UNIVERSITÀ degli STUDI di FERRARA IL PROBLEMA DELLA MISURA, INTEGRALE DEFINITO, PRIMITIVE E METODI DI INTEGRAZIONE

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Scuola di Specializzazione per l Insegnamento Secondario

UN IVERSITÀ d egli STUDI d i FERRARA

SCUOLA DI SPECIALIZZAZION E PER L IN SEGN AMEN TO SECONDARIO

IL PROBLEMA DELLA MISURA, IN TEGRALE DEFIN ITO,

PRIMITIVE E METODI DI IN TEGRAZION E

ELABORATO DI MATEMATICA AN N O 2007/2008

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RIEZZO VITTORIO Prof. Fabiano Minni, L.C. Ariosto , Ferrara Prof. David e N eri, L.S. Sabin , Bologna

Prof. Lu igi Tom asi, L.S. Galilei , Ad ria

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DESTINATARI

Second o le vigenti d irettive d el Ministero d ella Pu bblica Istru zione qu esto argom ento p u ò essere introdotto nel corso del quinto anno dei licei scientifici di ordinamento.

PROGRAMMA DI MATEMATICA liceo scientifico di ordinamento:

Si leggano gli avvertim enti e su ggerim enti generali p rem essi al p rogram m a d i m atem atica d el ginnasio. Si tenga conto d el p articolare valore che d eve avere l'insegnam ento d ella matematica nel Liceo Scientifico.

V anno:

Calcolare il valore d ell integrale d i fu nzioni assegnate. Ricord and o le p rim itive d i alcu ne funzioni elementari e ricavare le primitive di funzioni più complesse.

Orario:

Liceo scientifico MATERIA

I II III IV V

Lingua e lettere italiane 4 4 4 3 4

Lingua e lettere latine 4 5 4 4 3

Lingua e letteratura straniera 3 4 3 3 4

Storia 3 2 2 2 3

Geografia 2 - - - -

Filosofia - - 2 3 3

Scienze naturali, chimica e geografia - 2 3 3 2

Fisica - - 2 3 3

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Matematica 5 4 3 3 3

Disegno 1 3 2 2 2

Religione 1 1 1 1 1

Educazione fisica 2 2 2 2 2

Totali 25 27 28 29 30

TEMI P.N .I. (Piano N azionale per l Informatica)

Nelle sottosezioni 7e, 7f del programma (che nella sezione 7 tratta di analisi infinitesimale), si invita ad affrontare

7e il problema della misura: lunghezza, area, volume ed integrale definito

7f fu nzione p rim itiva ed integrale ind efinito. Teorem a fond am entale d el calcolo integrale, integrazione per parti e per sostituzione.

Questi temi possono essere affrontati nel quinto anno di scuola.

Il p roblem a d ella m isu ra sarà affrontato con u n ap p roccio m olto generale, a p artire d alle conoscenze già acqu isite d allo stu d ente nel corso d ei su i stu d i p reced enti. ¹

Prerequisiti:

È necessario possedere i seguenti requisiti Calcolo algebrico

Equiscomponibilità tra poligoni

Trasformazioni geometriche, concetto di simmetria concetto di successione

funzioni continue grafico di una funzione Limiti

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Derivata di una funzione area e volume

Obiettivi generali:

Acqu isire le conoscenze, com p etenze e cap acità p reviste d all U.D.

Affinare le capacità logiche

procedimenti di astrazione e di formalizzazione dei concetti ragionare induttivamente e deduttivamente

Conoscere e com p rend ere la nozione d i integrale d efinito acqu isend o term inologia e simbologia specifica

Conoscere e comprendere il teorema fondamentale del calcolo integrale Acquisire abilità di calcolo nelle operazioni sugli integrali

Conoscere e sapere applicare tecniche per il calcolo degli integrali

Utilizzo alm eno p arziale d ei softw are p resentati (foglio d i calcolo, softw are d i matematica)

Obiettivi trasversali:

Svilu p p are attitu d ine alla com u nicazione e ai rap p orti interp ersonali favorend o lo scambio di opinioni tra docente e allievo e tra gli allievi.

Prosegu ire ed am p liare il p rocesso d i p rep arazione scientifica e cu ltu rale d egli studenti

Contribu ire a svilu p p are lo sp irito critico e l attitu d ine a riesam inare criticam ente ed a sistemare logicamente le conoscenze acquisite.

Contribuire a sviluppare capacità logiche ed argomentative Acquisire abilità di studio.

Comunicare in modo efficace

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Obiettivi specifici:

Conoscenze:

Conoscere come e perché si arriva alla necessità di studiare i limiti e gli integrali Conoscere u n m etod o generale p er d eterm inare l area d i u na su p erficie p iana qualunque. Area del trapezoide.

Conoscere il concetto di integrale definito Conoscere le p rop rietà d ell integrale d efinito Conoscere il teorema della media

Conoscere i principali integrali notevoli Conoscere il concetto di funzione primitiva Conoscere il concetto di funzione integrale

Conoscere il teorema fondamentale del calcolo integrale

Competenze:

Sap er calcolare l area d el trap ezoid e Sap er d efinire l integrale d efinito

Sap er enu nciare le p rop rietà d ell integrale d efinito Saper enunciare il teorema della media

Saper definire il concetto di funzione primitiva Saper definire il concetto di funzione integrale

Saper enunciare e dimostrare il teorema fondamentale del calcolo integrale .

Capacità:

Saper determinare la lunghezza di una curva di equazione y f x

Sap er calcolare l area d i u na su p erficie d i rotazione, il volu m e e il baricentro d i u na figura di rotazione

Saper applicare il concetto di integrale definito in altre discipline

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Sap er estend ere la d efinizione d i integrale d efinito al caso in cu i la fu nzione non sia continu a in qu alche p u nto d ell intervallo d integrazione (o in u n estrem o, o in u n punto interno)

Saper applicare il calcolo integrale per la risoluzione di problemi riguardanti la fisica Saper riconoscere quali sono le applicazioni di tali concetti alla fisica

Contenuti:

N ecessità storica d ell integrale

Determ inazione d ell area d i u n trap ezoid e L integrale d efinito e le su e p rop rietà

La funzione integrale e il teorema di Torricelli - Barrow La form u la p er il calcolo d ell integrale d efinito

Il calcolo delle aree

Il calcolo del volume di un solido di rotazione e il suo baricentro Il calcolo d ella lu nghezza d ell arco d i u na linea p iana

Il calcolo d ell area d i u na su p erficie d i rotazione

Strumenti utilizzati:

Libro di testo Dispense Lavagna

Software didattico ( Excel^©, Cabrì^©, Z.U.L/C.A.R )

Tempi d ell intervento d id attico Previste 18-20 ore.

Metodologia:

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Lo svolgim ento d ell attività d id attica avverrà attraverso lezioni d ialogate e interattive, con auspicabili osservazioni, d om and e flash p oste ai singoli alu nni. È fond am entale che ogni qu al volta si p resenti la necessita d i richiam are concetti che sono stati già sp iegati, vengano richiesti agli alu nni. N on d are m ai p er scontato ciò che si è sp iegato le volte p reced enti.

L ap p roccio grafico, che tra l altro in qu esto caso è u sato costantem ente, risu lta d i grand e aiu to. L u so d i softw are è au sp icabile p er la su a grand e cap acità d i interattività ed immediatezza.

Verifica e valutazione:

La fase d i verifica e valutazione è p arte integrante d el p rocesso ed u cativo e p erm ette d i m onitorare sia il raggiu ngim ento d egli obiettivi p refissati, sia l efficacia d ella strategia didattica attuata.

Le modalità principali di verifica sono:

osservazione d ialogica (d om and e e risp oste d al banco);

osservazione d el lavoro fatto in classe o a casa (esam e d ei qu ad erni, giro tra i banchi);

verifiche al calcolatore (d i conoscenza, p ad ronanza d ello stru m ento e d el softw are matematico utilizzato);

Verifiche scritte

Il test d i verifica form ativa che verrà svolto d u rante il p ercorso d id attico, consiste in d iversi qu esiti volti ad accertare d a p arte d ell alu nno le conoscenze d i base.

Attraverso la verifica som m ativa inoltre, si vu ole rilevare se gli stu d enti hanno acqu isito e memorizzato i concetti e li sappiano esprimere correttamente.

Gli esercizi p rop osti d u rante la verifica, infatti, rigu ard eranno il com p lesso d egli argom enti trattati e saranno volti a constatare l efficacia d ell intervento d id attico e d el p ercorso proposto.

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Affinché l attività d id attica risu lti efficace e com p leta, si p reved e d i svolgere eventu ali attività di recupero o esercizi riepilogativi.

Per ind ivid u are gli argom enti che necessitano d i recu p ero, sia a livello collettivo che a livello ind ivid u ale, ci si avvarrà d ella verifica form ativa, d elle p rove orali e d elle attività d i collaborazione insegnante-allievo.

Attività di recupero:

Recu p ero d a effettu are in classe d u rante le ore cu rricolari, attraverso la rip resa d ei concetti non ben compresi e lo svolgimento di esercizi riguardanti tali argomenti Assegnazione a singolo studente di esercizi mirati.

CONTENUTI

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Nota storica:

Una introd u zione storica è sp esso il m iglior m od o d i com inciare a sp iegare qu alcosa d i cu i gli alu nni non hanno alcu na id ea, qu esto p erché si fa com p rend ere com e le conqu iste intellettu ali e scientifiche spesso vengano necessariam ente ricercate e solo d op o com p rese.

Sap p iam o che già in tem p i antichissim i si è cercato u n m etod o p er calcolare con p recisione sem p re m aggiore la lu nghezza d elle cose, le d istanze d ei lu oghi e le estensioni d egli oggetti (aree d i oggetti, cam p i agricoli, p ianu re). I p rim i stu d i ru d im entali risalgono a tem p i assai rem oti, egizi e greci si p osero il p roblem a d i m isu rare l estensione d ei cam p i o d elle costruzioni che non avessero forme regolari come quadrati, triangoli, trapezi, etc.

Tra i m atem atici fam osi che si sono occu p ati d el p roblem a d el calcolo d elle aree vi è Eudosso da Cnido (408?-355? a.C.), allievo di Platone.

Anche il fam oso p roblem a d ella qu ad ratu ra d el cerchio² in qu alche m aniera si p u ò ricond u rre al p roblem a d i voler calcolare l estensione d el cerchio, qu ind i la su a area o su p erficie conoscend o u no d ei su oi p aram etri caratterizzanti ossia il raggio o il d iam etro.

Infatti il calcolo integrale p u ò sp esso essere accostato al calcolo d elle aree d i figu re anche com p lesse, anche se in m od o rigoroso ved rem o che si d evono fare op p ortu ne considerazioni.

Se ap p lichiam o lo stesso ragionam ento fatto p er la d eterm inazione d ell area d i u na figu ra piana, a delle funzioni ci accorgeremo che il procedimento è analogo.

Dallo stu d io d i fu nzione siam o in grad o d i calcolare l and am ento qu alitativo d i u na cu rva, i lim iti e i p u nti notevoli d ella stessa, sap p iam o inoltre calcolare la d erivata in qu esti p u nti e grazie alla d erivata p rim a e second a, d i d eterm inare in qu ali intervalli la fu nzione è

2 l problema risale all'invenzione della geometria, e ha tenuto occupati i matematici per secoli. Fu solo nel 1882 che l'impossibilità venne provata rigorosamente, anche se i geometri dell'antichità avevano afferrato molto bene, sia intuitivamente che in pratica, la sua intrattabilità. Si deve notare che è solo la limitazione ad usare una riga (non graduata) e un compasso che rende il problema difficile. Se si possono usare altri semplici strumenti, come ad esempio qualcosa che può disegnare una spirale archimedea, allora non è così difficile disegnare un quadrato ed un cerchio di area uguale. Una soluzione richiede la costruzione del numero , e l'impossibilità di ciò deriva dal fatto che è un numero trascendente, ovvero non-algebrico, e quindi non-costruibile. La trascendenza di venne dimostrata da Ferdinand von Lindemann nel 1882. Risolvere il problema della quadratura del cerchio, significa aver trovato anche un valore algebrico di

- il che è impossibile. Ciò non implica che sia impossibile costruire un quadrato con un'area molto vicina a quella del cerchio dato.

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crescente o d ecrescente e qu and o la concavità è rivolta verso l alto o verso il basso. Ad esso consid eriam o il p roblem a d i d over d eterm inare l area delimitata d a u na cu rva, d all asse d elle ascisse e lateralm ente d a u n intervallo chiu so. In figu ra ved iam o u na cu rva (ovvero una funzione limitata) che è delimitata da due valori in x=a e x=b e d all asse d elle ascisse.

(Figura 1) Ci chied iam o qu anto valga l area racchiu sa dalla curva.

Il p roblem a com e, risu lta chiaro è sim ile a qu ello p rop osto nell ap p end ice m a in qu esto caso ci troviam o a calcolare u n area che è d elim itata d a u na fu nzione d i cu i conosciam o l and am ento, sia qu alitativo che qu antitativo. Storicam ente sap p iam o che qu esto p roblem a è stato risolto d a Cau chy che p rop ose u na risolu zione con l au silio d i rettangoli d i sp essore infinitesim o. Ossia si d ivid e l area sottesa alla cu rva in tanti rettangoli d i sp essore uguale sem p re p iù p iccolo e con u na altezza tale d a essere tangente alla cu rva (o in eccesso o in difetto). Vediamo graficamente cosa significa.

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(Figura 2)

Rettangoli t angent i per difetto: significa che i rettangoli che scegliam o d i sp essore piccolo a piacere sono sempre tutti al disotto della curva.

Rettangoli t angent i per eccesso: significa che i rettangoli che scegliam o d i sp essore piccolo a piacere contengono la curva.

Usand o le form u le già viste nell ap p end ice 1, p ossiam o calcolare l area d ei rettangoli nei due casi, dove questa volta m¹ e m² sono le altezze relative dei rettangoli.

2 1 2

1

2 2 2 b2a m m

a m m b

a s b

2 1 2

1

2 2 2 b2a M M

a M M b

a S b

E facile convincersi che l area d el trap ezoid e è certam ente com p resa tra l are s² e S².

L id ea che sta alla base d el calcolo integrale, ossia d el calcolo d elle aree d ei trap ezoid i è p rop rio qu esta, calcolare la som m a d elle aree d ei rettangoli facend o tend ere la m isu ra d el loro spessore a zero. ³

3Si d e finisc e tra p e zo id e la fig ura d e lim ita ta d a lla c urva d i funzio ne f(x) l a sse d elle a sc isse e i va lo ri

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N elle figu re si sono d im inu iti gli sp essori d ei rettangoli in m od o tale d a calcolarne la som m a d elle aree con u n errore m inore. Qu esto è stato fatto sia per eccesso che per difetto.

Con riferim ento alle equ azioni p reced enti, abbiam o au m entato il numero n di rettangoli.

(Figura 3,4)

Nota: Usiam o u na Macro tratta d al softw are Z.u.L 7.2⁴ p er osservare cosa significa d im inu ire lo sp essore d ei rettangoli o in m od o d el tu tto equ ivalente au m entare il nu m ero d ei rettangoli nell intervallo consid erato.

La form u la che abbiam o u tilizzato altro non è che u na su ccessione. Le su ccessioni sono una m inorante e u na m aggiorante. Infatti u na certam ente ha u n valore che è m inore d ella som m a d el trap ezoid e (minorante) e l altra ha u n valore m aggiore (maggiorante). La cosa che ci asp ettiam o e che le d u e som m e convergano ad u n valore u nico col tend ere d i n d ove n è al d enom inatore ed ind ica in nu m ero d i rettangoli nell intervallo .

A questo punto possiamo introdurre un teorema che formalizza quanto appena detto.

Teorema:

Le successioni minorante {sⁱ} e maggiorante {Sⁱ} sono convergenti e convergono entrambe allo stesso limite:

n n n

lim s

n

lim S

Ovviam ente, com e abbiam o d etto, il valore a cu i tend ono le d u e su ccessioni è u gu ale all area d el trap ezoid e.

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Ad esso p ossiam o introd u rre u na nu ova sim bologia. Il lim ite d ella som m a d ei rettangoli d i spessore infinitesimo viene comunemente indicata con la seguente notazione⁵.

b

a

dx x f

La a e la b che si trovano all estrem ità d el sim bolo d i integrale sono d etti estrem i d i integrazione e stanno a significare l integrale viene calcolato nell intervallo d elim itato d ai due valori. f(x) è d etto argom ento d ell integrale e il dx è detta variabile di integrazione.

Qu i ved iam o che corrisp ond enza c è tra le form u le viste p rim a e qu ella che abbiam o appena introdotto.

n a M b n

a m b S

s S

i n i i

n i n n

n n lim lim lim

lim

b

a

dx x f ( )

Regole di integrazione:

N el XVIII secolo lo stu d io d ei m etod i d i integrazione arrivò a d elle raffinatezze e p recisione che p rim a d i allora erano lasciate all em p irism o m atem atico. Si com p rese ben p resto u na cosa assai im p ortante, cioè che l integrazione e la d erivazione erano d ei processi l u no inverso d ell altro. Si cap ì che qu and o si integra u na fu nzione si ottiene la così d etta primitiva e se si deriva la primitiva⁶si ottiene l integrale.

In analisi p ossiam o d istingu ere gli integrali in d u e tip ologie: integrali ind efiniti e integrali definiti o limitati.

5 Questa notazione fu introdotta per la prima volta da Gottfried Wilhelm von Leibniz (Lipsia, 1°

luglio 1646 Hannover, 14 novembre 1716) nel 1684 nel suo scritto di maggiore rilevanza

matematica, Nova Methodus. Il simbolo ha una forma di S deformata, che sta proprio a significare Somma. Si legge integrale da a a b di f(x) in dx (deics)

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È chiaro che l integrale ind efinito è u n integrale che non ha estrem i d i integrazione cioè una volta calcolato ( estratto dall integrale ) restitu isce u na fu nzione che è d etta ap p u nto primitiva, m entre l integrale d efinito è d etto tale p rop rio p erché è d efinito o d elim itato d a un intervallo noto, d efinito d agli estrem i d i integrazione.. Si u sa d ire che qu and o si calcola u n integrale ind efinito si sta cercand o la p rim itiva d ella fu nzione, qu esta p rim itiva è ind ivid u ata sim bolicam ente con F(x). Qu ind i qu and o si calcola u n integrale senza estrem i d i integrazione si ottiene la p rim itiva d ella fu nzione f(x) che si trova sotto il sim bolo d i integrazione, qu and o invece calcoliam o u n integrale d efinito (qu ind i che p ossied e estrem i d i integrazione) ne calcoliam o u n valore nu m erico e qu esto valore com e d etto è p rop rio l area sottesa alla cu rva in qu ell intervallo⁷. Le tecniche d i estrazione d ell integrale o d i calcolo sono id entiche nell u no e nell altro caso solo che nel p rim o (integrale ind efinito) otteniam o u na fu nzione, d etta p rim itiva e nel second o caso (integrale d efinito) u tilizziam o la p rim itiva stessa p er il calcolo nu m erico d ell integrale.

Definizione di primitiva:

Si d ice che la fu nzione F(x) è u na p rim itiva d ella fu nzione f(x), nell intervallo [a;b], se F(x) è derivabile in ogni punto di questo intervallo e ivi risulta che

F (x)=f(x)

Aggiu ngiam o che : la totalità d elle p rim itive d i u na fu nzione d ata f(x) è d etto integrale indefinito della funzione f(x) il quale si indica come visto con la notazione seguente

Metodo di integrazione per parti:

7 Bisogna notare una cosa importante. Come abbiamo detto quando si calcola la primitiva di una funzio ne si o ttiene un a ltra funzio ne , e d a nc h e ssa sa rà g ra fic a b ile c ome una qualsiasi altra

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Il m etod o segu ente è sp esso u tilizzato qu and o il p rim o non p orta a facili risolu zioni, infatti sp esso le fu nzioni com p licate non riescono a essere p ortate ad u na form a nota, ecco p erché operando con questo metodo si possono risolvere molti integrali.

Siano f(x) e g(x) due funzioni continue e dotate entrambe di derivata continua e siano f (x) e g (x) le loro d erivate

se la funzione integranda si presenta come segue

Allora p ossiam o spezzare l integrale in qu esto m od o

Come si vede la risoluzione è stata semplice, basta fare le opportune considerazioni.

Calcolo dell integrale definito:

Ora ci p oniam o il p roblem a d i calcolare nu m ericam ente l integrale d efinito u na volta determinata la sua primitiva.

Una volta calcolata la fu nzione p rim itiva è facile calcolare il valore nu m erico d ell integrale , infatti in generale si ha

b a b

a

x F dt t f

Alla p rim itiva si sostitu iscono alla variabile d i integrazione ord inatam ente gli estrem i d i integrazione prima b e poi a .

) ( )

( b F a

F x

F dt t

f

^b_a

b

a

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Bisogna fare bene attenzione al fatto che l integrale d efinito è u n valore nu m erico e che qu ind i non ha nu lla a che fare con la variabile d i integrazione, cioè u na volta calcolata la p rim itiva d ella fu nzione integrand a si sostitu iscono i valori esterni d ell intervallo e se ne fa la d ifferenza, Da qu esto m om ento in p oi il valore trovato è solo u n nu m ero che ind ica l area del trapezoide o il valore della funzione integrata nel punto di ascissa data.

Facciam o d egli esem p i p er verificare la bontà d el m etod o e p er convincerci che stiam o calcolando delle aree. Partiamo da un esempio assai semplice e forse banale.

Alcune proprietà degli integrali definiti:

Se

Se gli estremi di integrazione sono uguali (a=b) il valore d ell integrale è nu llo

Se d ato u n intervallo [a;b] e u n p u nto c interno a qu esto intervallo si ha

Infine trattiamo un teorema fondamentale del calcolo integrale ossia il teorema della media Teorema della media:

Definizione: L integrale d efinito d i u na fu nzione continu a f(x) è u gu ale all am p iezza d ell intervallo d integrazione, m oltip licata p er il valore che la fu nzione integrand a assu m e in un conveniente punto di questo intervallo, ovvero

Dove con x1 si intend e qu el p u nto convenientem ente p reso all interno d i [a;b].

Nota sulla funzione integrale:

Abbiam o visto che qu and o si calcola l integrale d i u na fu nzione ne otteniam o u n altra che abbiam o chiam ato p rim itiva e che ind ichiam o con F(x). Sap p iam o calcolare i lim iti e le

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d erivate d elle fu nzioni o p er lo m eno d i u na bu ona p arte d elle fu nzioni sem p lici. Voglio far notare (forse una banalità) che la funzione primitiva ha un grafico e che è possibile quindi

Integrale improprio:

Spesso capita di trovare delle funzioni che sono continue in alcuni intervalli ma posseggono d elle d iscontinu ità in p u nti p articolari. Ad esem p io la fu nzione f(x)=1/x è u na funzione sem p re continu a m a nel p u nto x=0 i lim iti d estro e sinistro tend ono risp ettivam ente a p iù infinito e a m eno infinito. Qu ind i in x=0 la fu nzione p resenta u na d iscontinu ità. Ci chied iam o allora se e com e sia p ossibile calcolare l integrale d i qu este fu nzioni qu and o nell intervallo sia p resente u no o p iù p u nti d i d iscontinu ità. O p iù in generale qu and o la fu nzione non è continu a nell intervallo d i integrazione.

Terrem o com u nqu e valid a l'ip otesi che, se anche la fu nzione non è continu a, essa abbia u n numero finito di punti di discontinuità.

Integrali definiti di questi tipi, quando esistono, si dicono integrali impropri.

Consid eriam o u na fu nzione che in u no d egli estrem i d i integrazione ha u n lim ite che tend e a infinito. Consideriamo la funzione f(x) e un intervallo [a;b] e sia dunque f x

b

xlim

N on p ossiam o u sare la d efinizione d i integrale che conosciam o p erché in b la fu nzione non è finita; tu ttavia se essa è continu a in ogni intervallo d el tip o a, b con 0 , allora è possibile calcolare

b

a

dx x f

Facciamo ora tendere a zero, calcoliamo cioè

b

a

dx x f

0

lim

Se tale lim ite esiste ed è finito, si d ice allora che la fu nzione f(x) é integrabile in a, b e si pone

b

a b

a

dx x f dx

x f

0

lim

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Se invece tale lim ite non esiste o non ha u n valore finito, si d ice che la fu nzione non è integrabile in a,b . Si bad i bene che la p rim itiva è p ossibile calcolarla m a il valore nu m erico d ell integrale o d iverge (cioè è infinito) op p u re non p u ò essere d eterm inato.

Se p oi la fu nzione non è continu a in u n p u nto c interno ad a, b m a lo è in qu alu nqu e altro p u nto d i a,b , si p one

b

c b

a b

a

dx x f dx

x f dx

x f

0 0

lim

lim su p p osto che esistano finiti i due limiti.

Calcolo dei volumi e superfici tridimensionali.

Fino a questo momento abbiam o consid erato sem p re d elle figu re che giacciono su u n p iano m a sap p iam o bene che è p ossibile avere fu nzioni che sono fu nzione d i d u e p iù variabili.

Consideriamo il caso di oggetti che si trovano nello spazio tridimensionale e vediamo che grazie alle tecniche d i integrazione sarà p ossibile calcolarne la su p erficie e anche il volu m e.

È ovvio che in qu este lezioni confid erem o casi sem p lici e d i facile risolu zione m a basti sap ere che con l u so d i calcolatori e d elle tecniche d i integrazioni è p ossibile calcolare qu asi ogni tipo di oggetto tridimensionale.

Per u na qu estione d i sem p licità consid ererem o oggetti trid im ensionali che sono fru tto d i u na rotazione com p leta intorno ad u n asse e ved rem o com e sia p ossibile calcolare la loro su p erficie e il loro volu m e, inoltre ved rem o alcu ne ap p licazione alla fisica e all ingegneria con il teorema di Guldino.

Com e visto p er il calcolo d elle aree d elle figu re p iane anche le note form u le p er il calcolo d ei volu m i d i solid i regolari (cilind ro, cono, sfera) si p ossono d ed u rre anche d al calcolo integrale. Infatti questi solidi sono frutto di rotazioni rigide attorno ad un asse di simmetria.

Utilizzand o il calcolo integrale si ottengono le stesse form u le. Ma cap iam o bene che nel caso di solidi che sono originati da curve la cosa si complica maggiormente.

Consid eriam o u na fu nzione f(x) continu a in u n intervallo a,b ; su p p oniam o che in tale intervallo essa sia non negativa e ind ichiam o con T il trap ezoid e ind ivid u ato d alla cu rva e

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dall'asse x in a,b . Ru otand o attorno all'asse x, T genera u n solid o d i rotazione d el qu ale vogliamo definire e calcolare il volume.

(Figura 8)

Possiam o segu ire u n ragionam ento analogo a qu ello fatto p er d eterm inare l area d i u n trapezoide; dividiamo cioè l intervallo a,b in un numero n di parti uguali.

Sia c u n p u nto d i ogni intervallino x . Consid eriam o l insiem e d ei rettangoli aventi p er base i segmenti x e per altezze i valori f c . Otteniamo in questo modo un plurirettangolo la cui area, al tendere di n all infinito, sappiamo che definisce l area del trapezoide.

Se ora facciam o ru otare ciascu no d i qu esti rettangoli d i u n giro com p leto attorno all asse x, otteniam o u n solid o che è la som m a d i n cilind ri aventi altezze x e raggi d i base f c ; tale solido prende il nome di pluricilindro ed il suo volume è dato da

n

i

x

f

1

2

Se ora facciamo tendere n all infinito, il pluricilindro tende al solido di rotazione; per questo motivo si assume come suo volume l espressione

n

i n i n

i

n f i x f x

1

2 1

2 lim

lim

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Osserviamo ora che tale limite non è altro che l integrale definito fra a e b della funzione x 2

f .

Il volume di un solido di rotazione si trova dunque con la formula

b

a

dx x f

V ²

Lunghezza di un arco di curva piana:

Senza entrare nei d ettagli e lim itand oci a consid erazioni. Vogliam o "d im ostrare" la form u la p er calcolare la lu nghezza d i u n arco d i cu rva p iana che sia grafico d i u n fu nzione reale d i variabile reale. Su p p orrem o che la fu nzione, f(x), sia d erivabile con d erivata continu a in u n intervallo [a,b].

(Figura 12)

Consid erand o u na su d d ivisione d i [a.b] in intervalli "infinitam ente p iccoli" dx, p otrem o ritenere che la lu nghezza d ella cu rva coincid a con qu ella d ella sp ezzata d i lati ind ivid u ati dagli estremi

e

, con i = 0,1, 2, ... , n. La lunghezza di questa spezzata è:

(22)

.

La su p p osta d erivabilità d ella fu nzione ci consente d i ap p licare il teorem a d i Lagrange, d a cui otteniamo

ovvero, se l'ampiezza degli intervalli tende a zero

.

Qu esta form u la richied e il calcolo d i u n integrale solitam ente non facile, nond im eno è im p ortante p erché m ostra com e la teoria d ell'integrale d i Riem ann p ossa risolvere numerosi problemi di misura, e non solo quello della misura dei domini piani.

Applicazioni alla Fisica :

La fisica e p er estensione tu tte le scienze u tilizzano il concetto e il calcolo integrale p er risolvere innu m erevoli p roblem i che ad esso è su p erflu o elencare. Le segu enti ap p licazioni che vengono qu i esp oste sono solo alcu ne d elle ap p licazioni d i u so com u ne e che com u nqu e rientrano nel p rogram m a d i stu d i, ovvero cinem atica e d inam ica. Da qu anto segu e risu lta abbastanza chiaro qu anto siano potenti il calcolo differenziale ed integrale.

Le notazioni che u serem o sono qu elle proposte nello stu d io d elle ap p licazioni d elle derivate.

Moti rettilinei:

Poiché v(t) = x'(t) (oppure s'(t)), si ha, ovviamente,

(23)

.

Se si vuole la variazione di ascissa in un intervallo di tempo basterà ovviamente fare

Si tenga conto che, in generale, la variazione d i ascissa non coincid e con lo sp azio p ercorso:

I d u e valori coincid ono (a m eno eventu alm ente d el segno) solo qu and o il m oto non ha p u nti d i inversione. Se p er esem p io lancio u n sasso verso l'alto, d op o u n p o' esso rip asserà p er la p osizione d i p artenza: la variazione d i ascissa è nu lla, m a lo sp azio p ercorso ovviamente no!

Essendo poi a(t) = v'(t) si troverà

.

Quantità di carica:

Se in u n cond u ttore p assa la corrente i(t), la qu antità d i carica che attraversa u na su a sezione può essere calcolata immediatamente:

.

(24)

Lavoro di una forza:

In u n m oto rettilineo sia F(x) u na forza, variabile con l'ascissa d el p u nto m obile, e avente sem p re la stessa d irezione e verso d ello sp ostam ento. Il lavoro fatto d alla forza, nello spostamento da una posizione A a una posizione B è dato da

ove a e b sono le ascisse di A e B.

Prop oniam o anche u n esem p io d i u so d i u na term inologia, com u ne nei testi d i fisica, che d al p u nto d i vista m atem atico è alqu anto ap p rossim ativa, anche se il risu ltato ottenu to è p erfettam ente corretto. Ci riferiam o al calcolo d el lavoro d ella forza elettrostatica p rod otta d a u na carica p u ntiform e Q, qu and o u na carica "sp ia" q si sp osta d a u n p osizione A ad u na posizione B nello spazio.

Si consid eri la figu ra qu i sotto. In essa sono rap p resentati, nell ip otesi d i cariche concord i: la cu rva lu ngo la qu ale si sp osta la carica q d al p u nto iniziale A al p u nto finale B, la sorgente Q del campo, la forza F di interazione tra le cariche in una data posizione P della carica q, lo sp ostam ento elem entare dP (cioè u no d ei tratti infinitesim i in cu i d eve essere d iviso lo sp ostam ento p er il calcolo d el lavoro), i d u e archi d i circonferenza d i centro Q p assanti p er l origine e il second o estrem o d el vettore dP. Per il calcolo d el lavoro si d ovrà fare il prodotto scalare tra F e dP e poi sommare i risultati ottenuti (con un integrale, ovviamente).

(25)

(Figura 13)

Il m od u lo d ella forza F è , il p rod otto d el m od u lo d i dP p er il coseno d ell angolo tra dP ed F è, a m eno d el segno, u gu ale alla variazione d r d i raggio tra le d u e circonferenze d i

figu ra. È facile constatare che, in ogni caso, vale , p u rché Q, q e d r siano p resi con il loro segno (p er esem p io nel caso d i figu ra il p rod otto scalare d eve essere negativo e il valore d i d r è p rop rio negativo). Il risu ltato segu e ora im m ed iatam ente d al calcolo d ell integrale: .

.

Software per la didattica:

L u tilizzo d i softw are d id attici è sem p re au sp icabile qu and o si ha a che fare con fu nzioni, d erivate ed integrali, oltre al vastissim o im p iego che se ne fa nel cam p o d ella geom etria p iana e solid a e in altri nu m erossissim i cam p i d ella fisica e d ella m atem atica. Qu i p resento solo alcu ni d ei softw are d id attici, qu elli che p iù com u nem ente sono u tilizzati e che qu ind i offrono tra le altre cose anche u na vastissim a sitografia d ed icata con m anu ali esercizi e m acro già com p ilate, che all occorrenza p ossono essere m od ificate ed ad attate ai p rop ri scopi.

Alcuni di questi software o comunque quelli più utilizzati sono tutti coperti da CopyRight e qu ind i necessitano d i licenza a p agam ento, anche se alcu ni d i qu esti p ossono essere utilizzati nella versione trial, ossia una versione limitata o nelle funzioni o nel tempo.

Qu esti softw are sono sp esso cap aci d i affrontare i d iversissim i p roblem i d ella d id attica trad izionale grazie alla loro flessibile interattività. È p ossibile infatti com p orre d elle costru zioni o d isegnare fu nzioni e p oi d inam icam ente osservare il loro com p ortam ento

(26)

sottolineand o alcu ne caratteristiche che sp esso con l u so d i lavagna e gesso non è p ossibile fare.

I softw are d i geom etria che ho u tilizzato sono d u e Cabrì Geom ètre II Plu s ^®e Z.u .L. C.a.R..

Possiamo d ire che è rid u ttivo afferm are che sono softw are p er la geom etria, visto che con alcu ni accorgim enti p ossono essere u tilizzati oltre che p er la costru zione assiom atica d elle figu re e d ei teorem i d ella geom etria eu clid ea, anche p er la costru zione d i funzioni analitiche, calcolo ap p rossim ato d i d erivate ed integrali, e m olto altro. N ella figu ra si ved e che è p ossibile costru ire d elle fu nzioni e p oi d eterm inare il valore d ell integrale d efinito e oltre a questo la parametrizzazione è dinamica.

Con Cabrì Geomètre II Plus ^®:

(27)

(Figura 14) Con Z.u.L. C.a.R:

(Figura 15)

(28)

Un softw are assai u tile in analisi m atem atica è sicu ram ente Derive^® che è u n p otente p rogram m a p er il calcolo d i fu nzioni, m atrici, d erivate, integrali, su ccessioni, e m oltissim o altro. In qu esto elaborato ho p referito non u sare qu esto softw are p oiché già qu elli che ho p resentato sono p iù che su fficienti p er il raggiu ngim ento d ello scop o. C è d a d ire com u nqu e che a qu esta categoria d i softw are fanno p arte anche p rogram m i p iù p otenti e complessi con i qu ali è p ossibile risolvere qu asi ogni tip o d i p roblem a m atem atico, p er citarne solo alcu ni Map le^®, MathCAD^®, Mathematica^®, MathLab^®, MiniTab.

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