in moto
osservatore “fisso” osservatore “mobile”
il riferimento O’
trasla e non ruota
Le locuzioni “fisso” e “mobile”
sono convenzionali
vS 'S
http://www.surendranath.org/Applets/Kinematics/RelMotion/RelMotionApplet.html http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=140
SISTEMI DI RIFERIMENTO IN MOTO RELATIVO TRASLATORIO
Relazione fra le posizioni
r
PS=
r
S S!+ r
P !SRelazione fra le velocità
d r
PSdt = d r
S S!dt + d r
P !Sdt →
v
PS=
v
S S!+ v
P !Sv di trascinamento
v relativa v assoluta
Se il moto relativo dei due riferimenti è rettilineo uniforme aS’S=0 (la v relativa dei sue osservatori è costante)
gli osservatori vedono diverse posizioni Relazione fra le accelerazionid v
PSdt = d v
S S!dt + d v
P !Sdt → a
PS= a
S S!+ a
P !Sa trascinamento
a relativa a assoluta
vS 'S Posizione di S’ rispetto ad S
ESEMPI
La bussola di un aereo indica che è diretto verso est; il suo misuratore di velocità rispetto all’aria indica 215 km/h. Un vento spira verso Nord alla velocità di 65 km/h.
a) Qual è la velocità dell’aereo rispetto alla terra?
b) Se il pilota desidera andare verso est quale direzione deve prendere?
• La particella in moto è l’aereo
• Sistema fisso: la terra (T)
• Sistema mobile: l’aria (A)
v
PT=
v
PA+
v
AT velocità del vento vPT = vPA2 + vAT2 ==
(
215kmh−1)
2 + 65kmh(
−1)
2 = 225kmh−1α = arctanvAT
vPT = arctan 65kmh−1
215kmh−1 = 16,8°
Se il pilota vuole andare verso Est vPT deve essere diretta ad Est.
vPT = vPT2 − vAT2 =
(
215kmh−1)
2 − 65kmh(
−1)
2 = 205kmh−1 β = arcsinvvATPT
= arcsin 65kmh−1
215kmh−1 = 17, 6°
vIT
vIT
vPT
vTP=-vPT
vIP
ESEMPI
Un pipistrello rileva la presenza di un insetto mentre i due stanno volando alle velocità vPT e vIT rispetto al terreno. Quale è la velocità dell’insetto rispetto al pipistrello vIP?