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Classe quinta
STUDIO COMPLETO
DI UNA FUNZIONE TRASCENDENTE TRIGONOMETRICA
Esempio F: y arcsen(x1)
1) Classificazione e C.E.:
Funzione trascendente trigonometrica.
La presenza dell’arcoseno impone che sia 1x110x2.Ossia, il C.E. è [0,2]. 2) Simmetrie :
La funzione non è simmetrica.
3) Studio del segno :
Sapendo che la funzione arcoseno è positiva per 0x1, mentre è negativa per 1x0, infine è nulla per x , se ne deduce che la funzione 0 y arcsen(x1) è positiva per
2 x 1 1 1 x
0 , mentre è negativa per 1x100x1, infine è nulla per 1
x 0 1
x . Ossia:
4) Intersezione con gli assi cartesiani :
PROF. MAURO LA BARBERA “Studio di una funzione trascendente”
1 x
y
- 0 + 0 2
1
0x y 2 0x
)1(arcsen y 0x
)1x(arcsen y
y
ossia interseca l’asse delle ordinate nel punto
; 2 0
A .
0y 1x 0y
01x 0y
0)1x(arcsen 0y
)1x(arcseny
x
ossia interseca l’asse delle ascisse nel punto B
1;0
.5) Asintoti :
La funzione non ha asintoti, si osserva che:
) 2 0 (
f e ) 2 2 (
f .
6) Crescenza o decrescenza :
Calcolando la derivata prima si ha:
)2
1 x ( 1 y 1
, ossia 2x x .
y 1 2
Studiando il segno della derivata prima si ottiene:
2 x 0 0 x2 x 0 x x2 0 x x2 :)x (D
x 0 1:) x(
0 N x x2
1
2 2
2
2
PROF. MAURO LA BARBERA “Studio di una funzione trascendente” 2
Ossia:
Essendo la derivata prima sempre maggiore di zero in ]0,2[, se ne deduce che la funzione data è sempre crescente in ]0,2[. La funzione non presenta estremanti, ma assume il suo massimo
valore in
;2 2
C , e il suo minimo valore in
; 2 0
A .
7) Concavità e convessità :
Calcolando la derivata seconda si ha:
3 2) x x 2 (
1 y x
.
Studiando il segno della derivata seconda si ottiene:
2 x 0 0 x2 x 0 x x2 0 )x x2(
:)x (D
1 x 0 1 x:) x(
0 N )x x2(
1 x
2 2 3
2 3
2
La derivata seconda è positiva per 1x2 quindi la funzione data è concava verso l’alto in [
2
; 1
] , mentre per 0x1 la derivata seconda è negativa quindi la funzione data volge la concavità verso il basso in ]0;1[, infine per x1 la derivata seconda è nulla.
8) Flessi a tangente obliqua :
La funzione data presenta in B
1;0
un punto di flesso a tangente obliqua. Essendo 01 ) 1 (
f , il flesso è ascendente e la sua tangente ha equazione yx1. PROF. MAURO LA BARBERA “Studio di una funzione trascendente”
y
x+ N(x)
D(x)
2 0
y
x+ N(x)
D(x)
2 0 1
- 0
3
9) Grafico :
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