DERIVATA DI UNA FUNZIONE

1

DERIVATA DI UNA FUNZIONE

RAPPORTO INCREMENTALE

Consideriamo una funzione reale

y=f(x) ,

definita in un intervallo

[a, b]

di numeri reali che appartiene al

dominio D

della funzione (

[a, b]

è contenuto in D). Consideriamo un punto

P

qualunque della funzione,

P(x;y)

; poiché

y = f(x)

le coordinate del punto P possono essere scritte anche come

P[x; f(x)]

l’unica condizione da rispettare nella scelta del punto P è che

x

sia un numero che appartiene (interno) all’intervallo

]a, b[

cioè

a< x < b .

2 Consideriamo, ora, un valore

h

e il punto

Q

della funzione

f(x)

che ha come coordinate

x + h

e

f(x+h);

Q[x + h; f(x+h)];

l’unica condizione che il valore di h deve rispettare è che

x+h

appartenga all’intervallo

[a, b]

(

a< x+h < b )

; diciamo che abbiamo dato alla variabile x l’incremento h.

Graficamente si ha:

3

P

Q

a

x x + h

_b

O

x

y

Figura 1 RETTA SECANTE

f(x + h) f(x)

h

4 Si chiama

rapporto incrementale

della funzione

y=f(x)

relativo al punto di ascissa

x

e all’incremento

h

la quantità:

E precisamente si chiama rapporto incrementale destro se

h > 0

, mentre si dice rapporto incrementale sinistro se

h < 0

.

5 SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL RAPPORTO INCREMENTALE

Il coefficiente angolare di una retta è il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti qualunque della retta, cioè

e prendendo in considerazione i due punti P(x; f(x)) e Q(x+h; f(x+h)) , punti d’intersezione della curva con la retta secante s (vedi figura 1), risulta che:

.

6

Quindi:

il rapporto incrementale di una funzione nell’intorno di un suo punto è

il coefficiente angolare della retta secante passante per il punto dato e

per il punto di ascissa incrementata.

7 DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN SUO PUNTO

Si chiama derivata della funzione

nel suo punto di ascissa il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale della funzione al tendere a zero dell’incremento h della variabile,

La derivata della funzione

nel punto di ascissa si indica con una qualunque delle seguenti notazioni:

,

oppure

^.

8 La derivata (prima)

della funzione

è quindi definita dalla seguente relazione:

^.

Può darsi che, pur non esistendo il limite per h che tende a zero del rapporto incrementale, esista e sia finito tuttavia il limite a destra o il limite a sinistra, questi si chiameranno allora, rispettivamente, derivata destra e derivata sinistra della funzione yf(x) in x₀, e si rappresenteranno con i simboli

e

,

9 per definizione:

e

^.

10 SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA

Partendo dal significato geometrico del rapporto incrementale e osservando che al tendere di h a zero, il punto Q tende a P e la retta secante , passante per i punti P e Q , tende a disporsi tangente alla curva nel punto P, si può affermare che:

la derivata di una funzione in un suo punto è uguale al

coefficiente angolare della tangente alla curva in quel punto.

11 Graficamente si ha:

RETTA TANGENTE

12

TEOREMA DI ROLLE

Il teorema di Rolle afferma che se una funzione

f(x)

è continua in un intervallo chiuso

[a, b] ,

derivabile in ogni punto dell'intervallo aperto

]a, b[

e assume valori uguali negli estremi dell'intervallo,

f(a) = f(b),

allora esiste almeno un punto

x = c

interno ad

]a, b[

ⁱⁿ

cui la derivata si annulla, cioè

f’(c) = 0

(punto critico o stazionario).

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