Università Politecnica delle Marche Facoltà di Ingegneria

Università Politecnica delle Marche Facoltà di Ingegneria

Scuola di Dottorato

Curriculum in Architettura, Costruzioni e Strutture

Corso di FISICA-MATEMATICA

Docente: Prof. Lucio Demeio

[email protected], http://www.dipmat.univpm.it/ ˜ demeio/

Dipartimento di Scienze Matematiche

L’OSCILL. ARMONICO

Oscill. armonico semplice: u ¨ + ω ₀ ² u = 0

Oscillazioni armoniche:

u(t) = A cos ω ₀ t + B sin ω ₀ t u(t) = a cos(ω ₀ t + β)

Oscill. armonico smorzato: u ¨ + 2 ε ˙u + ω ₀ ² u = 0

Oscillazioni armoniche smorzate:

u(t) = a e ^−εt cos(ν t + β) ν =

q

ω ₀ ² − ε ² supponiamo ω ₀ ² > ε ²

TERMINI SECOLARI

Oscillazioni armoniche smorzate: u(t) = a e ^{− εt} cos(pω ₀ ² − ε ² t + β) Sviluppando:

u(t) = a cos(t + β) − ε t cos(t + β) + 1

2 ε ² t [sin(t + β) + t cos(t + β)]



I termini ∼ ε t , ∼ ε ² t ² , ..., crescono illimitatamente nel tempo (mentre la soluzione esatta è limitata) e vengono detti termini secolari. Il loro

insorgere nelle soluzioni perturbative le rende invalide su tempi dell’ordine di t ∼ ε ⁻¹ . Molta parte dei metodi perturbativi consiste nello studio di

metodologie particolari per evitarli.

Termini secolari

Oscill. armonico forzato: u ¨ + ω ₀ ² u = F cos µ t

Oscillazioni armoniche forzate:

u _p (t) = F

ω ₀ ² − µ ² cos µ t, µ 6= ω ₀ u(t) = a cos(ω ₀ t + β) + F

ω ₀ ² − µ ² cos µ t

Per µ = ω ₀ abbiamo invece u _p (t) = F t sin µ t, cioè la soluzione cresce illimitatamente nel tempo ed ha un andamento secolare. L’origine del termine secolare è diversa dal caso precedente: quando µ = ω ₀ il termine noto è soluzione dell’omogenea associata. Quando ciò avviene, la

soluzione particolare contiene sempre termini secolari.

L’OSCILL. ARM. SMORZATO

Oscill. armonico smorzato: u ¨ + 2 ε ˙u + u = 0

Sviluppo peturbativo diretto: u(t) = u ₀ (t) + ε u ₁ (t) + ε ² u ₂ (t) + o(ε ² ) Sostituendo ed uguagliando a zero le potenze successive di ε otteniamo la gerarchia

¨

u ₀ + u ₀ = 0

¨

u ₁ + u ₁ = −2 ˙u ₀

¨

u ₂ + u ₂ = −2 ˙u ₁

Le equazioni sono non omogenee, tranne la prima; l’omogenea associata

è la stessa a tutti gli ordini

L’oscill. armonico smorzato

Soluzione all’ordine zero: u ₀ (t) = a ₀ cos(t + β ₀ ) Al prim’ordine: u ¨ ₁ + u ₁ = 2 a ₀ sin(t + β ₀ )

Soluzione: u ₁ (t) = a ₁ cos(t + β ₁ ) − a ₀ t cos(t + β ₀ ) Soluzione perturbativa:

u(t) = a ₀ cos(t + β ₀ ) + a ₁ ε cos(t + β ₁ ) − a ₀ ε t cos(t + β ₀ ) + o(ε)

Sono presenti termini secolari

SCALE MULTIPLE

Oscill. armonico smorzato: u ¨ + 2 ε ˙u + u = 0

Nella soluzione perturbativa compaiono sia t che ε t. Questo suggerisce di trattare t ed ε t come variabili indipendenti.

Introduciamo allora la nuova variabile temporale τ = εt

ed il nuovo sviluppo peturbativo u(t) = u ₀ (t, τ ) + ε u ₁ (t, τ ) + o(ε) Abbiamo per le derivate:

d

dt → ∂

∂t + ε ∂

∂τ

Scale multiple

E dunque:

˙u(t) = ∂u ₀

∂t + ε ∂u ₀

∂τ + ε ∂u ₁

∂t + o(ε)

¨

u(t) = ∂ ² u ₀

∂t ² + ε



2 ∂ ² u ₀

∂t ∂τ + ∂ ² u ₁

∂t ²



+ o(ε) Sostituendo:

∂ ² u ₀

∂t ² + u ₀ + ε  ∂ ² u ₁

∂t ² + u ₁ + 2 ∂u ₀

∂t + 2 ∂ ² u ₀

∂t ∂τ



+ o(ε) = 0 Gerarchia di equazioni

∂ ² u ₀

∂t ² + u ₀ = 0

∂ ² u ₁

∂t ² + u ₁ = −2 ∂u ₀

∂t − 2 ∂ ² u ₀

∂t ∂τ

Scale multiple

Soluzione all’ordine zero:

u ₀ (t, τ ) = A ₀ (τ ) e ^it + A ^∗ ₀ (τ ) e ^−it Al prim’ordine

∂ ² u ₁

∂t ² + u ₁ = −2 i h

(A ₀ + A ^′ ₀ ) e ^it − 

A ^∗ ₀ + A ^∗ ₀



e ^−it i

I termini proporzionali ad e ^it ed e ^−it danno luogo a comportamenti secolari e li dobbiamo eliminare

A ₀ + A ^′ ₀ = 0

Scale multiple

Soluzione

A ₀ (τ ) = A ₀ (0) e ^−τ

In rappresentazione polare: A ₀ (τ ) = R ₀ e ^iθ

e ^−τ

Ripristinando le variabili di partenza

u(t) = 2 R ₀ e ^{−ε t} cos(t + θ ₀ ) + o(ε)

La soluzione al prim’ordine è solo servita a sistemare quella all’ordine zero la soluzione perturbativa contiene l’effetto dello smorzamento ma non

dello spostamento in frequenza

EQUAZIONE DI DUFFING

¨

u + u + εu ³ = 0

Analisi qualitativa: y ₁ = u , y ₂ = ˙u

˙

y ₁ = y ₂

˙

y ₂ = −y ₁ − ε y ₁ ³

Moltiplicando la prima per y ₁ e la seconda per y ₂ e sommando abbiamo d

dt



y ₁ ² + y ₂ ² + ε y ₁ ⁴ 4



= 0 ovvero

E = y ₁ ² + y ₂ ² + ε y ₁ ⁴

= cost.

Equazione di Duffing

Analogia con il moto di un punto materiale sottoposto ad un potenziale V (u) = u ²

2 + ε u ⁴ 4



E ₀ = − 1 4 ε



-2 2 u

20 40 60

V ( u )

( a )

-2 ^-1 1 2

- 1

-2

V ( u )

u ( b )

Equazione di Duffing

Orbite di fase

-2 -1 0 1 2

0 1 2

-2 -1

A B B

B

A

C

y1

y2

C

D

A: E = E

separatrici

B: 0 < E < E

due rami, uno chiuso uno aperto C: E > E

orbite aperte

D: E < 0 due rami aperti

Sviluppo diretto

u(t) = u ₀ (t) + ε u ₁ (t) + ε ² u ₂ (t) + o(ε ² ) Sostituendo

¨

u ₀ + u ₀ = 0

¨

u ₁ + u ₁ + u ³ ₀ = 0

Soluzione all’ordine zero u ₀ (t) = a ₀ cos(t + β ₀ )

All’ordine uno u ¨ ₁ + u ₁ = − ^a ₄

[cos 3 (t + β ₀ ) + 3 cos(t + β ₀ )]

u ₁ (t) = a ₁ cos(t + β ₁ ) + a ³ ₀ 8

 1

4 cos 3 (t + β ₀ ) − 3 t cos(t + β ₀ )

 u(t) = a ₀ cos(t + β ₀ ) + ε {a ₁ cos(t + β ₁ )

+ a ³ ₀ 8

 1

4 cos 3 (t + β ₀ ) − 3 t cos(t + β ₀ )



+ o(ε ² )

Scale multiple: equazioni

u(t) = u ₀ (t, τ ) + ε u ₁ (t, τ ) + o(ε) Sostituendo

∂ ² u ₀

∂t ² + u ₀ = 0

∂ ² u ₁

∂t ² + u ₁ = −2 ∂ ² u ₀

∂t∂τ − u ³ ₀ u ₀ (t, τ ) = A ₀ (τ ) e ^it + A ^∗ ₀ (τ ) e ^−it

∂ ² u ₁

∂t ² + u ₁ = (−2 i A ^′ ₀ + 3 A ² ₀ A ^∗ ₀ ) e ^it − A ³ ₀ e ^{3 i t} + c.c.

Eliminazione termini secolari: −2 i A ^′ ₀ + 3 A ² ₀ A ^∗ ₀ = 0

Scale multiple: soluzione

A ₀ (τ ) = R(τ ) e ^{i Θ(τ )} ,

u ₀ (t, τ ) = R(τ ) e ^{i (t+Θ(τ ))} + c.c

e quindi, posto τ = ε t ,

u(t) = 2 R ₀ cos 

1 + ³ ₂ ε R ₀ ²
t + Θ ₀