Congelamento di una provetta in transizione di fase
Figure 1:
Una lunga provetta `e riempita di un liquido di densit`a ρLe calore latente di congelamento λC noti. Si osserva che ad una temperatura T0 tutto il liquido al di sotto di una certa altezza si `e solidificato. Abbassando la temperatura e portandola a T1 = T0 − ∆T si osserva che si solidifica un ulteriore tratto di altezza d. Note le temperature e l’altezza d, si determini la densit`a della fase solida ρS.
Soluzione
Come si vede dalla figura 2, ad una temperatura T0 il congelamento avviene ad una pressione p0 mentre, abbassando la temperatura fino a T1, il congelamento avviene ad una pressione p1minore della precedente. Questo `e vero nel caso in cui dTdp > 0, come avviene nella maggior parte degli elementi nei quali ρS > ρL; una notevole eccezione a questa regola `e l’acqua. Nel caso in esame, per`o, il solido rimane sul fondo, quindi siamo effettivamente nella situazione pi`u comune ρS > ρL.
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Figure 2:
Le pressioni p0e p1sono date dalla pressione atmosferica e dalla quantit`a di liquido sopra il solido:
p = pa+ ρLgh (1)
Derivando rispetto alla temperatura T : dp
dT = ρLgdh
dT (2)
Possiamo allora riscrivere l’equazione di Clapeyron nel modo seguente:
ρLgdh
dT = λC
T (ρ−1L − ρ−1S ) (3)
Separando le variabili (h, T ) e integrando:
ρLg(h1− h0) = λC
(ρ−1L − ρ−1S )logT1 T0
(4) dalla quale si pu`o ricavare la densit`a del solido in funzione di h0 e h1. Se invece `e nota la variazione di altezza del solido d, allora `e necessario usare la conservazione della massa per scrivere:
ρL(h0− h1) = ρSd (5)
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Sostituendo in eq.4, si ricava infine la densit`a della fase solida:
ρS= ρL
1 −λC
gd log
1 −∆T T0
(6) Notare che il logaritmo `e negativo, per cui effettivamente ρS > ρL.
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