Appunti e complementi per gli studenti

(1)

█ Introduzione alle funzioni

Primi cenni su uno dei

concetti fondamentali della matematica

Appunti e complementi per gli studenti

Franco Fusier - 2008

(2)

Pag. 2

Indice

1. Funzioni... 3

1.1 Definizione ... 3

1.2 Determinazione di immagini e controimmagini ... 4

1.2.1 Introduzione ... 4

1.2.2 Esempio risolto n. 1 ... 4

1.3 Dominio e codominio ... 5

1.3.1 La determinazione del dominio: un problema talvolta mal posto ... 5

1.3.2 Convenzione per particolari funzioni reali... 5

1.3.3 Distinzione tra insieme di arrivo e codominio ... 7

1.3.4 Determinazione del codominio (immagine) di alcune funzioni ... 7

1.4 Funzione suriettiva ... 10

1.5 Funzione iniettiva ... 10

1.6 Corrispondenza biunivoca ... 12

1.7 Restrizione di una funzione ... 12

1.7.1 Definizione... 12

1.7.2 Definizione alternativa... 13

1.8 Funzioni composte... 13

1.9 Funzioni particolari... 15

1.9.1 Successioni... 15

1.9.2 Funzioni reali di variabile reale ... 15

1.9.3 Funzioni periodiche ... 15

1.9.4 Funzioni pari/dispari ... 16

1.10 Funzione inversa... 17

1.10.1 Definizione... 17

1.10.2 Grafico ... 18

1.10.3 Determinazione della funzione inversa... 18

1.10.4 Funzione inversa parziale... 20

1.11 ÆCardinalità di un insieme (cenni) ... 22

Nota

La lettura dei paragrafi (o delle parti) contrassegnati con Æ può essere rimandata, senza precludere la comprensione delle parti successive.

(3)

insiemi dati. Occorre sottolineare che in questa scrittura sono già

presenti sia il dominio che il l’insieme di arrivo: quindi a rigore il problema di “determinare il dominio di una funzione”, talvolta presente negli esercizi è, in mancanza di ulteriori precisazioni, mal posto e sarebbe perciò più appropriato parlare di determinazione dell’insieme di definizione (o insieme di esistenza).

È opportuno notare che il dominio di una funzione è sempre un sottoinsieme dell’insieme di esistenza.

Nel caso in cui una funzione numerica venga assegnata solo mediante la sua espressione, ad esempio f (x) = x2 −1 ,

1( )

−=

xf x x , allora è corretto parlare di

determinazione del dominio della funzione stessa. In questi casi è tacitamente accettato che il dominio f A ≡ D coincida con l’insieme di esistenza, cioè con l’insieme di valori della

variabile indipendente per cui la formula che definisce la funzione ha un senso.

1.3.2 Convenzione per particolari funzioni reali

Come già accennato nel precedente paragrafo, se A e B sono sottoinsiemi dei numeri reali e la funzione f è esprimibile tramite composizione, somme e prodotti di funzioni

elementari quali ad esempio polinomi, esponenziali, logaritmi, funzioni goniometriche, etc., il dominio ( f A ≡ D ) è spesso implicitamente definito come il sottoinsieme più grande della retta reale su cui la f ha senso, ossia come il suo insieme di esistenza. Vale cioè la seguente

convenzione: se il dominio di una funzione reale non è assegnato in modo esplicito, si pone D insieme di esistenza f = .

Possono presentarsi casi in cui il dominio non coincide con l’insieme di esistenza: ad esempio, la funzione f (x) = x2 avrebbe

1. Funzioni

1.1 Definizione

Una funzione f da A in B consiste in:

1) un insieme A detto insieme di partenza o dominio di f (verrà indicato con D ); _f

2) un insieme B detto insieme di arrivo di f;

3) una legge che ad ogni elemento a∈A associa uno ed un solo elemento b= f a( )∈ . B

Si dice che a è l’argomento della funzione, oppure la variabile indipendente, mentre b= f a( ) è il valore della funzione, oppure la variabile dipendente, oppure ancora l’immagine di a attraverso la f. Se b= f a( ), l’elemento a∈A prende il nome di controimmagine dell’elemento b∈B.

Un sinonimo di “funzione” è “applicazione”; di solito si utilizza il termine funzione quando A e B sono insiemi numerici, in questo caso spesso si indica con x l’argomento della funzione (variabile indipendente) e con y l’immagine di x attraverso f.

Quando scriviamo y= f(x) con x,y∈R, siamo in presenza di una funzione reale di variabile reale: si tratta di una legge che agisce su opportuni numeri reali e li trasforma in

altri numeri reali (avremo quindi A⊆R,B⊆R). Le funzioni hanno un ruolo importante in tutte le scienze esatte. Il concetto di dipendenza funzionale tra due grandezze sostituisce infatti, all’interno delle teorie fisiche e matematiche, quello di causa-effetto, che al contrario del precedente non riguarda gli enti teorici ma direttamente gli elementi della realtà concreta. Se si afferma, ad esempio, che il volume di una certa quantità di gas perfetto è funzione della sua

temperatura e della sua pressione si sta facendo un’affermazione interna ad un modello termodinamico, mentre il rapporto di causa-effetto che viene individuato fra le tre grandezze dipende in modo sostanziale dalle possibilità di intervento concreto su di esse. Rimanendo a questo esempio, poiché è generalmente molto più facile intervenire sul volume e sulla temperatura che direttamente sulla pressione, il valore di quest’ultima viene visto più spesso come conseguenza del valore degli altri due parametri.

A a1 b1

B

a2 b2

a3 b3

a4 b4

b5

a5

b6

A a1 b1

B

a4 b4

b5

b6

Non siamo in presenza di una funzione

a2 b2

a3 b3

A a1 b1

B

a2 b2

a4

Non siamo in presenza di una funzione

a3 b3

1( )

−=

Possono presentarsi casi in cui il dominio non coincide con l’insieme di esistenza: ad

(4)

1( )

−=

Pag. 4

1.2 Determinazione di immagini e controimmagini

1.2.1 Introduzione

Se A e B sono sottoinsiemi dei numeri reali e la funzione f è numerica, cioè esprimibile mediante un’opportuna “formula” matematica, la determinazione dell’immagine di a∈A non pone problemi: basta infatti sostituire il valore di a nella formula stessa.

La determinazione delle controimmagini di b∈B pone maggiori problemi: è necessario risolvere l’equazione b= f x( ) in cui b è noto e x∈A è l’incognita. La difficoltà dei calcoli necessari per la risoluzione del problema dipende dalla particolare espressione della funzione che stiamo considerando: si possono incontrare casi quasi banali ma anche casi estremamente complicati.

Gli esempi che seguono contribuiranno a chiarire un po’ le idee.

1.2.2 Esempio risolto n. 1

Data la funzione f R: →R x→x²+2x, determinare l’immagine di a=3 e la controimmagine di b=24.

Per determinare l’immagine dell’elemento a=3 è sufficiente scrivere:

( ) (3) 32 2 3 15 b= f a = f = + ⋅ =

Per determinare la controimmagine dell’elemento b=24 è necessario scrivere:

2 2

( ) 24 2 2 24 0

b= f a → =a + ⋅ →a a + a− =

abbiamo quindi ottenuto un’equazione di secondo grado nell’incognita a. Risolvendo si ottiene:

1 1 24 1 5 4 6

a= − ± + = − ± ⇒ = ∨ = −a a L’elemento b=24 ha dunque due controimmagini.

Data la funzione f R: →R x→x³−4x+ , determinare l’immagine di 3 a= −1 e le controimmagini di b=6.

Per determinare l’immagine dell’elemento a= −2 è sufficiente scrivere:

( ) ( 2) ( 2)3 4 ( 2) 3 3 b= f a = f − = − − ⋅ − + =

3 3 3

( ) 6 4 3 4 3 0 4 3 0

b= f x → = x − x+ →x − x− = →x − x− =

abbiamo quindi ottenuto un’equazione di terzo grado nell’incognita x. Risolvendo si ottiene:

2 1 13 1 13

( 1)( 3) 0 1

2 2

x+ x − − = → = − ∨ =x x x + ∨ =x − L’elemento b=6 ha dunque tre controimmagini.

1( )

−=

(5)

1( )

−=

Data la funzione ^:

{ }

¹ ² ¹

1

f R R x x

x

− → → +

− , determinare l’immagine di a= −5 e le controimmagini di b=2.

Per determinare l’immagine dell’elemento a= −5 è sufficiente scrivere:

2 ( 5) 1 3 ( ) ( 5)

( 5) 1 2 b= f a = f − = ⋅ − + =

− −

2 1 2( 1) 2 1 3

( ) 2 0

1 1 1 1

x x x

b f x soluzioni

x x x x

+ − + −

= → = → = → = ⇒ ∃/

− − − −

L’elemento b=2 non ha dunque controimmagini.

1.3 Dominio e codominio

1.3.1 La determinazione del dominio: un problema talvolta mal posto

In molti casi per assegnare una funzione si scrive, come prima condizione :f A→ , B dove A e B sono due insiemi dati. Occorre sottolineare che in questa scrittura sono già presenti sia il dominio che il l’insieme di arrivo: quindi a rigore il problema di “determinare il dominio di una funzione”, talvolta presente negli esercizi è, in mancanza di ulteriori precisazioni, mal posto e sarebbe perciò più appropriato parlare di determinazione dell’insieme di definizione (o insieme di esistenza).

Nel caso in cui una funzione numerica venga assegnata solo mediante la sua espressione, ad esempio f(x)= x²−1,

) 1

( = −

x x x

f , allora è corretto parlare di determinazione del dominio della funzione stessa. In questi casi è tacitamente accettato che il dominio A≡D_f coincida con l’insieme di esistenza, cioè con l’insieme di valori della variabile indipendente per cui la formula che definisce la funzione ha un senso.

1.3.2 Convenzione per particolari funzioni reali

Come già accennato nel precedente paragrafo, se A e B sono sottoinsiemi dei numeri reali e la funzione f è esprimibile tramite composizione, somme e prodotti di funzioni elementari quali ad esempio polinomi, esponenziali, logaritmi, funzioni goniometriche, etc., il dominio (A≡D_f ) è spesso implicitamente definito come il sottoinsieme più grande della retta reale su cui la f ha senso, ossia come il suo insieme di esistenza. Vale cioè la seguente convenzione: se il dominio di una funzione reale non è assegnato in modo esplicito, si pone

esistenza di

insieme

D_f = .

Possono presentarsi casi in cui il dominio non coincide con l’insieme di esistenza: ad esempio, la funzione f(x)=x² avrebbe come insieme di esistenza naturale l’intera retta reale, ma se la si scrive come f :R₀⁺ →Rx x² allora si vuole evidenziare che il dominio preso in esame al momento è solo l’insieme dei reali positivi, cioè un sottoinsieme proprio di R . insiemi dati. Occorre sottolineare che in questa scrittura sono già

1( )

−=

(6)

1( )

−=

Pag. 6

L’assegnazione esplicita di un particolare dominio (distinto dall’insieme di esistenza) è di solito effettuata per far si che la funzione possieda proprietà particolari: ad esempio vedremo che, proprio la funzione f(x)=x², considerata in R⁺ è iniettiva, mentre in tutto R non lo è.

1.3.2.1 Esempio risolto n. 4

Data la funzione ³

2

( ) 1 1 2 1

f x x x

x x

= + − + +

+ , determinare il suo dominio.

Notiamo innanzi tutto che il dominio della funzione non è stato assegnato in modo esplicito, quindi lo condidereremo coincidente con l’insieme di esistenza.

Le condizioni da imporre riguardano l’esistenza delle radici aventi indice pari e il non annullamento dei denominatori. Abbiamo dunque:

2

2 0 2

1 0 1 0 1

2 0 0

2 0 2 0

2 0

f

x x x

x x x D

x x x x

x x

+

⎧ + ≥

+ ≥ ≥ −

⎧ ⎧

⎪ + ≥ → → ⇒ > ⇒ =

⎨ ⎨⎩ + > ⎨⎩ < − ∨ >

⎪ + ≠

⎩

Data la funzione ² 2

( ) 9

1

f x x x

x

= − − +

− , determinare il suo dominio.

Le condizioni da imporre riguardano ancora l’esistenza delle radici aventi indice pari e il non annullamento dei denominatori. Abbiamo dunque:

[ ] { }

2

1 0 1

3;3 1

9 0 3 3 ^f

x x

x x D

− ≠ ≠

⎧ →⎧ ⇒ = − −

⎨ − ≥ ⎨− ≤ ≤

⎩ ⎩

Data la funzione ( ) ² ³

1 2

x x

f x x x

+ −

= −

− − , determinare il suo dominio.

Le condizioni da imporre riguardano ancora l’esistenza delle radici aventi indice pari e il non annullamento dei denominatori. Abbiamo dunque:

] ] ] [ [ [

2 0 2 1

1 ; 2 1;2 3;

3 2 3

2 0

f

x

x x

x D

x x x

x

⎧ + ≥

⎪ ⎧ ≤ − ∨ >

⎪ − → ⇒ = −∞ − ∪ ∪ +∞

⎨ − ⎨⎩ < ∨ ≥

⎪ ≥

⎪ −⎩

1( )

−=

(7)

1( )

−=

1.3.3 Distinzione tra insieme di arrivo e codominio

Mentre l’identificazione del dominio è basilare per valutare una funzione, lo stesso non si può dire del codominio. Infatti, se f assume valori in un certo insieme B, allora si può certamente dire che essa prende valori anche in un qualsiasi insieme B′ tale che B⊆B′. Le funzioni f A: → e B f :A→B′ non sono, seguendo uno stretto formalismo, la stessa funzione (in quanto il codominio è parte integrante della definizione di una funzione), ma a meno di situazioni particolari esse sono di fatto considerate coincidenti.

Inoltre, se f è definita da A in B, non vuol dire necessariamente che f prenda valori in tutto B (ciò infatti accade, per definizione, se f è funzione suriettiva). Da ciò si è sentito il dovere di isolare e denotare con un simbolo speciale il sottoinsieme di B che raggruppa le immagini di A attraverso f. Tale insieme è detto codominio (o immagine) di f e viene indicato con i simboli C , Im( )_f f o ( )f A . C’è da dire che in molti testi si trova il termine codominio usato con il significato che qua viene dato di insieme di arrivo e al posto di codominio si usa immagine di f.

1.3.4 Determinazione del codominio (immagine) di alcune funzioni

La determinazione del codominio di una funzione è un problema generalmente piuttosto complesso, che spesso richiede l’uso di strumenti matematici più avanzati di quelli attualmente a nostra disposizione. Nei casi più semplici possiamo seguire il procedimento che segue, direttamente derivato dalla definizione:

1) si pone y= f(x);

2) di scrive l’equazione f(x)− y=0, in cui y deve essere considerato come in parametro mentre x è l’incognita da determinare;

3) si studiano le condizioni a cui deve sottostare y affinché l’equazione precedente ammetta soluzioni valide (deve infatti risultare x∈D_f);

4) i valori della y che soddisfano tutte le condizioni costituiscono l’insieme cercato.

Per poter applicare questo procedimento è inoltre necessario che il dominio coincida con l’insieme di esistenza (se questa condizione non fosse soddisfatta i risultati otttenuti potrebbero non essere corretti).

Se l’espressione della funzione contiene dei radicali aventi indice pari, occorre prestare molta attenzione alle eventuali condizioni di concordanza dei segni prima di effettuare qualsiasi elevamento a potenza.

]

^{; 2}

] ] [ [

^{1; 2} ^3;

[

Df = −∞ − ∪ ∪ +∞

1 2

−2 3

Insieme di arrivo e codominio (immagine) A

B

x4 y4

x1 y1

x2 y2

x3 y3 Cf

y5 y6

1( )

−=

(8)

1( )

−=

Pag. 8

Data la funzione f R: →R x→x²+2x, determinare il suo codominio.

Per determinare il codominio, C , della funzione assegnata si può procedere in questo _f modo: si pone y=x²+2x e si scrive successivamente

2 2 0

x + x− = y

L’ultima equazione, in cui x è l’incognita da determinare, ammette soluzioni se e solo se:

1 0 1

4 y y

Δ = + ≥ → ≥ − , quindi Cf = − +∞

[

^1;

[

Data la funzione ₂

2 4 0

1 : 2

x x x x

R R

f → → + + , determinare il suo codominio.

Per determinare il codominio, C , della funzione assegnata si può procedere in questo _f modo: si pone

4 2

2

2 1

x x

y x

+ +

= e si scrive successivamente

( )

2 4 2 2 1 4 2 2 1 0

yx =x + x + ⇒x + −y x + = L’ultima equazione (biquadratica) ammette soluzioni se e solo se:

2

0

(2 ) 4 0

y

⎧ >

⎨Δ = − − ≥ →

⎩ ²

0

4 0 0 4

y

y y y y

⎧ >

⎨ − ≥ ⇒ ≤ ∨ ≥

⎩ ⇒ ≥ , quindi y 4 Cf =

[

^4;+∞

[

1.3.4.3 Esempio risolto n. 9 Data la funzione 1

: ; 1 2

f ⎡⎢⎣−2 +∞ →⎡⎢⎣ R x→ + x, determinare il suo codominio.

Per determinare il codominio C della funzione assegnata si procede come visto in _f precedenza: pone y= 1 2+ x e si scrive successivamente

2

0 (concordanza dei segni) 1 2

y

y x

⎧ ≥

⎨ = + →

⎩

2

0 1 2 y x y

⎧ ≥

⎪⎨ = −

⎪⎩ ⇒ ≥ , quindi y 0 Cf =

[

^0;+∞

[

Data la funzione f :

[

−2;2

]

→Rx→ 4−x² , determinare il suo codominio.

Per determinare il codominio C della funzione assegnata si procede come visto in _f precedenza: pone y= 4 x− ² e si scrive successivamente

2 2 2 2 2

0 (concordanza dei segni) 0 0 0

0 2

4 4 4 0 2 2

y y y y

y x x y y y y

≥ ≥ ≥ ≥

⎧ ⎧ ⎧ ⎧

→ → → ⇒ ≤ ≤

⎨ = − ⎨ = − ⎨ − ≥ ⎨− ≤ ≤

⎩ ⎩ ⎩ ⎩

quindi C_f =

[ ]

0;2 .

1( )

−=

(9)

1( )

−=

Data la funzione 3 3 4

: 1; 1

4 1

f x x

x

⎤− ⎤→ → + −

⎥ ⎥ +

⎦ ⎦ , determinare il suo codominio.

Per determinare il codominio C della funzione assegnata si procede come visto in _f precedenza: pone 1 ^{3 4}

1 y x

x

= + −

+ e si scrive successivamente:

2

1 0 (concordanza dei segni) ( 1) 3 4

1 y

y x

x

⎧ − ≥

⎪ −

⎨ − =

⎪ +

⎩

2 2

2

1 1 1

3 ( 1) 1

( 1) ( 1) 3 4 ( 1) 4 3

( 1) 4

1 1

y y y

y y

y x x

x y y x

x x y

⎧ ≥

⎧ ≥ ⎧ ≥

⎪ →⎪ →⎪ − − ⇒ ≥

⎨ − + = − ⎨⎪ ⎡ − + ⎤= − ⎨ =

⎪ + + ⎩ ⎣ ⎦ ⎪ − +

⎩ ⎩

Si ha quindi: Cf = +∞

[

^1;

[

1( )

−=

(10)

1( )

−=

Pag. 10

1.4 Funzione suriettiva

Una funzione si dice suriettiva (o surgettiva) quando il codominio coincide con l’insieme di arrivo, ovvero quando ogni elemento y del codominio è immagine attraverso la f di almeno un punto del dominio.

Formalmente, una funzione B A f : → è suriettiva se e solo se

) (x f y A x B

y∈ ∃ ∈ =

∀

Osserviamo che una qualsiasi funzione, quando l’insieme di arrivo non è stato esplicitamente assegnato, può essere resa suriettiva assumendo B=C_f, quindi:

Cf

A f : → è sicuramente suriettiva.

1.5 Funzione iniettiva

Una funzione f si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno un’immagine distinta, o, in modo equivalente, se ogni elemento del codominio corrisponde attraverso la f al più ad un elemento del dominio; formalmente:

B A f : → è iniettiva se e solo se

) ( ) ( ,

, ₂ ₁ ₂ ₁ ₂

1 x A x x f x f x

x ∈ ≠ ⇒ ≠

∀ Questo è equivalente a dire:

B A f : →

è iniettiva se e solo se ∀x₁,x₂∈A ,f(x₁)= f(x₂)⇒x₁ =x₂. Questa seconda implicazione è la proposizione contronominale¹ della prima ed è forse la più comoda per lo svolgimento degli esercizi. È importante notare che lo studio dell’iniettività di una funzione mediante la risoluzione esplicita dell’equazione f(x₁)= f(x₂) è possibile solo nei casi più semplici; nei

1 Ricordiamo che definisce proposizione qualsiasi combinazione di termini del linguaggio che costituisca un'espressione della quale si possa dire se è vera o falsa. La negazione di un’asserzione P si indica con ¬P (e si legge: non P). Per dire che un’asserzione P implica un’asserzione Q, si scrive P⇒Q; in tal caso si dice anche che P è condizione sufficiente per Q (infatti, basta che sia vera P perché sia vera anche Q), e che Q è condizione necessaria per P (in quanto se P è vera, necessariamente è vera anche Q). Infine, se un’asserzione P è equivalente a Q, si scrive: P⇔Q.

Ogni proposizione ¬ ⇒ ¬P Q (che si legge: “non P implica non Q”) viene chiamata proposizione contronominale della P⇒Q ed è a questa equivalente.

A

B Funzione suriettiva

x4

x1 y1

x2 y2

x3 y3

Funzione iniettiva

A x1 y1

B

x3 y3

x4 y4

y5

x2 y2

1( )

−=

(11)

1( )

−=

casi un po’ più complicati sono necessari strumenti matematici più avanzati di quelli attualmente in nostro possesso.

Se abbiamo una funzione reale di una variabile reale iniettiva allora tracciando sul suo piano cartesiano una qualsiasi retta parallela all’asse x questa intersecherà il grafico della funzione al più una volta.

Data la funzione f :R→Rx→x³, dimostrare che f è iniettiva.

Per dimostrare che f è iniettiva si può procedere in questo modo: si pone f x( )₁ = f x( )₂ e si cerca di dimostrare che questo implica come unica possibilità x₁= : x₂

3 3 3 3 2 2

1 2 1 2 0 ( 1 2)( 1 1 2 2) 0

x =x →x −x = → x −x x +x x +x =

Poiché il falso quadrato non si annulla mai, deve necessariamente essere x₁= . La x₂ funzione è dunque iniettiva.

Data la funzione f :R→Rx→x²−x, verificare se f è iniettiva.

Per verificare se f è iniettiva si procede nel modo già visto in precedenza: si pone

1 2

( ) ( )

f x = f x e si determinano le condizioni che devono soddisfare x e ₁ x . Sviluppando i ₂ calcoli si ha:

( ) ⁽ ^{) (} ⁾⁽ ⁾

2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0

x − =x x −x → x −x − x −x = x −x x + − = x

L’equazione è soddisfatta per x₁=x₂∨ = − . Poiché x₁ 1 x₂ f x( )₁ = f x( )₂ anche quando

1 1 2 2

x = −x ≠ x , la funzione non è iniettiva.

Data la funzione f :R→Rx→x³+3x, verificare se f è iniettiva.

Per verificare se f è iniettiva si come al solito: si pone f x( )₁ = f x( )₂ e si determinano le condizioni che devono soddisfare x e ₁ x . ₂

Per risolvere questo esercizio dobbiamo organizzare opportunamente i calcoli, in modo raggiungere una forma facilmente trattabile. Si procede nel modo seguente:

) (

) )(

( ₁ ₂ ₁² ₁ ₂ ₂² ₁ ₂

1 2 3 2 3 1 2 3 2 1 3

1 x x x x x x x x x x x x x x x

x + = + → − = − → − + + =− −

da cui si ottiene infine

0 ) 1 )(

(x₁−x₂ x₁²+x₁x₂ +x₂² + =

Notiamo adesso che il falso quadrato (x₁² +x₁x₂+x₂²) risulta sempre positivo, a maggior ragione avremo (x₁²+x₁x₂+x₂² +1)>0 ∀x₁,x₂∈R. Possiamo quindi concludere che l’equazione f x( )₁ = f x( )₂ risulta soddisfatta solo per x₁ =x₂; la funzione risulta dunque iniettiva.

1( )

−=

(12)

1( )

−=

Pag. 12

Data la funzione ^f ^:

[ ]

⁰^;² ^→^R^x^→ ⁴⁻^x² , verificare che f è iniettiva.

Per verificare se f è iniettiva si procedere nel modo già visto in precedenza: si pone

1 2

( ) ( )

f x = f x e si determinano le condizioni che devono soddisfare x e ₁ x . Sviluppando i ₂ calcoli si ha:

2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2

1 2

2 2

1 4 4 4

4−x = −x → −x = −x →x =x →x =x ∨x =−x

La funzione non sembrerebbe, a prima vista, iniettiva. Notiamo però che una delle due soluzioni (x₁ =−x₂) non è accettabile, in quanto x e ₁ x possono appartenere al dominio ₂ solo se sono entrambi positivi: possiamo quindi affermare che la funzione è iniettiva.

Data la funzione f :

[

−2;2

]

→Rx→ 4−x² , verificare se f è iniettiva.

I calcoli sono identici a quelli svolti nell’esempio precedente; in questo caso però le soluzioni accettabili sono due (x₁ =x₂∨x₁ =−x₂), quindi f non è iniettiva.

1.6 Corrispondenza biunivoca

Una corrispondenza biunivoca tra due insiemi A e B è una relazione binaria tra A e B, tale che ad ogni elemento di A corrisponda uno ed un solo elemento di B, e viceversa ad ogni elemento di B corrisponda uno ed un solo elemento di A.

Lo stesso concetto può anche essere espresso usando le funzioni: una funzione

B A f : →

si dice biunivoca, bigettiva o biiettiva se per ogni elemento y di B vi è uno e un solo elemento x di A tale che f(x)= y. Una tale funzione è detta anche biiezione o bigezione.

Osserviamo che quando una funzione f ha come insieme di arrivo il codominio, cioè Cf

A

f : → , allora è automaticamente suriettiva, quindi se risulta iniettiva è anche biunivoca.

Le funzioni biunivoche sono le sole per cui si può definire la funzione inversa, viceversa se una funzione è invertibile allora è anche biunivoca. Approfondiremo in seguito questo punto.

1.7 Restrizione di una funzione

1.7.1 Definizione

Per restrizione di una funzione si intende una funzione ottenuta dalla precedente per restrizione del suo dominio.

Formalmente, consideriamo una funzione f :A→B e un sottoinsieme del dominio A

S ⊆ . Definiamo restrizione della f al sottodominio S la funzione Funzione biunivoca

A x1 y1

B

x4 y4

x2 y2

x3 y3

1( )

−=

Appunti e complementi per gli studenti

█ Introduzione alle funzioni

Primi cenni su uno dei

concetti fondamentali della matematica

Appunti e complementi per gli studenti

Indice

1. Funzioni

1.1 Definizione

1.2 Determinazione di immagini e controimmagini

{ }

1.3 Dominio e codominio

[ ] { }

] ] ] [ [ [

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] ] [ [

[

[

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( )

[

[

[

[

[

]

[ ]

[

[

1.4 Funzione suriettiva

1.5 Funzione iniettiva

( ) ( ) ( )( )

[ ]

[

]

1.6 Corrispondenza biunivoca

1.7 Restrizione di una funzione

( ) ⁽ ^{) (} ⁾⁽ ⁾