Università Politecnica delle Marche Facoltà di Ingegneria
Scuola di Dottorato
Curriculum in Architettura, Costruzioni e Strutture
Corso di FISICA-MATEMATICA
Docente: Prof. Lucio Demeio
demeio@mta01.univpm.it, http://www.dipmat.univpm.it/ ˜ demeio/
Dipartimento di Scienze Matematiche
L’OSCILL. ARMONICO
Oscill. armonico semplice: u ¨ + ω 0 2 u = 0
Oscillazioni armoniche:
u(t) = A cos ω 0 t + B sin ω 0 t u(t) = a cos(ω 0 t + β)
Oscill. armonico smorzato: u ¨ + 2 ε ˙u + ω 0 2 u = 0
Oscillazioni armoniche smorzate:
u(t) = a e −εt cos(ν t + β) ν =
q
ω 0 2 − ε 2 supponiamo ω 0 2 > ε 2
TERMINI SECOLARI
Oscillazioni armoniche smorzate: u(t) = a e − εt cos(pω 0 2 − ε 2 t + β) Sviluppando:
u(t) = a cos(t + β) − ε t cos(t + β) + 1
2 ε 2 t [sin(t + β) + t cos(t + β)]
I termini ∼ ε t , ∼ ε 2 t 2 , ..., crescono illimitatamente nel tempo (mentre la soluzione esatta è limitata) e vengono detti termini secolari. Il loro
insorgere nelle soluzioni perturbative le rende invalide su tempi dell’ordine di t ∼ ε −1 . Molta parte dei metodi perturbativi consiste nello studio di
metodologie particolari per evitarli.
Termini secolari
Oscill. armonico forzato: u ¨ + ω 0 2 u = F cos µ t
Oscillazioni armoniche forzate:
u p (t) = F
ω 0 2 − µ 2 cos µ t, µ 6= ω 0 u(t) = a cos(ω 0 t + β) + F
ω 0 2 − µ 2 cos µ t
Per µ = ω 0 abbiamo invece u p (t) = F t sin µ t, cioè la soluzione cresce illimitatamente nel tempo ed ha un andamento secolare. L’origine del termine secolare è diversa dal caso precedente: quando µ = ω 0 il termine noto è soluzione dell’omogenea associata. Quando ciò avviene, la
soluzione particolare contiene sempre termini secolari.
L’OSCILL. ARM. SMORZATO
Oscill. armonico smorzato: u ¨ + 2 ε ˙u + u = 0
Sviluppo peturbativo diretto: u(t) = u 0 (t) + ε u 1 (t) + ε 2 u 2 (t) + o(ε 2 ) Sostituendo ed uguagliando a zero le potenze successive di ε otteniamo la gerarchia
¨
u 0 + u 0 = 0
¨
u 1 + u 1 = −2 ˙u 0
¨
u 2 + u 2 = −2 ˙u 1
Le equazioni sono non omogenee, tranne la prima; l’omogenea associata
è la stessa a tutti gli ordini
L’oscill. armonico smorzato
Soluzione all’ordine zero: u 0 (t) = a 0 cos(t + β 0 ) Al prim’ordine: u ¨ 1 + u 1 = 2 a 0 sin(t + β 0 )
Soluzione: u 1 (t) = a 1 cos(t + β 1 ) − a 0 t cos(t + β 0 ) Soluzione perturbativa:
u(t) = a 0 cos(t + β 0 ) + a 1 ε cos(t + β 1 ) − a 0 ε t cos(t + β 0 ) + o(ε)
Sono presenti termini secolari
SCALE MULTIPLE
Oscill. armonico smorzato: u ¨ + 2 ε ˙u + u = 0
Nella soluzione perturbativa compaiono sia t che ε t. Questo suggerisce di trattare t ed ε t come variabili indipendenti.
Introduciamo allora la nuova variabile temporale τ = εt
ed il nuovo sviluppo peturbativo u(t) = u 0 (t, τ ) + ε u 1 (t, τ ) + o(ε) Abbiamo per le derivate:
d
dt → ∂
∂t + ε ∂
∂τ
Scale multiple
E dunque:
˙u(t) = ∂u 0
∂t + ε ∂u 0
∂τ + ε ∂u 1
∂t + o(ε)
¨
u(t) = ∂ 2 u 0
∂t 2 + ε
2 ∂ 2 u 0
∂t ∂τ + ∂ 2 u 1
∂t 2
+ o(ε) Sostituendo:
∂ 2 u 0
∂t 2 + u 0 + ε ∂ 2 u 1
∂t 2 + u 1 + 2 ∂u 0
∂t + 2 ∂ 2 u 0
∂t ∂τ
+ o(ε) = 0 Gerarchia di equazioni
∂ 2 u 0
∂t 2 + u 0 = 0
∂ 2 u 1
∂t 2 + u 1 = −2 ∂u 0
∂t − 2 ∂ 2 u 0
∂t ∂τ
Scale multiple
Soluzione all’ordine zero:
u 0 (t, τ ) = A 0 (τ ) e it + A ∗ 0 (τ ) e −it Al prim’ordine
∂ 2 u 1
∂t 2 + u 1 = −2 i h
(A 0 + A ′ 0 ) e it −
A ∗ 0 + A ∗ 0
′e −it i
I termini proporzionali ad e it ed e −it danno luogo a comportamenti secolari e li dobbiamo eliminare
A 0 + A ′ 0 = 0
Scale multiple
Soluzione
A 0 (τ ) = A 0 (0) e −τ
In rappresentazione polare: A 0 (τ ) = R 0 e iθ
0e −τ
Ripristinando le variabili di partenza
u(t) = 2 R 0 e −ε t cos(t + θ 0 ) + o(ε)
La soluzione al prim’ordine è solo servita a sistemare quella all’ordine zero la soluzione perturbativa contiene l’effetto dello smorzamento ma non
dello spostamento in frequenza
EQUAZIONE DI DUFFING
¨
u + u + εu 3 = 0
Analisi qualitativa: y 1 = u , y 2 = ˙u
˙
y 1 = y 2
˙
y 2 = −y 1 − ε y 1 3
Moltiplicando la prima per y 1 e la seconda per y 2 e sommando abbiamo d
dt
y 1 2 + y 2 2 + ε y 1 4 4
= 0 ovvero
E = y 1 2 + y 2 2 + ε y 1 4
= cost.
Equazione di Duffing
Analogia con il moto di un punto materiale sottoposto ad un potenziale V (u) = u 2
2 + ε u 4 4
E 0 = − 1 4 ε
-2 2 u
20 40 60
V ( u )
( a )
-2 -1 1 2
- 1
-2
V ( u )
u ( b )
Equazione di Duffing
Orbite di fase
-2 -1 0 1 2
0 1 2
-2 -1
A B B
B
A
C
y1
y2
C
D