Esercitazione 5 di Calcolo Scienti co e Metodi Numerici 07 novembre 2019
1. Assegnati i numeri reali
a = 125.78 · 101, b = 15.398 · 10−1, c = 2142.37 · 10−2, calcolare la media aritmetica
(a + b) + c 3
in un sistema in virgola mobile con base 10 e 4 cifre signiicative. Calcolare l'errore relativo ρ.
Soluzione.
f l(x) = 0.427 · 103, ρ = 0.18739 · 10−3 2. Siano date le matrici
A =
−2 0 0 0
2 −1 0 0 0 −1 3 0
−3 0 0 2
e B =
0 −1 0
−12 0
√ 3 2
−
√ 3
2 0 −12
.
a) Stabilire se A e B sono ortogonali;
b) risolvere i sistemi Ax = b e By = d, con b = [−4, 6, −7, −6]T e d = [1, 0, −√ 3]T; c) calcolare lo spettro di A, il suo raggio spettrale e il suo determinante;
d) calcolare k1(B), k∞(B) e k2(B). Soluzione.
a) A non è ortogonale, B è ortogonale.
b) x = [2, −2, −3, 0]T y = [32, −1,
√ 3 2 ]T.
c) σ(A) = {−2, −1, 3, 2}, ρ(A) = 3, det (A) = 12.
d) k1(B) = k∞(B) =√
3+1 2
2
e k2(B) = 1. 3. Dato il sistema lineare
−x1+ 5x2− x3+ x4 = −6 4x1− 2x2+ x3+ 3x4 = −1 x1 + 3x2− 4x3+ 5x4 = −8 x1 + 3x2− 4x3− 3x4 = 0
,
calcolare la soluzione tramite la fattorizzazione P A = LU, calcolare la seconda colonna dell'inversa della matrice dei coe cienti e il suo determinante.
Soluzione.
P =
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
, L =
1 0 0 0
−14 1 0 0
1 4
7
9 1 0
1 4
7
9 1 1
, U =
4 −2 1 3
0 92 −34 74 0 0 −113 269
0 0 0 −8
.
Soluzione del sistema x = [0, −1, 0, −1]T. Seconda colonna dell'inversa z = [1766,665 ,334, 0]T. det (A) = −528.
