• Questa transizione di fase e’ detta transizione superconduttiva.

Superconduttori

• Molti metalli presentano una temperatura critica al di sotto della quale

– Espellono il campo magnetico interno (B=0)

– La loro resistivita’ si annulla

• Questa transizione di fase e’ detta transizione superconduttiva.

• La temperatura critica e’ indicata T

e puo’ variare da circa 10K al di sotto di 0.1 K a seconda del metallo, della presenza di difetti nel reticolo cristallino, della

presenza di un campo magnetico e/o di pressione.

ρ

T T_c

Β

H H_c

T=cost

Applicazioni della superconduttivita’

• Nei superconduttori possono scorrere correnti di migliaia di A senza dissipare alcuna potenza

• Una volta iniettata nel circuito

superconduttore una forte corrente può continuare per centinaia di migliaia di anni senza bisogno di generatori

esterni.

• I superconduttori vengono quindi usati per mantenere le correnti necessarie per generare forti campi magnetici

(magneti superconduttori)

• Queste servono ad es. per ottenere

levitazione magnetica o per fare NMR o per curvare le traiettorie di particelle cariche in un collisore di particelle

(CERN LHC) o …

Applicazioni della superconduttivita’

• Con l’ avvento di materiali

superconduttori ad alta temperatura le applicazioni si sono moltiplicate.

• Si possono costruire filtri elettronici

senza perdite, quindi con molti più stadi e maggiore efficienza per selezionare le frequenze desiderate (quando la

resistenza interna di una induttanza superconduttiva va a zero il fattore di qualita’ del filtro tende all’ infinito…)

• Si possono costruire motori con

avvolgimenti superconduttori molto piu’ compatti e piu’ efficienti (motori da 5000 CV !!)

• Si possono costruire CPU incredibilmente veloci…

Super

conduttivita’

• La superconduttività fu scoperta da H.K.

Onnes nel mercurio nel 1911.

• Solo nel 1957 J. Bardeen, L.N. Cooper e J.R. Schrieffer riuscirono a formulare una teoria microscopica della

superconduttività, basata sulla meccanica quantistica (teoria BCS).

• Secondo la BCS il moto di un elettrone di conduzione distorce leggermente il

reticolo cristallino, facendo avvicinare gli ioni positivi più vicini al suo passaggio.

• Questa sovradensità di ioni positivi causa l’ attrazione di un altro elettrone, ed il

risultato netto è una forza attrattiva tra elettroni. Il suo effetto è la creazione di coppie di elettroni debolmente legati (coppie di Cooper, energia 2ε).

• Le coppie si muovono insieme senza scambiare energia col reticolo.

4 ..

2 3

≅ kT

ε

Coppie di Cooper

• Ogni coppia di Cooper può essere trattata come una singola particella con massa e carica pari al doppio di quella di un elettrone.

• La lunghezza di coerenza della funzione d’onda di un elettrone di conduzione normalmente e’ molto corta, a causa dei continui scattering.

• Ma le coppie di Cooper non sono diffuse, e quindi le loro funzioni d’onda sono coerenti su distanze molto grandi (dell’ ordine di 10

cm).

• La funzione d’ onda può essere scritta ( )

i

P

= Φ e

Φ

Coerenza a lungo raggio

• In una densità di corrente uniforme tutte le coppie

hanno funzioni d’ onda coerenti e formano un’ unica funzione d’ onda.

• Questa coerenza a lungo raggio permette di

calcolare fase ed ampiezza della funzione d’ onda in un punto qualsiasi a partire dal loro valore in un

punto di riferimento. Si può riscrivere come una onda unidimensionale:

• La frequenza ν è legata all’ energia della coppia di Cooper, mentre la lunghezza d’ onda è legata all’

impulso:

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

= x vt

P

ψ π λ

ψ sin 2

P

= h /

λ

Coerenza a lungo raggio

• Dalla funzione d’ onda si può calcolare la differenza di fase tra due punti di un superconduttore nel quale circola corrente.

• Per un’ onda piana

• La differenza di fase dal punto X al punto Y è

• Se n

è la densita’ di elettroni superconduttori, n

/2 è la densità di coppie di Cooper, e quindi la

supercorrente è

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

= x vt

P

ψ π λ

ψ sin 2

v v

2 2 e n e n

s s

s

= =

ℑ

x dl

Y

X Y

XY

=

− = ⋅

Δ ^{ϕ ϕ ϕ 2 π} ∫ _λ ^ˆ

Differenza di fase

• Allora

• e quindi

• che descrive la variazione di fase delle coppie di Cooper in un superconduttore.

∫ ^{ℑ ⋅}

=

−

= Δ

Y

X

s s

Y

XY X

d l

e hn

m r r

ϕ π ϕ

ϕ ²

s s

m

e hn m

h P

h

= ℑ

=

= v

λ

Effetto del campo magnetico

• In presenza di un campo magnetico la fase viene modificata.

Infatti il momento diventa

• Dove A e’ il potenziale vettore del campo magnetico. Nel caso delle coppie di Cooper

• e quindi

qA m

P = v +

eA m

P = 2 v + 2

∫

∫ ^{ℑ ⋅ + ⋅}

=

= Δ

+ Δ

= Δ

Y

X Y

X

s s

B XY i

l d h A

l e e d

hn

m r r π r r

π

ϕ ϕ

ϕ

4

2

Flussoide e quanto di flusso magnetico

• Da questa formula si puo’ calcolare la

quantizzazione del flusso magnetico in un anello superconduttore.

• Se nel superconduttore S scorre una

supercorrente, nella zona non superconduttiva interna N si genera un campo magnetico B.

∫

∫

=

Δ ^Y

X Y

X s s

XY A dl

h l e

e d hn

m r r π r r

ϕ ²π ⁴

• La variazione di fase lungo un cammino chiuso del tipo XYZX deve essere un multiplo di 2π in modo da avere una funzione d’ omda

univoca. Quindi

∫

∫

∫

∫

⋅ +

⋅ ℑ

=

→

⋅ +

⋅ ℑ

=

S s

s

s s

dS B

l e d

n m e

n h

l d h A

l e e d

hn n m

r r

r r r r

2

2

4

2 π 2 π π

flussoide quanto di flusso

Wb 10

07 . 2 2

−15

×

=

=

Φ e

h

o

Tunnelling Josephson

• Una conseguenza importante della quantizzazione del flusso e’ il tunnelling Josephson.

• Due zone superconduttrici completamente isolate tra loro hanno funzioni d’onda con fasi scorrelate.

• Ma se le due regioni vengono avvicinate molto, gli elettroni potranno diffondere per effetto tunnel da una regione all’ altra.

• Le due funzioni d’ onda dovranno quindi accoppiarsi. L’

accoppiamento sarà tanto più forte quanto più vicini saranno i due superconduttori.

• Il tunnelling degli elettroni comporta una corrente superconduttiva predetta per la prima volta da B.D.Josephson nel 1962.

• La giunzione tra i due superconduttori è detta Giunzione Josephson.

La corrente che vi scorre è

ϕ Δ

= sin_c

s i

i

Stato a più bassa E Costante di accoppiamento

Assumendo :

perchè

e si definiscono

ed è

e si ottiene

e quindi

SQUID

• Lo SQUID (Superconducting Quantum interference Device) è un anello superconduttore interrotto da due giunzioni (link deboli in X e W) la cui corrente critica i_c è molto

inferiore alla corrente critica dell’ anello.

• Questo produce una

supercorrente molto bassa, quindi con impulso delle

coppie anch’esso molto basso.

La lunghezza d’ onda e’ quindi molto lunga, e quindi la

differenza di fase tra due punti qualsiasi dell’ anello è

trascurabile.

SQUID

• Se si accende un campo magnetico perpendicolare all’ anello, si genera una differenza di fase delle onde che passano da

XYW rispetto a quelle che passano da WZX. Inoltre si genera una piccola

corrente che produce una

differenza di fase ai capi

di ciascuno degli weak

links.

) ) cos( (

2

o c

c

i B

I φ

π φ

=

• La I_c e’ una funzione periodica del campo B, con massimi quando il suo flusso concatenato con lo SQUID e’ un multiplo intero del quanto di flusso h/2e, e minimi per multipli seminteri.

Uso dello SQUID

• Di solito non si usa la caratteristica periodica dello SQUID per misurare il campo, perche’ non essendo univoca e’

difficile determinare univocamente il flusso.

• Si preferisce usare il cosi’ detto “flux

locked feedback loop” in cui si avvolge una bobina intorno alla SQUID e si genera un flusso che annulla esattamente quello da misurare. Dalla misura della corrente che si deve applicare per ottenere l’ annullamento si stima il flusso da misurare.

• In questo modo lo SQUID lavora sempre in prossimita’ di zero flusso. La sua

sensibilita’ e’ molto inferiore a Φ_o .

Uso dello SQUID

• Invece di misurare un campo magnetico, si puo’ misurare una corrente.

• Basta far scorrere la corrente da misurare in un coil “di misura” avvolto intorno allo

SQUID.

• Il sistema sara’ quindi composto da:

– 1 SQUID

– 1 avvolgimento di misura superconduttore

– 1 avvolgimento di feedback superconduttore

– 1 cilindro superconduttore che scherma il sistema da campi magnetici

indesiderati

– 1 sistema elettronico per realizzare il flux-locked loop.

• Si crea cosi’ un amperometro estremamente sensibile (fA) e con resistenza interna nulla:

l’ amperometro ideale. Ha comunque una induttanza diversa da zero, anche se piccola (nH)

I_SQUID

I_MEAS

I_FEEDBACK

Nb

SQUID CS-Blue (Supracon)

•Size of superconductive screen only 24mm x ø10mm

•Low input inductance of 320 nH

•Effective coupling of integrated on chip input coil to the SQUID with mutual

inductance of 10 nH

•Feedback coil integrated on chip coupled to SQUID with mutual inductance of 230 pH

•Very low current noise better than 1.5 pA/Hz^1/2

•Integrated on chip heater to expel frozen flux

Uso dello SQUID

• Lo SQUID e’ il circuito ideale per misurare il

segnale di corrente proveniente da un bolometro

TES alimentato a tensione costante.

Multiplexing

• Ge and Si thermistors are read out using JFETs at 100K. There is no pratical way to multiplex many sensors on a single amplifier. The number of wires entering the cryostat would be huge for a large

format array. Practical limit: the JFET boxes of Planck and Hershel…

• TES sensors have very low impedance (about 1 Ω)

• They can be readout by a SQUID with no power dissipation and large noise margin. Time

multiplex and frequency multiplex are being

developed (NIST, Berkeley, Helsinki ..)

From: Chervenak et al. 99 Time-domain multiplexing

Vb f1 Vb

f2

NBF

f

column SQUID

column SQUID

frequency-domain multiplexing

row i bias

row i+1 bias

j j+1

Ref: Berkeley/NIST design