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Dalla dinamica sappiamo che, per un corpo rigido di massa M e momento di inerzia I, 1) le traslazioni sono regolate da M a 

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

Equilibrio dei corpi rigidi- Statica

Ci riferiamo solo a situazioni particolari in cui i corpi rigidi non si muovono in nessun modo: ne traslano ( aCM0 ), ne ruotano (  0 ), ossia sono fermi in un opportuno sistema di riferimento inerziale  equilibrio statico

Dalla dinamica sappiamo che, per un corpo rigido di massa M e momento di inerzia I, 1) le traslazioni sono regolate da M a

CM

F

estR

2) le rotazioni sono regolate da I    

estR

quindi, affinché il corpo sia in equilibrio statico, deve risultare:

F 0

F

R est

est

 equilibrio delle forze

est

0

estR

equilibrio dei momenti

Due osservazioni importanti:

1) le precedenti sono due equazioni vettoriali indipendenti, ossia non è possibile ricavare 

estR

da F

estR

2) per calcolare 

estR

serve un punto origine O; ma si dimostra che se un insieme di forze ha F

estR

0

, allora 

estR

è indipendente dal punto rispetto al quale è calcolato e se risulta nullo per un punto O lo è anche per qualunque altro punto.

Trovare le condizioni di equilibrio di un corpo equivale quindi a trovare le condizioni che soddisfano contemporaneamente le equazioni vettoriali:

equilibrio delle forze equilibrio dei momenti

F

est,x

=0 

est,x

=0

F

est,y

=0 

est,y

=0

F

est,z

=0 

est,z

=0

F

est

 0

est

 0 ovvero le seguenti a 6 equazioni scalari:

(2)

Il problema si semplifica molto se le forze agenti sono tutte in un piano (assunto piano xy). In tal caso i momenti hanno solo la componente z e quindi devono essere soddisfare solo le 3 seguenti equazioni:

1.1 F est,x =0 F est,y =0  est,z =0.

Giustifichiamo ora le precedenti osservazioni con un esempio: un insieme di forze costituito da due sole forze uguali in modulo, di verso opposto che agiscono lungo direzioni parallele distanti b; quindi F

1

  F

2

Ricordando che F

2

  F

1

e posto dr

1

r

2

 , si ha

0 F b F ) dsen ( sen dF F

) r r ( F r F

r

R 1 1 1

1 2

1 1 2 1

R

 

1

                  

   

Risulta che questo insieme di forze ha:

1) F

R

0

e  R0 , e quindi 

R

non può essere calcolato da FR

, ovvero 

R

è indipendente da F

R

come detto nell’osservazione.

2) 

R

bF

1

non dipendente da O, in accordo all’’osservazione.

O

F

1

F

2

r

2

r

1

db

Con riferimento alla figura,

0 F F

F

R

 

1

 

2

2 2 1 1 2

R

1

rFrF

        

(3)

Poichè 

estR

non può essere ricavato fa F

estR

, un insieme di forze applicate ad un corpo sarà riducibile al più in:

C’è una eccezione (importante perché è il caso della forza peso) quando le forze che agiscono sono tutte parallele fra loro.

1.2 F

R

  m

i

g     m

i

g   M g con M m

i

1.3  

R

 

i

r

i

m

i

g   m

i

r

i

g    m

i

r

i

g  , dalla 1.2 segue che FR

// g , mentre dalla 1.3 su ha che   

R

g     

R

F

R

. Pertanto potrà esistere un punto, individuato da raggio vettore r x tale che:

1.4 r F

R

r

x

M g

R

x

  

    

 .

Confrontando la 1.3 con la 1.4 segue:

r

x

M g    m

i

r

i

  g r

x

g    m

i

r

i

/ M   g x i i r cm M

r r    m   

y

x

z O

r b c.m.

 W

x y

z O

r i

m

i

i

W

1

una sola forza Fest R

applicata al CM responsabile delle traslazioni

+

un solo momento delle

forze  est R responsabile

delle rotazioni.

(4)

Esempi di corpo rigidi in equilibrio

1) Scala (di massa m) poggiata a un muro (privo di attrito) con un pompiere di massa M a metà di essa. (dimensioni e posizione del cdm della scala in figura)

N

1

e N

2

sono i vincoli normali esercitati rispettivamente dalla parete e dal piano; f

a

è la forza di attrito statico.

Usando le condizioni di equilibrio (eq. 1.1) e il punto O come punto di riferimento per il calcolo dei momenti otteniamo.

1.5 F x = 0, N 1 f a = 0

1.6 F y = 0, N 2 Mg mg = 0

1.7  z = 0, hN 0

3 mg a 2

Mg a   1

Nel calcolo dei momenti (per il quale si è usato il metodo di moltiplicare la forza per il braccio) si deve notare che il momento di N

1

è opposto ai momenti delle forze peso, assunti positivi.

La 1.5 mostra che la forza di attrito statico è, in questo caso, indispensabile per avere l’equilibrio

N

1

N

2

f

a

(5)

2) Massa m sostenuta da un’asse e da un cavo.

(dimensioni e posizione del cdm del asse in figura)

.

Usando le condizioni di equilibrio (eq. 1.1) e il punto O come punto di riferimento per il calcolo dei momenti otteniamo che per l’equilibrio deve aversi:

F x = 0, F h T c = 0

F y = 0, F v T fmg = 0 (T f = Mg)

 z = 0, bT f +(b/2)mg aT c = 0

Nel calcolo dei momenti (per il quale si è usato il metodo di moltiplicare la forza

per il braccio) si deve notare che il momento di T

c

è opposto al momento delle

forza peso e al momento di T

f

.

(6)

Casi particolari di corpo rigido in equilibrio

a) Corpo con un solo punto di sospensione P, privo di attrito

   r   W   0 τ   0 τ   0

U CM p min U CM p max

Non equilibrio equilibrio equilibrio stabile instabile b) Corpo con un solo punto di contatto P su un piano privo di attrito

0 W r  

  

  τ   0 τ   0

U CM p min U CM p max

Non equilibrio equilibrio equilibrio stabile instabile

r

CM P

CM r

P

W = forza peso N = vincolo forza risultante nulla

W = forza peso N = vincolo forza risultante nulla

(7)

C) Corpo con una base di appoggio su un piano privo di attrito

Dato un corpo di massa M poggiato su un piano orizzontale, si dimostra che i vincoli che si sviluppano per ogni punto di contatto all’interno della base di appoggio hanno una risultante N    Ni   M g  applicata:

a) nel punto P di intersezione della verticale passante per il CM ed il piano di appoggio, se P è all’interno del perimetro dei punti di contatto,

b) nel punto di contatto Q più vicino a P, se P è fuori del perimetro dei punti di appoggio.

caso a) caso b)

P0   Qr   W   0

equilibrio stabile non equilibrio

Q

CM

P

r

W = forza peso N = vincolo forza risultante nulla

P

r

CM

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