Studio della evoluzione temporale del numero di individui di una popolazione mediante il programma Excell
Con i simboli
0 , , ,... 1 2
A A A
Si indica il numero di individui all’inizio, dopo un periodo di
tempo (es. 1 mese, o 1 anno) , dopo un periodo doppio,ecc.
Modello geometrico o modello malthusiano
) 1
1 A ( r
A n n
E’ quello secondo il quale l’aumento della popolazione in un periodo unitario di tempo è proporzionale alla
popolazione presente al momento in cui si calcola la variazione
1
n n n
A A r A
cioè
Critica al modello di crescita malthusiano
Sono stati raccolti i dati della popolazione degli USA negli anni dal 1790 al 1950.
Data la tabella di crescita effettiva della popolazione degli USA si può verificare se il modello
malthusiano descrive correttamente la variazione di popolazione nel corso degli anni.
La formula del modello malthusiano
dipende dalla costante di crescita r :
t anno popolazione effettiva
0 1790 3.929.000
1 1800 5.308.000
2 1810 7.240.000
3 1820 9.638.000
4 1830 12.866.000
5 1840 17.069.000
6 1850 23.192.000
7 1860 31.443.000
8 1870 38.558.000
9 1880 50.156.000
10 1890 62.948.000
11 1900 75.995.000
12 1910 91.972.000
13 1920 105.711.000
14 1930 122.775.000
15 1940 131.669.000
16 1950 150.697.000
n n n
A A r A
1
) 1
1 A ( r
A n n
Calcolando la popolazione utilizzando la formula di crescita del modello malthusiano
si constata che i valori della popolazione fino al 7° periodo sono simili mentre dall’8°
periodo iniziano a differire con notevoli errori.
) 1
1 A ( r
A n n
t anno popolazione effettiva r r medio popolazione con legge errore assoluto errore percentuale
0 1790 3.929.000 0,35098 0,346038 3.929.000 0 0,00%
1 1800 5.308.000 0,363979 5.288.582 -19.418 -0,37%
2 1810 7.240.000 0,331215 7.118.630 -121.370 -1,68%
3 1820 9.638.000 0,334924 9.581.943 -56.057 -0,58%
4 1830 12.866.000 0,326675 12.897.656 31.656 0,25%
5 1840 17.069.000 0,35872 17.360.730 291.730 1,71%
6 1850 23.192.000 0,355769 23.368.195 176.195 0,76%
7 1860 31.443.000 0,226282 31.454.470 11.470 0,04%
8 1870 38.558.000 0,300794 42.338.899 3.780.899 9,81%
9 1880 50.156.000 0,255044 56.989.750 6.833.750 13,62%
10 1890 62.948.000 0,207266 76.710.346 13.762.346 21,86%
11 1900 75.995.000 0,210238 103.255.010 27.260.010 35,87%
12 1910 91.972.000 0,149382 138.985.126 47.013.126 51,12%
13 1920 105.711.000 0,161421 187.079.206 81.368.206 76,97%
14 1930 122.775.000 0,072441 251.815.645 129.040.645 105,10%
15 1940 131.669.000 0,144514 338.953.326 207.284.326 157,43%
16 1950 150.697.000 456.243.921 305.546.921 202,76%
Grafico popolazione effettiva e popolazione calcolata con
modello malthusiano
Il modello logistico
Si deve sostituire alla costante r una funzione che rappresenti il rapporto di crescita
Bisogna fare alcune ipotesi.
L’ambiente in cui vive la popolazione può sostenere un numero massimo di individui L.
Se A
n>L non ci sono abbastanza risorse e il numero di morti supera quello dei nati
Se A
n<L la popolazione aumenta
Se A
nè molto piccolo in rapporto a L, allora la funzione di crescita è simile al fattore r 0
) ( A
n f
n n n n
A A A A
f ( )
1
L A
n
L
A
n f ( A
n) 0 L
A
n f ( A
n) r
Individuare una funzione che abbia le caratteristiche descritte
Sapendo che il modello di crescita dipende dalla funzione si deve individuare la funzione che si comporti secondo le caratteristiche precedentemente descritte.
) ( A n f
n n
n
n
A f A A
A
1 ( ) )
( A
nf
Individuiamo la funzione:
L A L A r
f
A r L
r A
f L
A r r
A f L
L A r
r A
f
x x
x x y
y y y
n n
n n
n n
n n
) ) (
(
) (
) ) (
(
0 0 0
) (
) ( )
(
) ( )
(
) ( )
(
) ( )
(
1 2
1 1
2 1
) 1
( )
( ( ) ( )
L r A
A
f n n
Con questa funzione si ottiene che e quindi
, possiamo ora calcolare con la nuova formula la popolazione secondo il modello logistico.
) 1
(
( )) ( )
( ) 1
(
L
A A r A
A
n
n
n
n2 ) ( )
( )
1
(n
( 1 )
nA
nL A r
r
A
anno popolazione effettiva r medio con modello logistico L errore errore percentuale
1790 3.929.000 0,346038 3.929.000 195.000.000 0 0,00%
1800 5.308.000 5.261.188 -46.812 -0,88%
1810 7.240.000 7.032.637 -207.363 -2,86%
1820 9.638.000 9.378.428 -259.572 -2,69%
1830 12.866.000 12.467.636 -398.364 -3,10%
1840 17.069.000 16.506.067 -562.933 -3,30%
1850 23.192.000 21.734.310 -1.457.690 -6,29%
1860 31.443.000 28.416.935 -3.026.065 -9,62%
1870 38.558.000 36.817.274 -1.740.726 -4,51%
1880 50.156.000 47.152.009 -3.003.991 -5,99%
1890 62.948.000 59.522.995 -3.425.005 -5,44%
1900 75.995.000 73.832.975 -2.162.025 -2,84%
1910 91.972.000 89.708.332 -2.263.668 -2,46%
1920 105.711.000 106.469.932 758.932 0,72%
1930 122.775.000 123.196.485 421.485 0,34%
1940 131.669.000 138.894.065 7.225.065 5,49%
1950 150.697.000 152.722.759 2.025.759 1,34%
Confrontando la popolazione effettiva con quella
calcolata con il modello logistico possiamo vedere dal
grafico che coincidono.
Prendendo un qualsiasi valore della popolazione iniziale e calcolando la
crescita con il modello logistico si nota che tutte le curve si stabilizzano
quando raggiungono il numero massimo di individui L.
Rapidità di crescita
ovvero come e quando la curva cresce e decresce
) ( )
1 ( )
(n
A
nA
nA
rapidità di crescita
crescente rapidità di crescita decrescente
1.332.188 16.726.553
1.771.449 15.697.580
2.345.791 13.828.694
3.089.208 11.457.743
4.038.431 8.979.162
5.228.243 6.711.116
6.682.625 4.829.096
8.400.338 3.375.963
10.334.735 2.310.941
12.370.986 1.558.582
14.309.980 1.040.462
15.875.357 689.782
16.761.600 455.178
299.441 196.588 128.890 84.430 55.275 36.174 23.667
