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1

Geometria per Informatica a.a. 2007 - 2008 Foglio 4

Esercizi sulla geometria non lineare R

ISPOSTE

1. a) (x-2)

²

+y

²

=10 b)

⎩ ⎨

⎧

−

−

= +

= t y

t x

3 3 1

2. C : ₉

2 1 3 2

2 3

2 2

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ x − m y m

3. La circonferenza C per A, B, C è (x-3)

²

+(y+3)

²

=25 e D∈ C 4. a) Il centro di C è V= _⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − − 2 , 5 2

5 , un vettore direzionale di r è u

_r

=(1,-1) : (V-O)⋅u

_r

= 0

b)

2 25 2 5 2

5

²

⎟

²

=

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ − x y : il centro di C

1

è W t.c. ^{V + W} _{= O}

2 ; C e C

₁

hanno raggio uguale c)

2 1 2 1 2

1

²

⎟

²

=

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ − x y

5. Il centro della sfera sta sul piano z=0, quindi C è una circonferenza di raggio massimo = 10 e centro (1,2,0)

6. x-3y+2=0 7.

2 1 2

1 2

1

2

2 2

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ − x y z (*)

8. a) d(V,A) = d(V,B) = d(V,C) = 6 b) (x-1)

²

+y

²

+(z-1)

²

=6

9. a) C(1,2,-1) , R=3

b) (x-1)

²

+y

²

+(z+3)

²

=17 , (x-1)

²

+(y-4)

²

+(z-1)

²

=17 10. a) α: x-y-z-1=0

b) A(0,0,-1)∈ L, B(1,1,-1)∈L, il punto medio di AB è M ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ , −1 2 , 1 2

1 : M∈ retta passante per

A e B, ma M∉ L

c) Ad esempio M:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

−

=

= 1 3 0

2

t z

t t y

x ottenuta intersecando con il piano x=0 il cilindro che

contiene L e ha generatrici // N

α

=(1,-1,-1)

(*) Segnalazione di A&S

2

11. a) F :

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

= +

= +

= u z

u t y

u t x

2 2

3

2

, F :

2 3 4

2 y z

²

z

x ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

b) G :

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

+

−

=

=

− +

=

u z

tu y

u t x

1 2

) 1 (

1

²

, G : 1 ( 1 )

2 1 2

2

⎥ +

⎥ ⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= z

z x y

c) M:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

= +

= t z

t y

t t x

4 4

2

6

d) N:

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

⎨

⎧

+ +

−

=

= +

+ + −

=

1 2 1 1

1 2

2 1 2 1

²

1

z t t y t

t x t

12. x

²

+y

²

=z

13. è il cono : x

²

+(y-2)

²

+z

²

=(z-y+2)

²

14. a)

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

=

=

t z y

t x

0

2

b) (0,1,0)

c) tutti i punti di L

15. a) il parametro u compare al I° grado in tutte e tre le equazioni di F:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

= +

= +

= v u z

v u y

v u x

) 1 (

) 1 (

) 0 (

2

b) cilindro con generatrici parallele al vettore (0,1,1) c) F: z=y-x

²

-x

d) L sta nel piano z-x=0

16. a) il parametro u compare al I° grado in tutte e tre le equazioni di F:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

+

= +

= +

=

) 1 (

) 1 (

) (

2 2

v u z

v u y

v v u x

b) no c) no

17. L non è piana

3

18. a) α : x-y+z=0

b) N:

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

= + +

=

= +

2 2

2 3

2 3

2 3

t z t

t t y

t x t

, t∈R

c) N:

⎩ ⎨

⎧

=

=

− z x

y

x 0

2

d) α⊥β⇒ la retta α∩β coincide con N .