Discutiamo una proprieta’ generale che serve per lo svolgimento del seguente esercizio nel foglio 7.

(1)

Geometria 3 a.a. 2019-20

Docente: Prof.ssa F. Tovena - Codocente: Prof. F. Flamini Foglio n. 7 Esercizi - PROPRIETA’ UTILE PER SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 7.5 RICHIESTA DA STUDENTI

Discutiamo una proprieta’ generale che serve per lo svolgimento del seguente esercizio nel foglio 7.

7.5) Considera un sottospazio connesso A di uno spazio topologico X. Dimostra che se Y ` e un sot- tospazio di X tale che A ⊆ Y ⊆ A, allora Y ` e connesso.

Consideriamo preliminarmente la seguente proprieta’:

Proprieta’ Sia V uno spazio topologico. Si consideri un sottospazio Z ⊆ V tale che Z = C ∪ D, dove C e D due aperti disgiunti di Z (i.e. Z sconnesso). Si denotino con C e con D, rispettivamente, le chiusure di C e di D in V . Allora

C ∩ D = D ∩ C = ∅.

Dimostrazione proprieta’. Poiche’ Z e’ sconnesso, C e D sono anche chiusi di Z. Ricordiamo che, per definizione di chiusura di C in V , C e’ il piu’ piccolo chiuso di V che contiene C. Pertanto, per definizione di topologia indotta su un sottospazio, abbiamo

C = C ∩ Z,

visto che C e’ gia’ chiuso in Z. Usando ora il fatto che D ⊂ Z, si ha

C ∩ D = C ∩ (Z ∩ D) = (C ∩ Z) ∩ D = C ∩ D = ∅.

In modo del tutto analogo si dimostra D ∩ C = ∅.

Svolgimento 7.5 Supponiamo che vi siano Y

₁

, Y

₂

⊆ Y , aperti (nella topologia indotta su Y ) tali che Y = Y

₁

∪ Y

₂

e Y

₁

∩ Y

₂

= ∅. Notiamo prima di tutto che per i = 1, 2, essendo Y

_i

⊆ A, deve valere Y

i

⊆ A ⊂ X e dunque Y

_i

∩ A = Y

_i

.

Chiaramente, A = (Y

₁

∩ A) ∪ (Y

₂

∩ A), con Y

_i

∩ A (i = 1, 2) aperto nella topologia indotta su A, e vale

(Y

1

∩ A) ∩ (Y

₂

∩ A) = (Y

₁

∩ Y

₂

) ∩ A = ∅.

Ma abbiamo assunto che A fosse connesso. Pertanto o A = A ∩ Y

1

oppure A = A ∩ Y

2

. Senza perdita di generalit` a, supponiamo che A = A ∩ Y

₁

, da cui segue che A ⊆ Y

₁

e quindi A ⊆ Y

₁

. Ma avevamo Y

₁

⊆ Y ⊆ A e pertanto Y

₁

= A.

Ricordando la proprieta’ sopra dimostrata, se prendiamo C = Y

1

, D = Y

2

, Z = Y , allora Y

1

∩ Y

₂

=

∅, da cui Y

₂

= Y

₂

∩ A = Y

₂

∩ Y

₁

Discutiamo una proprieta’ generale che serve per lo svolgimento del seguente esercizio nel foglio 7.

Geometria 3 a.a. 2019-20

Docente: Prof.ssa F. Tovena - Codocente: Prof. F. Flamini Foglio n. 7 Esercizi - PROPRIETA’ UTILE PER SVOLGIMENTO

ESERCIZIO 7.5 RICHIESTA DA STUDENTI

Discutiamo una proprieta’ generale che serve per lo svolgimento del seguente esercizio nel foglio 7.

7.5) Considera un sottospazio connesso A di uno spazio topologico X. Dimostra che se Y ` e un sot- tospazio di X tale che A ⊆ Y ⊆ A, allora Y ` e connesso.

Consideriamo preliminarmente la seguente proprieta’:

Proprieta’ Sia V uno spazio topologico. Si consideri un sottospazio Z ⊆ V tale che Z = C ∪ D, dove C e D due aperti disgiunti di Z (i.e. Z sconnesso). Si denotino con C e con D, rispettivamente, le chiusure di C e di D in V . Allora

C ∩ D = D ∩ C = ∅.

Dimostrazione proprieta’. Poiche’ Z e’ sconnesso, C e D sono anche chiusi di Z. Ricordiamo che, per definizione di chiusura di C in V , C e’ il piu’ piccolo chiuso di V che contiene C. Pertanto, per definizione di topologia indotta su un sottospazio, abbiamo

C = C ∩ Z,

visto che C e’ gia’ chiuso in Z. Usando ora il fatto che D ⊂ Z, si ha

C ∩ D = C ∩ (Z ∩ D) = (C ∩ Z) ∩ D = C ∩ D = ∅.

In modo del tutto analogo si dimostra D ∩ C = ∅.

Svolgimento 7.5 Supponiamo che vi siano Y

, Y

⊆ Y , aperti (nella topologia indotta su Y ) tali che Y = Y

∪ Y

e Y

∩ Y

= ∅. Notiamo prima di tutto che per i = 1, 2, essendo Y

⊆ A, deve valere Y

⊆ A ⊂ X e dunque Y

∩ A = Y

.

Chiaramente, A = (Y

∩ A) ∪ (Y

∩ A), con Y

∩ A (i = 1, 2) aperto nella topologia indotta su A, e vale

(Y

∩ A) ∩ (Y

∩ A) = (Y

∩ Y

) ∩ A = ∅.

Ma abbiamo assunto che A fosse connesso. Pertanto o A = A ∩ Y

oppure A = A ∩ Y

. Senza perdita di generalit` a, supponiamo che A = A ∩ Y

, da cui segue che A ⊆ Y

e quindi A ⊆ Y

. Ma avevamo Y

⊆ Y ⊆ A e pertanto Y

= A.

Ricordando la proprieta’ sopra dimostrata, se prendiamo C = Y

, D = Y

, Z = Y , allora Y

∩ Y

=

∅, da cui Y

= Y

∩ A = Y

∩ Y

= ∅. Ne deduciamo che Y ` e connesso.