Ogni esercizio va risolto in modo leggibile, possibilmente su una facciata A4, giustificando con la precisione necessaria la soluzione proposta.

prima prova parziale Geometria 1 parte B - 23 aprile 2021

Istruzioni: il compito va svolto in due ore (mezz’ora per esercizio), da soli, senza consultare materiali di qualsiasi natura, su carta o altro dispositivo in ogni caso scrivendo a mano (no editor o programmi di typesetting), e conse- gnato come file pdf di nome “cognome-matricola.pdf”.

Va associato anche copia di un documento di identit` a, senza dati sensibili tipo codici di carte di pagamento, con la seguente dichiarazione: “dichiaro di aver svolto il compito individualmente, senza alcun tipo di collaborazione”.

Ogni esercizio va risolto in modo leggibile, possibilmente su una facciata A4, giustificando con la precisione necessaria la soluzione proposta.

Riportare i seguenti dati sui fogli con lo svolgimento:

Cognome: Nome: Matricola:

Testo del compito:

Esercizio 1. Si consideri l’endomorfismo φ di K

di matrice

A =











0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1











in base canonica. Determinare la forma di Jordan di φ e delle sue potenze. Trovare tutte le basi di K

jordanizzanti per φ.

Esercizio 2. Un endomorfismo φ di uno spazio vettoriale V di dimensione finita su K ` e tale che φ

= 0, φ

6= 0 e dim

ker φ

= 4. Determinare le possibili forme di Jordan per φ (specificando anche le possibili dimensioni di V ) e per φ

.

Esercizio 3. Nello spazio affine A

(Q) dotato del riferimento canonico, consideriamo i sottospazi

L =





 1 0 0 1





 + h





 1 0 1 0





 ,





 0 1 0 1





 i , M =  X

+ X

= 1

X

+ X

= 1 , r = O + he

i.

Determinare le posizioni reciproche (due a due) di L, M ed r. Per ogni punto P della retta r determinare il piano π

per P tale che L ∨ π

e M ∨ π

hanno dimensione 3. Descrivere con una equazione cartesiana l’insieme formato dall’unione di tali piani.

Esercizio 4. Siano dati due piani π, σ sghembi in A

(K). Descrivere tutte le affinit` a

F tali che F (π) = σ e F (σ) = π, determinare sotto quali condizioni si tratta di simmetrie,

e in questo caso determinarne assi e direzioni.