L’unit` a ` e l’Amp` ere, che corrisponde al passaggio di una carica di 1 Coulomb in 1 s

Corrente elettrica

Sotto l’effetto di un campo elettrico le cariche si possono muovere In un filo elettrico, se una carica dQ attraversa una sezione del filo nel tempo dt abbiamo una corrente di intensit` a

I = dQ dt

L’unit` a ` e l’Amp` ere, che corrisponde al passaggio di una carica di 1 Coulomb in 1 s

Se si muovono cariche di densit` a ρ per unit` a di volume con velocit` a ~ v , definisco la densit` a di corrente come

~ J = ρ~ v

La carica che attraversa la sezione S nel tempo dt ` e quella che sta in un volume S v dt, quindi dQ = ρ S v dt, o , tenendo conto

dell’orientamento della sezione S

Campo magnetico generato da correnti

Filo indefinito

Il campo magnetico pu` o essere generato da una corrente elettrica (Oersted)

Un filo indefinito genera un campo magnetico, a distanza r , dato da B(r ) = µ

µ

2π I r

diretto tangenzialmente alle circonferenze poste su di un piano perpendicolare al filo, concentriche ad esso

Il verso ` e quello della regola della mano destra

µ

` e una costante universale nota come permeabilit` a magnetica del vuoto, e vale

µ

= 4π · 10

T m/A

µ

` e la permeabilit` a magnetica relativa e dipende dal materiale in cui

il campo magnetico ` e immerso

Campo magnetico generato da correnti

Solenoide

E utile avere un metodo per produrre campi magnetici costanti in una ` zona dello spazio e nulli fuori

Un avvolgimento di N spire circolari, di lunghezza totale L, se le spire sono abbastanza fitte, crea un campo con queste caratteristiche definendo n = N/L si ha

B = µ

µ

nI I ` e la corrente che passa in ciacuna delle spire

Il verso del campo magnetico ` e determinato dalla regola della mano

destra

Campo magnetico generato da correnti

Spira percorsa da corrente

Anche una singola spira circolare genera un campo magnetico, ma la sua forma ` e complicata (` e un dipolo)

E possibile dare una formula per il campo sull’asse della spira ` B(z) = µ

µ

2π

S · I (r

+ z

)

Per distanze dalla spira molto maggiori del suo raggio

B(z) = µ

µ

2π S · I

z

questa ` e la stessa formula che si ottiene per un dipolo elettrico Posso allora definire un momento di dipolo magnetico ~ µ come

~

µ = I S ˆ n

Qui ˆ n ` e la normale alla spira presa con la solita regola della mano

destra

Energia e momento torcente

dei dipoli magnetici

Analogamente a quanto fatto per il dipolo elettrico, anche qui posso associare un’energia alla posizione del dipolo

W = −~ µ · ~ B = −µ B cos θ

C’` e anche un momento torcente che tende a far ruotare il dipolo

~

τ = ~ µ × ~ B

Sia per il comportamento passivo (energia e rotazione) che per quello attivo (campo generato) una spira percorsa da corrente si comporta come un ago magnetico

A livello microscopico questo si capisce, poich´ e gli atomi sono piccole

spire percorse da corrente

Diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo

Il comportamento degli atomi in un campo magnetico ` e di vario tipo Se gli atomi non hanno momento magnetico (diamagnetici) si oppongono debolmente al campo magnetico (1 − µ

∼ 10

)

Se gli atomi hanno un momento magnetico (materiali paramagnetici) questo tende ad allinearsi al campo e ad incrementarlo

(µ

− 1 ∼ 10

− 10

)

Non appena si toglie il campo, i momenti magnetici si orientano casualmente, dando un campo nullo

Una terza categoria (materiali ferromagnetici) possiede un momento magnetico che mantiene l’orientazione, formando magneti

permanenti. Questi possono essere distrutti scaldando il materiale, o creati raffreddandolo lentamente in un campo magnetico

Nei materiali ferromagnetici tutti i dipoli vicini tendono a disporsi

parallelamente formando i domini di Weiss

Cariche magnetiche

e teorema di Gauss per il campo magnetico

Sperimentalmente, non si sono mai trovate cariche magnetiche Nessuna teoria ne proibisce l’esistenza, e l’elettromagnetismo potrebbe essere adattato per descriverle

La loro esistenza spiegherebbe la quantizzazione della carica elettrica Il fatto che non esistano sorgenti del campo magnetico, implica che tutte le linee di campo siano chiuse

Se una linea di campo entra in una superficie, ne deve anche uscire.

Per il teorema di Gauss allora

Φ(~ B) = 0

attraverso qualunque superficie chiusa

Moto di una carica in un campo magnetico unforme I

Se una carica si muove in un campo magnetico, senza campo elettrico, la forza di Lorentz diventa

F = m ~ d~ v

dt = q~ v × ~ B Prendendo ~ B diretto come l’asse z

m dv

dt = qv

B dv

dt = −qv

B Derivando una delle equazioni e sostituendo l’altra trovo

d

v

dt

= −  qB m



v

Questi dice che v

e v

compiono un moto periodico armonico ed ha la forma

v

(t) = v

sin(ωt), v

(t) = v

cos(ωt) con ω = qB

m

Moto di una carica in un campo magnetico unforme II

Posso calcolare l’evoluzione temporale delle coocrdinate x (t) = − v

ω cos(ωt) e y (t) = v

ω sin(ωt) Vedo che x (t)

+ y (t)

= v

/ω

, quindi la carica segue una traiettoria circolare di raggio

R = v

ω = m v

q B il periodo del moto ` e

T = 2π

ω = 2π m qB

Infine, se la particella ha una velocit` a lungo z, questa non ` e toccata dal campo magnetico, quindi ci sar` a un moto rettilineo uniforme lungo z

la composizione del moto circolare e di quello rettilineo da’, in

Circuitazione

Molti concetti dell’elettromagnetismo sono presi dalla fluidodinamica Il vortice, viene descritto dalla circuitazione

Descrivo una linea chiusa orientata C, e calcolo, in ogni punto il prodotto scalare tra campo ed elemento di linea (e.g. ~ B · d~s) Sommo (integro) su di una linea chiusa

La circuitazione si scrive I

C

~ B · d~s

Circuitazione del campo elettrico

La legge di Faraday afferma che la circuitazione del campo elettrico lungo una linea ` e opposta alla derivata temporale del flusso del campo magnetico attraverso la superficie delimitata da quella linea

I

δS

E · d~s = ~ d Φ

(~ B) dt

Questa legge, apparentemente complicata, ha infinite applicazioni pratiche. Facendo variare il flusso magnetico, si pu` o infatti produrre un campo elettrico che metta in moto una corrente elettrica. Questo

`

e il sistema che si usa per produrre corrente da quasi tutte le sorgenti

di energia

Circuitazione del campo magnetico

Considero un percorso C circolare centrato sul filo di lunghezza infinita in cui passa una corrente I

Il campo magnetico ` e sempre parallelo all’elemento di linea, per cui B · d~s = B ds, per cui ~

I

B · d~s = ~ µ

I 2π

I dr r = µ

I

Se non ci fosse corrente concatenata, la circuitazione sarebbe nulla Se il cicuito girasse N volte attorno al filo, la circuitazione sarebbe N volte pi` u grande

In generale, si dimostra che ` e sempre vero che

La circuitazione del campo magnetico lungo una linea chiusa

`

e uguale alla somma delle correnti concatenate al circuito

Corrente di Maxwell

Se il campo elettrico dipende dal tempo, questa legge non funziona pi` u e va ampliata

La legge corretta diventa I

C

B · d~s = µ ~

I + ε

d Φ

(~ E ) dt

!

S ` e una superficie che ha contorno C

esiste una forte correlazione tra campo elettrico e magnetico, tanto

che non si possono vedere come grandezze differenti ma come un

campo elettromagnetico

Onde elettromagnetiche

In assenza di cariche e correnti elettriche, due delle equazioni di Maxwell si possono scrivere come

I

C

E · d~s = − ~ d Φ

(~ B) dt

I

C

B · d~s = µ ~

ε

d Φ

(~ E ) dt

In assenza di carica elettrica, Un campo campo elettrico pu` o generare un campo magnetico, anch’esso variabile nel tempo

Questo campo magnetico pu` o poi generare un campo elettrico, e cos`ı via

Troviamo quindi che campi elettrici e magnetici variabili nel tempo possono esistere da soli, e che possono esistere le onde

elettromagnetiche

Fotone

Nella fisica quantistica, tutte le particelle hanno una doppia natura, di corpuscolo e di onda

Il comportamento corpuscolare delle onde elettromagnetiche ` e descritto dal fotone, o quanto di luce

Le onde non viaggiano con energia distribuita arbitrariamente, ma secondo ”quanti” di energia proporzionale alla frequenza

E = hν h = 6.626 · 10

J · s (costante di Planck)

questo aspetto si vede in alcuni fenomeni, come l’effetto fotoelettrico

e l’effetto Compton