Va associato anche copia di un documento di identit` a, con la seguente dichiarazione: “dichiaro di aver svolto il compito individualmente, senza alcun tipo di collaborazione”.

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prova di recupero Geometria 1 parte B - 15 febbraio 2021

Istruzioni: il compito va svolto in due ore, da soli, senza consultare mate- riali di qualsiasi natura, su carta o altro dispositivo in ogni caso scrivendo a mano e consegnato come file pdf di nome “cognome-matricola.pdf”.

Va associato anche copia di un documento di identit` a, con la seguente dichiarazione: “dichiaro di aver svolto il compito individualmente, senza alcun tipo di collaborazione”.

Ogni esercizio va risolto in modo leggibile, possibilmente su una facciata A4, giustificando con la precisione necessaria la soluzione proposta.

Riportare i seguenti dati sui fogli con lo svolgimento:

Cognome: Nome: Matricola:

Testo del compito:

Esercizio 1. Sia φ : Q

⁵

→ Q

⁵

l’endomorfismo di matrice A =







2 0 1 0 −1

2 4 0 −2 2

0 0 1 0 1

2 2 0 0 2

0 0 −1 0 3





 in base canonica.

(a) Si determinino polinomio caratteristico, polinomio minimo, autospazi di φ, una matrice di Jordan J e una matrice invertibile P tali che P

⁻¹

AP = J .

(b) Sia ora ψ un endomorfismo nilpotente di Q

¹²

, con rkψ = 8 e λ

ψ

(X) = X

⁶

. Si dica quante e quali sono le possibili forme di Jordan della matrice di Φ = 3id − ψ

²

e per ognuna di esse si indichi il polinomio minimo e la corrispondente filtrazione dei nuclei.

Esercizio 2. Nello spazio euclideo E

³

munito del sistema di riferimento canonico R = {O; e

1

, e

2

, e

3

} sono date le rette

r =



 1 0 1



 + h



 1

−1 1



i ed s =



 1 2 1



 + h



 0 1

−1



i

(a) Si determini la posizione reciproca delle due rette, si calcoli la distanza e l’angolo tra le due rette e si determini una coppia di punti di minima distanza.

(b) Si determinino le matrici di tutte le trasformazioni rigide f che scambiano tra loro le due rette (ovvero f

∗

(r) = s e f

∗

(s) = r). Ci sono isometrie inverse che scambiano le due rette?

Esercizio 3. Nello spazio affine A

⁴

(Q) munito del sistema di riferimento canonico R = {O; e

₁

, . . . , e

₄

} si considerino le sottovariet` a lineari

L =





 0 1

−1





 + h





 2

−1 0 0





 i ed M =





 0 0 1 0





 + h





 1 0 0 1





 ,





 2 0

−1 0





 i

(a) Si determinino dimensione e posizione reciproca di L e M e un sistema di equazioni cartesiane per ciascuna delle due sottovariet` a lineari.

(b) Per quali punti P esiste una retta r passante per P e che intersechi uno tra L ed M e sia parallela all’altro?

(c) Sia F

^q

il campo con q elementi e siano date due sottovariet` a lineari L ed M di A

⁴

(F

^q

)

nella stessa posizione reciproca delle sottovariet` a indicate nel punto (a). Come si

possono contare i punti con la propriet` a precedente (b)? Come si possono contare le

rette che sono in posizione generale sia con L che con M?