Esercizio 7

Esercizio 7

Ai capi dell’impedenza di figura:

È applicata la tensione

𝑣(𝑡) = 70sin⁡(𝜔𝑡 + 35°)

Trovare la corrente che vi scorre, disegnare il diagramma vettoriale e calcolare le potenze attiva, reattiva e apparente sapendo che R=10Ω e X _L =30Ω. Calcolare, inoltre, il valore dell’induttanza se la tensione applicata ha una frequenza di 150Hz.

Svolgimento

Per determinare la corrente applichiamo la legge di Ohm:

𝐼̅ = 𝑉̅

𝑍̅

In regime sinusoidale le grandezze sono fasori. Dobbiamo, quindi, calcolare il modulo e la fase.

Iniziamo con il modulo:

|𝐼| = |𝑉|

|𝑍|

Sappiamo già che il modulo della tensione vale:

|𝑉| = 70𝑉

Troviamo il modulo dell’impedenza. Dato che il resistore e l’induttore sono in serie:

𝑍̅ = 𝑅 + 𝑗𝑋 _𝐿 = 10 + 𝑗30 Quindi il modulo dell’impedenza è dato da:

|𝑍| = √10 ² + 30 ² = √100 + 900 = √1000 = 31.62Ω Possiamo trovare il modulo della corrente:

|𝐼| = 70

31.62 𝐴 = 2.21𝐴 Determiniamo adesso la fase della corrente ¹ :

𝜑 _𝐼 = 𝜑 _𝑉 − 𝜑 _𝑍 Conosciamo già la fase della tensione:

𝜑 _𝑉 = 35°

Calcoliamo lo sfasamento tensione-corrente dell’impedenza:

𝜑 _𝑍 = 𝑡𝑎𝑛 ⁻¹ ( 30

10 ) = 𝑡𝑎𝑛 ⁻¹ (3) ≅ 72°

Fase della corrente:

𝜑 _𝐼 = 35° − 72° = −37°

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Ricordiamo che la “fase” di una frazione è uguale alla “fase” del numeratore meno la “fase” del denominatore.

La corrente che scorre nella serie vale:

𝑖(𝑡) = 2.21 sin(𝑤𝑡 − 37°) Diagramma vettoriale:

Determiniamo adesso le potenze. Iniziamo con la potenza apparente:

𝑆 = 𝑉 _𝑒𝑓𝑓 ∙ 𝐼 _𝑒𝑓𝑓 Dove:

𝑉 _𝑒𝑓𝑓 = |𝑉|

√2 = 70

√2 = 49.5𝑉 E:

𝐼 _𝑒𝑓𝑓 = |𝐼|

√2 = 2.21

√2 = 1.6𝐴 Quindi:

𝑆 = 49.5 ∙ 1.6 = 79.2𝑊 La potenza attiva è data da:

𝑃 = 𝑉 _𝑒𝑓𝑓 ∙ 𝐼 _𝑒𝑓𝑓 ∙ cos 𝜑 _𝑍 = 79.2 cos 72° = 24.4𝑉𝐴 La potenza attiva è data da:

𝑄 = 𝑉 _𝑒𝑓𝑓 ∙ 𝐼 _𝑒𝑓𝑓 ∙ sin 𝜑 _𝑍 = 79.2 sin 72° = 76.5𝑉𝐴 𝑅 Troviamo infine il valore dell’induttanza dalla relazione:

𝐿 = 𝑋 _𝐿 𝑤 Dove:

𝑤 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 ∙ 150 = 942𝑟𝑎𝑑/𝑠 Quindi:

𝐿 = 30

942 = 0.31𝐻 = 310𝑚𝐻

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Matilde Consales