Matteo Moda Geometria e algebra lineare Tangenti
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Tangenti alle coniche/quadriche
Data una conica ܥ: ்ܺܣܺ (ܿ݊ ܣ ݈ܽ ݉ܽݐݎ݅ܿ݁ Ã), l’equazione della conica riducibile è ܶ: (ܺܣܺ)ଶ− (்ܺܣܺ)(்ܺܣܺ)ܿ݊ ܺ =
ቈݔ
ݕݑ ݐ ܿ݊ ܿݎ݀݅݊ܽݐ݁ ݉݃݁݊݁݁ ݁ ܲ ݐ ݀݅ ݂݅ݏݏܽݐ ܿ݊ ܿݎ݀݅݊ܽݐ݁ ݔ
ݕ
ݑ
൩
Casi possibili:
• ܲ݁ݏݐ݁ݎ݊ ݈݈ܽܽ ܿ݊݅ܿܽ (Tangenti reali)
ܲ
La retta che congiunge A e B si dice polare
•ܲ݅݊ݐ݁ݎ݊ ݈݈ܽܽ ܿ݊݅ܿܽ ->rette tangenti immaginari
• ܲ ܽܽݎݐ݅݁݊݁ ݈݈ܽᇱ݈݈݁݅ݏݏ݁ → ݎ݁ݐݐܽ ݐ݃ ≡ ݈ܽݎ݁
Con ܲ ∈ ܥ → ܶ: (ܺܣܺ)ଶ= 0 ܿ݊ ݈ܽ ݐܽ݊݃݁݊ݐ݁ ݅݊ ܲ: ܺܣܺ
Data f(x,y)=0 in coordinate non omogenee e ܲ(ݔ, ݕ), ݈݈ܿܽܿ ݈݁ ݀݁ݎ݅ݒܽݐ݁ ܽݎݖ݈݅ܽ݅:
݂௫(ݔ, ݕ) = ݂௫
݂௬(ݔ, ݕ) = ݂௬
ܶܽ݊݃݁݊ݐ݁ ݅݊ ܲ: ݂௫(ݔ − ݔ) + ݂௬(ݕ − ݕ) = 0 A
B
P0
P0
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2 Esempio
Data la conica: ݔଶ− 2ݔݕ + 3ݕଶ− 2ݔ + 2ݕ = 0 ݁ ܲ≡ (0,0), calcolare la/e retta/e tangente alla conica passante in P0
Con le coordinate non omogenee
݂௫(ݔ, ݕ) = 2ݔ − 2ݕ − 2 → ݂௫= −2
݂௬(ݔ, ݕ) = −2ݔ + 6ݕ + 2 → ݂௬= 2
→ ݎ݁ݐݐܽ ݐ݃: − 2ݔ + 2ݕ = 0
ܿ݊ le coordinate omogenee
ܣ = Ã = 1 −1 −1
−1 3 1
−1 1 0 ൩
ܺ= 0
01൩ ݁ ܺ = ቈݔ ݕݑ
்ܺܣܺ = ሾ0 0 1ሿ 1 −1 −1
−1 3 1
−1 1 0 ൩ ቈݔ
ݕݑ = ሾ−1 1 0ሿ ቈݔ
ݕݑ → −ݔ + ݕ = 0
È la stessa equazione che ho ottenuto con le coordinate non omogenee, solo che è divisa per due.
Quindi con le coordinate non omogenee l’equazione della retta è il doppio di quella ottenuta con le coordinate omogenee
Data una quadrica ܳ: ்ܺܣܺ = 0 ܿ݊ ܣ = Ã, ܺ = ቈݔ
ݕݑ , ܺ= ݔ
ݕ
ݑ
൩ , l’equazione della quadrica degenere (e quindi non riducibile- cono e cilindro->con punto all’infinito) sarà: ߮: (்ܺܣܺ)ଶ− (்ܺܣܺ)(ܺܣܺ) = 0
P0
infinite rette tangenti
Se ܲ∈ ܳ → ܶ: (ܺܣܺ)ଶ è un piano doppio (piano tangente in P0)
P0
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3 Esempio
Data la quadrica Q: 2ݔଶ− ݕଶ+ ݖଶ+ 3ݔݖ − ݕ = 0 ݁ ܲ≡ (0,0,0) ∈ ܳ trovare il piano tangente alla quadrica (݂௫(ݔ − ݔ) + ݂௬(ݕ − ݕ) + ݂௭(ݖ − ݖ) = 0)
Con le coordinate non omogenee-> derivate parziali
݂௫= 4ݔ + 3ݖ = 0
݂௬= −2ݕ − 1 = −1
݂௭= 2ݖ + 3ݔ = 0
݈ᇱ݁ݍݑܽݖ݈݅݊݁݀݁ ݅ܽ݊ ݐܽ݊݃݁݊ݐ݁ è: − ݕ = 0
Con coordinate omogenee
ܣ = Ã݉ܽݐݎ݅ܿ݁ ݈݈݀݁ܽ ݍݑܽ݀ݎ݅ܿܽ, ܺ= ൦ 00 01
൪ , ܺ = ݔݕ ݖݑ
→ ்ܺܣܺ = −ݕ 2
−ݕ
2 = 0 → ݏݐ݁ݏݏܽ ݁ݍݑܽݖ݅݊݁ ݀݅ݒ݅ݏܽ ݁ݎ ݀ݑ݁
Un luogo di punti impropri si può definire quando u=0 -> piano che intersica una quadrica all’infinito-> conica all’infinito
Un paraboloide all’ infinito si dice irriducibile
Se considero oltre al piano u=0, un piano z=0, i due piani si intersecano
