Un corpo di massa m=1mg e carica q=+10-6C, e` vincolato a muoversi sull’asse x. All’istante t=0 ha velocita’ v0=3m/s e si trova a distanza x0=1m dal centro di due piani isolanti uniformemente carichi di segno opposto (=10-6C/m2), perpendicolari all’asse x e posti a distanza L=20cm uno dall’altro.
Trovato il campo elettrico in tutto lo spazio (si puo` sfruttare la legge di Gauss), calcolare:
a) in quanto tempo il corpo raggiunge il piano positivo.
Quindi, il corpo passa il piano senza perdita di energia; trovare:
b) in quanto tempo raggiunge il piano negativo.
Quindi, il corpo passa anche il secondo piano senza perdita di energia.
Trovare:
c) qual è la velocità del corpo a destra del piano negativo.
x
+ - +q
x0
L v0
Soluzione dell’esercizio 1
Il campo elettricoè nullo a sinistra del piano positivo e a destra del piano negativo. Tra i due piani il campo vale
m
E 12 5V
6
0
10 13 . 10 1
85 . 8
10
ed è diretto perpendicolarmente ai piani, con verso da sinistra a destra.
Il corpo non risente di forza elettrica a sinistra del piano positivo e a destra del piano negativo. Tra i due piani risente di una forza costante, diretta verso destra.
a) Il tempo impiegato per raggiungere il piano positivo è semplicemente
v s L
t x 0.3
3 1 . 0 2 1
0
0
b) Il tempo per raggiungere il piano negativo si trova osservando che il moto è ora uniformemente accelerato, con accelerazione
2 5 6
5 6
/ 10 13 . 10 1
10 13 . 1
10 m s
m qE m
a F
Applicando la formula del moto accelerato:
2
0 2
1at t v L
E risolvendo per t:
s a
v a
L a
t v
3 5
6 10
5 5
2
5 0
2 0
10 85 . 1 10 65 . 2 10 54 . 3 10 05 . 7
10 13 . 1
3 10
13 . 1
2 . 0 2 10
13 . 1
3 2
c) Per trovare la velocità finale possiamo applicare il teorema dell’energia cinetica:
W K Kf i
Ove W e` il lavoro compiuto dalla forza elettrica
qEL mv
mv2f 02 2 1 2
1
Da cui
s m m
v qEL
vf 213 /
10
2 . 0 10 13 . 1 10 3 2
2
6 5 6
2 2
0
Quattro fili indefiniti, percorsi nello stesso verso dalla stessa corrente I=10A, sono posti sugli spigoli di un parallelepipedo a sezione
quadrata, di lato a=1cm.
Con riferimento ad una sezione, trovare intensità, direzione e verso del campo magnetico
a) nel punto C, centro della sezione;
b) nel punto D, centro del segmento tra i fili 3 e 4.
Trovata l’espressione approssimata del campo magnetico in funzione della distanza r tra il punto C e un punto della sezione a distanza molto maggiore di a, trovare
c) il campo magnetico per r=100 a.
1
3 3
4
1
2 3
4
C D
a
Soluzione dell’esercizio 2
Il campo risultante è la somma dei campi generati dai quattro fili.
a) Nel punto C tutti i 4 campi sono uguali in modulo, ma la loro somma è, vettorialmente, zero, in quanto ogni coppia di fili opposti dà un
contributo uguale e contrario (regola della mano destra).
b) Nel punto D il campo totale si riduce alla somma dei campi dovuti ai fili 1 e 2, poiché gli altri due fili danno contributi uguali e contrari.
2 2 0 1 1 0 2
1 ˆ
ˆ 2
2 v
r v I
r B I
B
B
Il vettore r1 congiunge il filo 1 al punto D, il versore v1 è
perpendicolare a questo vettore, con verso determinato dalla regola della mano destra. Similmente sono definiti r2 e v2.
a a a r r
r 2
5 2
2 2 2
1
5 cos 2
r
a
Il modulo del campo risultante vale:
1
2
D a
B1 B2
r1 r2
333 4
3
4T
2
7 3.20 10
10 5
10 10 8
2
La direzione e` data dal segmento che congiunge i fili 3 e 4, il verso e`
da 3 a 4.
In un punto molto distante da C, si puo` trascurare la distanza a tra i fili e immaginare che esista un unico filo che porta la somma (algebrica) delle quattro correnti. Il campo è approssimatamene dato da:
r B 4I
2
0
c) Per r=100 a, vale:
r T
B 0 I 7 2 8.00 10 6 10
100 10 10 4
4 2 2
Esercizio 3
Un solenoide indefinito di raggio R=10cm, ha n=10 spire/cm ed è percorso da una corrente I=10A. Trovare:
a) il campo magnetico all’interno del solenoide (si puo` fare uso della legge di Ampère);
b) la densità di energia magnetica dentro il solenoide;
c) l’energia magnetica contenuta in uno spicchio del solenoide di ampiezza angolare =15° e lunghezza L=1m;
d) quanto vale la densità di energia magnetica al di fuori del solenoide? Giustificare la risposta.
L
R
a) Il campo B all’interno del solenoide vale:
T nI
B0 4107 103101.26102
b) La densità di energia è:
3 1 2
6 7
2 2 0 2
0
/ 10 28 . 6 10 10 10 2 4
1
2 1 2
1
m J I
n B
um
c) Poiché la densità di energia è costante, l’energia magnetica
immagazzinata nello spicchio è semplicemente il prodotto tra la densità di energia e il volume:
J L
R u V u
Um m m
2 2
1
2
10 22 . 8 1 1 . 120 2 10 1 28 . 6
2 1
d) La densità di energia fuori dal solenoide è nulla, poiché qui il campo magnetico è nullo.
Esercizio 4
Sia dato il seguente circuito, formato da tre resistenze, una fem variabile E1 ed una fem fissa E2.
Siano I1, I2, I3 le correnti che scorrono rispettivamente in R1, R2, R3. Trovare l’espressione delle correnti mediante le leggi di Kirchhoff.
Dati i seguenti valori dei parametri R1=5, R2=10, R3=20, E2=2V, trovare:
a) il valore della corrente I1 quando E1=2.5V;
b) il valore di E1 per cui la corrente I2 è nulla;
c) il valore di E1 per cui la corrente I3 è nulla. Commentare il segno relativo tra E1 e E2;
d) la ddp tra A e B quando E1=4V.
E
R
1E
1E
2R
21
2
A B
R
3Applicando le leggi di Kirchhoff alle due maglie evidenziate nello schema. Poniamo il verso convenzionale delle correnti come segue: I1
e I2 da destra a sinistra, I3 da sinistra a destra. Troviamo il sistema:
2 1 3
3 2 2 3 1 2
2 2 1 1 2 1
I I I
R R I R I E
R I R I E E
Da cui, risolvendo per le correnti:
1 3 3 2 2 1
1 2 2 1 3
1 3 3 2 2 1
3 1 1 3 2 2
1 3 3 2 2 1
3 2 3 2 1 1
R R R R R R
R E R I E
R R R R R R
R E R R I E
R R R R R R
R E R R I E
a) Per i valori assegnati dei parametri, otteniamo:
mA
I 100
5 20 20 10 10 5
20 2 30 5 . 2
1
b) Dall’espressione di I2, troviamo il valore di E1 cercato:
R V R E R
E 2.50
20 20 25
3 3 1 2
1
c) E analogamente per I3:
R V E R
E 1.00
10 2 5
2 1 2
1
Il segno negativo significa che i poli di E1 vanno scambiati per avere nel ramo 3 una corrente contrapposta a quella generata da E2.
d) La ddp tra A e B si trova applicando la legge di Kirchhoff al ramo 3:
V
R R R R R R R
R E R R E
I V VA B
86 . 2 350 20
2 5 4 10
3 1 3 3 2 2 1
1 2 2 1 3
3
