Equilibrio dei corpi rigidi- Statica
Ci riferiamo solo a situazioni particolari in cui i corpi rigidi non si muovono in nessun modo: ne traslano ( a CM 0 ), ne ruotano ( 0 ), ossia sono fermi in un opportuno sistema di riferimento inerziale equilibrio statico
Dalla dinamica sappiamo che, per un corpo rigido di massa M e momento di inerzia I, 1) le traslazioni sono regolate da M a
CM F
estR2) le rotazioni sono regolate da I
estRquindi, affinché il corpo sia in equilibrio statico, deve risultare:
F 0
F
R estest
equilibrio delle forze
est0
estR
equilibrio dei momenti
Due osservazioni importanti:
1) le precedenti sono due equazioni vettoriali indipendenti, ossia non è possibile ricavare
estRda F
estR2) per calcolare
estRserve un punto origine O; ma si dimostra che se un insieme di forze ha F
estR 0
, allora
estRè indipendente dal punto rispetto al quale è calcolato e se risulta nullo per un punto O lo è anche per qualunque altro punto.
Trovare le condizioni di equilibrio di un corpo equivale quindi a trovare le condizioni che soddisfano contemporaneamente le equazioni vettoriali:
equilibrio delle forze equilibrio dei momenti
F
est,x=0
est,x=0
F
est,y=0
est,y=0
F
est,z=0
est,z=0
F
est 0
est 0 ovvero le seguenti a 6 equazioni scalari:
Il problema si semplifica molto se le forze agenti sono tutte in un piano (assunto piano xy). In tal caso i momenti hanno solo la componente z e quindi devono essere soddisfare solo le 3 seguenti equazioni:
1.1 F est,x =0 F est,y =0 est,z =0.
Giustifichiamo ora le precedenti osservazioni con un esempio: un insieme di forze costituito da due sole forze uguali in modulo, di verso opposto che agiscono lungo direzioni parallele distanti b; quindi F
1 F
2Ricordando che F
2 F
1e posto d r
1r
2
, si ha
0 F b F ) dsen ( sen dF F
) r r ( F r F
r
R 1 1 11 2
1 1 2 1
R
1
Risulta che questo insieme di forze ha:
1) F
R 0
e R 0 , e quindi
Rnon può essere calcolato da F R
, ovvero
Rè indipendente da F
Rcome detto nell’osservazione.
2)
R b F
1non dipendente da O, in accordo all’’osservazione.
O
F
1F
2r
2r
1d b
Con riferimento alla figura,
0 F F
F
R
1
2
2 2 1 1 2
R
1 r F r F
Poichè
estRnon può essere ricavato fa F
estR, un insieme di forze applicate ad un corpo sarà riducibile al più in:
C’è una eccezione (importante perché è il caso della forza peso) quando le forze che agiscono sono tutte parallele fra loro.
1.2 F
R m
ig m
i g M g con M m
i1.3
R
i r
i m
ig m
ir
i g m
ir
i g , dalla 1.2 segue che F R
// g , mentre dalla 1.3 su ha che
Rg
RF
R. Pertanto potrà esistere un punto, individuato da raggio vettore r x tale che:
1.4 r F
Rr
xM g
R