[1;0], infine è nulla per

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Classe quinta

STUDIO COMPLETO

DI UNA FUNZIONE TRASCENDENTE LOGARITMICA

Esempio A: ^ylnx

1) Classificazione e C.E.:

Funzione trascendente logaritmica.

La presenza del logaritmo impone che sia x . Il C.E. è 0 ^]0;[.

2) Simmetrie :

La funzione non è simmetrica.

3) Studio del segno :

Si pone: lnx cioè 0 x1, quindi la funzione data è positiva in ^]1;[ , mentre è negativa in ^]0;1[, infine è nulla per x1.

4) Intersezione con gli assi cartesiani :

La funzione data interseca l’asse delle ascisse nel punto ^A(1;0) .

5) Asintoti :

La funzione è asintotica all’asse delle ordinate, infatti:





 lnx

lim_{x 0} , quindi x è l’equazione dell’asintoto verticale.0 Inoltre, lim_xlnx^{ } , quindi non esiste l’asintoto orizzontale.

Infine, 0

x lim 1 x

x

lim_x ln ^H _x  , quindi non esiste l’asintoto obliquo.

6) Crescenza o decrescenza :

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Calcolando la derivata prima si ha:

x y 1

.

Studiando il segno della derivata prima se ne deduce che essa risulta sempre positiva nel C.E., quindi la funzione data è sempre crescente in ^]0;[. La funzione non presenta estremanti.

7) Concavità e convessità :

Calcolando la derivata seconda si ha:

x2

y 1 .

Studiando il segno della derivata seconda della funzione si ottiene che essa risulta sempre negativa nel C.E., quindi la funzione data è sempre concava verso il basso in ^]0;[. Inoltre, poiché la derivata seconda non si annulla non ci sono punti d’inflessione.

8) Grafico :

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