Programma del corso di Geometria 5 (ex Topologia Algebrica)
(Terzo Anno - II Semestre - 6 CFU - settore MAT/03)
G. Marini - A.A. 2016/2017
Matematica
Prerequisiti
Elementi di base di topologia generale, gruppo fondamentale, (gli argomenti di Topologia Algebrica svolti nel corso di Geometria 3).
Programma
Richiami sul gruppo fondamentale, sul Teorema di Seifert-Van Kampen, sulla classificazione delle superfici.
Rivestimenti. Omologia singolare, simpliciale e cellulare. Invarianza omotopica. Escissione. Successione di Mayer-Vietoris. Omologia dei CW complessi. Caratteristica di Eulero Poincarè. Esempi ed applicazioni (spazio proiettivo reale e complesso, varietà notevoli). Teorema dei coefficienti universali. Coomologia. Prodotto Cup.
Dualità di Poincarè.
Obiettivi di apprendimento
Familiarizzare con l'algebra omologica, l'omologia e la coomologia.
TESTI DI RIFERIMENTO
- Hatcher A., Algebraic Topology, Cambridge University Press 2002
(disponibile online sul sito dell'autore: http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
...il download per uso personale è perfettamente legale)
- Massey W.S., A basic course in Algebraic Topology, GTM 127, Springer Verlag 1991 - Marini G., Note di Topologia Algebrica
(note del corso, reperibili nella mia pagine web http://www.mat.uniroma2.it/~marini/TA.pdf)
ALTRE LETTURE CONSIGLIATE
- Esercizi svolti (reperibili sulla pagina web di L. Geatti) - Esercizi svolti (reperibili sulla pagina web di P. Salvatore)
- Wikipedia, 'algebraic topology' e voci correlate (si consiglia la versione in inglese)
Programma dettagliato (diario delle lezioni):
6 mar. 2017
Introduzione alla Topologia Algebrica. Il Teorema di Borsuk-Ulam in dimensione 2 (idea della dimostrazione:
cenni sulla teoria dei rivestimenti e considerazioni sul rivestimento della retta reale sul cerchio S1; utilizzo del gruppo fondamentale).
8 mar. 2017
Richiami sull'omotopia e sul gruppo fondamentale.
[Note] §2, sezioni introduttiva, "deformazioni e retratti" e "Gruppo Fondamentale" (trattandosi di richiami sono stati rivisti solamente i risultati fondamentali).
13 mar. 2017
Teorema di Seifert-Van Kampen nel caso di due aperti (e richiami sul prodotti liberi di gruppi). Applicazioni:
calcolo del gruppo fondamentale del Toro, del piano proiettivo reale e della superficie di Riemann C2 (genere 2).
[Note] §2, Teorema 8 e Corollario 9 (senza dimostrazione), esempi 13.5 e 13.6 (parte di cui sopra).
15 mar. 2017
Rivestimenti (definizioni e prime proprietà, lemma di unicità dei sollevamenti). Enunciati dei teoremi di esistenza dei sollevamenti e di sollevamento dell'omotopia.
[Note] §2, sezione "Rivestimenti", da Def. 14 a condizione 19, enunciati 21 e 22.
[Hat] sezione 1.3 "Covering spaces" Prop. 1.34. Pag. 62
20 mar. 2017
Dimostrazione dei teoremi di esistenza dei sollevamenti e di sollevamento dell'omotopia.
[Note] §2, sezione "Rivestimenti", Teoremi 21 e 22.
[Hat] sezione 1.3 "Covering spaces", Prop. 1.30 e Prop. 1.33.
22 mar. 2017
Conseguenze del sollevamento dell'omotopia (il gruppo fondamentale del rivestimento si immerge in quello della base, azione del gruppo fondamentale della base sul rivestimento)..
[Note] §2, sezione "Rivestimenti", Cor. 23, Prop. 25, Lemma 26 e Cor. 27 [Hat] sezione 1.3 "Covering spaces", esempio 1 p. 58, Prop. 1.31.
27 mar. 2017
Rivestimento universale (definizione e proprietà)
[Note] §2, sezione "Rivestimenti", da def. 29 a oss. 33, enunciato Teorema 34.
29 mar. 2017
Costruzione del rivestimento universale di uno spazio topologico connesso, connesso per archi e semilocalmente semplicemente connessso.
[Note] § Teorema 34, dimostrazione.
[Hat] sezione 1.3 "Covering spaces", Prop. 1.36 (con H = 0).
3 apr. 2017
Richiami sulla dimostrazione del teorema di esistenza del rivestimento universale. Calcolo del genere di una curva complessa piana proiettiva liscia di grado d.
5 apr. 2017
Incollamenti, definizione e proprietà fondamentali. Introduzione ai CW-complessi.
[Note] §1, sezione "Incollamenti".
[Hat] Ch.0 sezione "Attaching Spaces" (def.).
10 apr. 2017
Proprietà dei CW-complessi.
[Note] §1, sezione "CW-complessi".
[Hat] Appendice p. 519 "Topology of Cell Complexes".
12 apr. 2017
Esempi di CW-complessi: decomposizione cellulare degli spazi proiettivi reali e complessi. Omologia: simplessi singolari, complesso delle catene, operatore di bordo, omologia.
[Note] §3, Omologia (fino ad oss.7 e sezione "notazione fondamentale"). §A2, def. 1 e 2.
[Hat] Ch.0 esempi 0.4 e 0.6. Ch.2 sezione "Singular omology" (def. e Prop. 2.6, 2.7, 2.8).
19 apr. 2017
Algebra omologia: complessi delle catene, omologia, successione esatta lunga in omologia associata ad una successione esatta corta di complessi di catene.
[Note] §A2, Algebra Omologica (fino a lemma 9 incluso).
[Hat] Ch.2 Teorema 2.16.
26 apr. 2017
Introduzione alla suddivisione dei simplessi singolari (esempi). Invarianza per raffinamenti e omotopica dell'omologia singolare. Successione di Mayer-Vieoris.
[Note] §3, esempi sezione "Simplessi singolari: notazione fondamentale". Proposizione 15 (enunciato), successioni 17 e 18, Lemma 19 (enunciato) e Corollario 19.1.
[Hat] Ch.2, Teorema 2.10 (enunciato), Proposizione 2.21 (enunciato), sezione "Mayer-Vieoris Sequences" (parte iniziale).
3 mag. 2017
Algebra omologia: omotopia di complessi di catene. Lemma dei Cinque. Applicazioni.
[Note] §A2, fino a esempio 17.3.
[Hat] Ch.2, proposizioni 2.9 e 2.12. "The five lemma" p. 129.
8 mag. 2017
Confronto Omologia-Omotopia: teorema di Hurewicz.
[Note] §3, sezione "Teorema di Hurewica".
[Hat] Ch.2, sezione 2.A in "Additional topics". Teorema 2A.1.
10 mag. 2017
Dimostrazione del teorema di Hurewicz. Omologia della coppia. Omologia ridotta.
[Note] §3, sezione "Teorema di Hurewica". §3 fino al teorema 27 escluso.
[Hat] Ch.2, sezione "relative Homology groups".
15 mag. 2017
Teorema di Escissione e sue conseguenze.
[Note] §3, Teorema 27 (di escissione) e Corollario 28.
[Hat] Ch.2 sezione "Exact Sequences and Excission", teoremi 2.20, 2.22 e 2.13.
17 mag. 2017
Omologia delle sfere. Proprietà del grado e applicazioni.
[Note] §3, sezione "Omologia della sfera".
[Hat] Ch.2, sezione "degree" (2.2).
22 mag. 2017
Omologia locale, cenni sull'orientazione. Omologia dei ∆-Complessi (esempi: calcolo dei gruppi di omologia del piano proiettivo reale e del toro).
[Note] §3, cor. 29 e def. 29.1. §3, esempi 40 e 41.
[Hat] Ch.2 "local homology groups" (p. 126).
24 mag. 2017 Omologia cellulare.
[Note] §3, sezione "Omologia cellulare".
[Hat] Ch.2 "Cellular Homology" (pp. 137-140).
29 mag. 2017
Omologia cellulare del Toro e del piano propiettivo, degli spazi proiettivi. Formula del bordo (cenni), esempi.
Omologia con coefficienti (cenni).
[Note] §3, sezioni "Omologia cellulare" e "Omologia con coefficienti".
[Hat] Ch.2, 2.2 "Cellular Homology" (esempio 2.42) e 2.2 "Homology with coefficients"
31 mag. 2017
Coomologia (definizioni e Teorema dei coefficienti universali).
[Note] §4 (fino al Teorema dei coefficienti universali). §A2, "Funtore Hom e coefficienti universali in coomologia" fino alla 45.2 (dimostrazione del Teorema 45 esclusa, ).
5 giu. 2017
Prodotto cup e prodotto cap. Varietà Topologiche: classe fondamentale e dualità di Poincaré (cenni).
[Note] §4 (dimostrazione del lemma 8 esclusa). §5 (senza dimostrazioni).
7 giu. 2017
Digressione sulla dualità di Poincaré (un possibile approccio diretto in ambito simpliciale). Applicazioni della teoria svolta (invarianza del dominio e della dimensione, cenni sul teorema di Jordan).
[Note] §3, sezione "risultati classici" (nuova versione del file).
[Hat] Proposizione 2B.1 pag. 169 (senza dimostrazione). Teorema 2B.3 pag. 172.
