∑∑ Tabella a doppia entrata Variabili casuali a piùdimensioniESEMPIO

Variabili casuali a più dimensioni ESEMPIO

Si è esaminata una classe di studenti del primo anno della Facoltà di Ingegneria di un Ateneo.

In particolare si sono esaminati il numero di moduli superati al primo anno ed il voto medio conseguito alla fine dell’anno accademico.

I dati sono stati raccolti in una tabella a doppia entrata.

(X=voto, Y=numero di esami sostenuti)

Tabella a doppia entrata

∑∑ = =

=

= ⁿ

i m j

N ij

N

1 1

208

Esami

Voto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

18

5 1 2

19

2 3 3 2 1

20

1 4 1 1 2 2 2

21

4 3 3 3 1 3 2 2

22

2 4 2 1 2 2 1 2 2

23

2 4 3 5 3 3 1 1

24

3 5 6 2 3 2 2 1 3 3

25

2 3 6 3 4 2 3 4

26

3 2 4 1 1 3 2 2

27

1 1 3 2 4 1 1 1 3

28

1 2 2 2 3 2 0

29

1 1 1 1 1

30

2 1 2 1

N

f _ij = N ^ij

Distribuzioni Marginali

[

]

x m

j ij

i

f f x P X x

p = ∑ = = =

=

) (

1

[

]

n i

ij

j

f f y P Y y

q = ∑ = = =

=

) (

1

Voto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

18 0.024 0.005 0.000 0.000 0.010 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

19 0.010 0.014 0.000 0.014 0.000 0.010 0.000 0.005 0.000 0.000 0.000

20 0.005 0.019 0.005 0.005 0.010 0.000 0.000 0.010 0.000 0.010 0.000

21 0.019 0.014 0.014 0.014 0.000 0.000 0.005 0.014 0.010 0.010 0.000

22 0.010 0.000 0.019 0.010 0.005 0.010 0.010 0.005 0.010 0.000 0.010

23 0.000 0.010 0.000 0.019 0.014 0.024 0.014 0.000 0.014 0.005 0.005

24 0.014 0.000 0.024 0.029 0.010 0.014 0.010 0.010 0.005 0.014 0.014

25 0.010 0.000 0.000 0.014 0.029 0.014 0.019 0.000 0.010 0.014 0.019

26 0.000 0.000 0.014 0.010 0.019 0.005 0.005 0.014 0.010 0.010 0.000

27 0.005 0.000 0.000 0.005 0.014 0.010 0.019 0.005 0.005 0.005 0.014

28 0.000 0.000 0.005 0.010 0.010 0.000 0.010 0.014 0.010 0.000 0.000

29 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.005 0.005 0.000 0.005 0.005 0.005

30 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.010 0.005 0.010 0.005

0.038 0.053 0.063 0.101 0.087 0.106 0.144 0.130 0.087 0.082 0.058 0.024 0.029 0.096 0.063 0.082 0.130 0.120 0.091 0.096 0.087 0.082 0.082 0.072

Distribuzione marginale “voto”

( ) = 23 . 75

⋅

= ∑

^{x f x}

µ

0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140 0.160

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 x=voto

fx(x)

Media e varianza

( )

( ) 8 . 78

2

= ∑

^x − ^µ ⋅ ^{f x} =

σ σ = 2 . 96

x=Voto fx(x) 18 0.038 19 0.053 20 0.063 21 0.101 22 0.087 23 0.106 24 0.144 25 0.130 26 0.087 27 0.082 28 0.058 29 0.024 30 0.029

Distribuzione marginale “esami”

( ) 5 . 85

1

=

⋅

= ∑

= j

m j

y j

y

y f y

µ

Media e varianza

( ) ( ) 9 . 04

1

2

= ∑ −

⋅ =

= j

m j

y y j

y

y µ f y

σ σ

= 3 . 01

y=Esami fy(y)

1 0.096

2 0.063

3 0.082

4 0.130

5 0.120

6 0.091

7 0.096

8 0.087

9 0.082

10 0.082 11 0.072

0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y=esami sostenuti

fy(y)

Media e Covarianza

2 2

covarianza di

Matrice

y xy

xy x

σ σ

σ

= σ

( , ) ( 23 . 75 , 5 . 85 )

Media = µ

µ

=

( ) ( ) ( , ) 3 . 60

1 1

=

⋅

−

⋅

−

= ∑∑

= =

n i

j i m

j

y j x i

xy

x µ y µ f x y

σ

04 . 9 60 . 3

60 . 3 78 . covarianza 8

di

Matrice

2

=

=

y xy

xy x

σ σ

σ

σ

Distribuzioni Condizionate voto|esami

( ) ( ) ( ) y f

y x x f

f

y xy y

x

,

| =

Esami

Voto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

18 0.250 0.077 0.000 0.000 0.080 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

19 0.100 0.231 0.000 0.111 0.000 0.105 0.000 0.056 0.000 0.000 0.000

20 0.050 0.308 0.059 0.037 0.080 0.000 0.000 0.111 0.000 0.118 0.000

21 0.200 0.231 0.176 0.111 0.000 0.000 0.050 0.167 0.118 0.118 0.000

22 0.100 0.000 0.235 0.074 0.040 0.105 0.100 0.056 0.118 0.000 0.133

23 0.000 0.154 0.000 0.148 0.120 0.263 0.150 0.000 0.176 0.059 0.067

24 0.150 0.000 0.294 0.222 0.080 0.158 0.100 0.111 0.059 0.176 0.200

25 0.100 0.000 0.000 0.111 0.240 0.158 0.200 0.000 0.118 0.176 0.267

26 0.000 0.000 0.176 0.074 0.160 0.053 0.050 0.167 0.118 0.118 0.000

27 0.050 0.000 0.000 0.037 0.120 0.105 0.200 0.056 0.059 0.059 0.200

28 0.000 0.000 0.059 0.074 0.080 0.000 0.100 0.167 0.118 0.000 0.000

29 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.053 0.050 0.000 0.059 0.059 0.067

30 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.111 0.059 0.118 0.067

Distribuzioni Condizionate voto|esami

Esami

Voto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

18 0.250 0.077 0.000 0.000 0.080 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

19 0.100 0.231 0.000 0.111 0.000 0.105 0.000 0.056 0.000 0.000 0.000

20 0.050 0.308 0.059 0.037 0.080 0.000 0.000 0.111 0.000 0.118 0.000

21 0.200 0.231 0.176 0.111 0.000 0.000 0.050 0.167 0.118 0.118 0.000

22 0.100 0.000 0.235 0.074 0.040 0.105 0.100 0.056 0.118 0.000 0.133

23 0.000 0.154 0.000 0.148 0.120 0.263 0.150 0.000 0.176 0.059 0.067

24 0.150 0.000 0.294 0.222 0.080 0.158 0.100 0.111 0.059 0.176 0.200

25 0.100 0.000 0.000 0.111 0.240 0.158 0.200 0.000 0.118 0.176 0.267

26 0.000 0.000 0.176 0.074 0.160 0.053 0.050 0.167 0.118 0.118 0.000

27 0.050 0.000 0.000 0.037 0.120 0.105 0.200 0.056 0.059 0.059 0.200

28 0.000 0.000 0.059 0.074 0.080 0.000 0.100 0.167 0.118 0.000 0.000

29 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.053 0.050 0.000 0.059 0.059 0.067

30 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.111 0.059 0.118 0.067

0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350

fx|y(x)

2 6 9

Curva e fascia di regressione

Esami

Voto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

18 0.250 0.077 0.000 0.000 0.080 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

19 0.100 0.231 0.000 0.111 0.000 0.105 0.000 0.056 0.000 0.000 0.000

20 0.050 0.308 0.059 0.037 0.080 0.000 0.000 0.111 0.000 0.118 0.000

21 0.200 0.231 0.176 0.111 0.000 0.000 0.050 0.167 0.118 0.118 0.000

22 0.100 0.000 0.235 0.074 0.040 0.105 0.100 0.056 0.118 0.000 0.133

23 0.000 0.154 0.000 0.148 0.120 0.263 0.150 0.000 0.176 0.059 0.067

24 0.150 0.000 0.294 0.222 0.080 0.158 0.100 0.111 0.059 0.176 0.200

25 0.100 0.000 0.000 0.111 0.240 0.158 0.200 0.000 0.118 0.176 0.267

26 0.000 0.000 0.176 0.074 0.160 0.053 0.050 0.167 0.118 0.118 0.000

27 0.050 0.000 0.000 0.037 0.120 0.105 0.200 0.056 0.059 0.059 0.200

28 0.000 0.000 0.059 0.074 0.080 0.000 0.100 0.167 0.118 0.000 0.000

29 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.053 0.050 0.000 0.059 0.059 0.067

30 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.111 0.059 0.118 0.067

µ 21.250 20.308 23.353 23.333 24.240 23.842 25.050 24.500 24.882 24.706 25.267 σ^2 7.488 2.059 4.699 6.296 7.622 5.922 4.948 12.472 7.516 9.384 5.129

inf 18.514 18.873 21.185 20.824 21.479 21.408 22.826 20.968 22.141 21.643 23.002 sup 23.986 21.743 25.521 25.843 27.001 26.276 27.274 28.032 27.624 27.769 27.531

Curva e fascia di regressione

Distribuzione Condizionata voto|esami

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Esami sostenuti

Voto

curva e fascia di regressione