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Ogni esercizio va risolto in modo leggibile, possibilmente su una facciata A4, giustificando con la precisione necessaria la soluzione proposta.

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Academic year: 2021

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prima prova parziale Geometria 1 parte A - 26 novembre 2020

Istruzioni: il compito va svolto in due ore (mezz’ora per esercizio), da soli, senza consultare materiali di qualsiasi natura, su carta o altro dispositivo in ogni caso scrivendo a mano (no editor o programmi di typesetting), e conse- gnato come file pdf di nome “cognome-matricola.pdf”.

Va associato anche copia di un documento di identit` a, senza dati sensibili tipo codici di carte di pagamento, con la seguente dichiarazione: “dichiaro di aver svolto il compito individualmente, senza alcun tipo di collaborazione”.

Ogni esercizio va risolto in modo leggibile, possibilmente su una facciata A4, giustificando con la precisione necessaria la soluzione proposta.

Riportare i seguenti dati sui fogli con lo svolgimento:

Cognome: Nome: Matricola:

Testo del compito:

Esercizio 1. Scrivere in forma esponenziale e trigonometrica le radici cubiche del numero complesso i. Determinare le equazioni hermitiane delle tre rette che passano per tali punti. Determinare centro e raggio delle tre circonferenze ottenute invertendo le rette precedenti rispetto alla circonferenza unitaria. Rappresentare i dati precedenti in un disegno.

Esercizio 2. Si considerino i seguenti sottospazi di K

4

:

U = he

1

+ e

2

+ e

3

+ e

4

, e

2

+ e

3

+ e

4

i e V :

( X

1

+ X

2

− X

3

= 0 2X

2

− X

4

= 0

Trovare equazioni cartesiane per U e una base per V . Dimostrare che sono in somma diretta e calcolare la proiezione su U nella direzione V e la simmetria di asse V e direzione U , scrivendone le matrici in base canonica.

Esercizio 3. Si consideri l’applicazione lineare K

4

→ K

2

di matrice  1 1 1 −1

1 1 −1 1

 nelle basi canoniche. Determinare nucleo e immagine. Determinare tutte le possibili in- verse destre/sinistre/bilatere. Determinare tutte le funzioni lineari che composte a de- stra/sinistra danno la funzione nulla.

Esercizio 4. Si consideri un triangolo di vertici A, B, C ∈ C. Mostrare che esso `e

isoscele in A se e solo se esiste un numero complesso unitario α diverso da ±1 tale che

A =

1+α1

B +

1+α1

C. Che relazioni vi sono tra α e gli angoli del triangolo? Per quali valori

di α il triangolo ` e rettangolo?

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