Scritto d’esame di Matematica I
Pisa, 19 Gennaio 2005
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il lim
x→1+
(x + 1) log x p(x − 1)(2x− 2). 2. Studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri
Z +∞
1
dx e2x− 1,
Z +∞
0
dx e2x− 1, e, nel caso in cui convergano, determinarne il valore.
3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da xn+1=p
x2n− xn+ 7, x0 = α.
(a) Determinare il limite della successione nel caso particolare α = 2005.
(b) Determinare il limite della successione nel caso particolare α = 0.
4. Consideriamo la funzione
f (x, y) = sin x + sin y, ed il quadrato Q = [0, 2π] × [0, 2π].
(a) Determinare i punti stazionari di f (x, y) contenuti in Q, precisando se si tratta di punti di massimo/minimo relativo.
(b) Calcolare massimo e minimo di f (x, y) in Q, determinando anche i punti di massimo e minimo.
(c) La funzione f (x, y), su tutto il piano, alterna zona in cui `e positiva (“monta- gne”) e zone in cui `e negativa (“laghi”). Determinare il volume di uno di questi laghi.
Scritto d’esame Telecomunicazioni 2005 1
Scritto d’esame di Matematica I
Pisa, 5 Febbraio 2005
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il
x→0lim
log(ex− x) cosh2x − 1. 2. Calcolare il massimo ed il minimo della funzione
f (x) = x + 2| cos x|
al variare di x in [0, 2π], determinando anche i punti di massimo/minimo.
3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da
xn+1 = xnexn− arctan n, x0 = 2005.
(a) Dimostrare che xn`e limitata inferiormente.
(b) Determinare se xn `e monotona.
(c) Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il limite della successione.
(d) Determinare se esistono dei valori di a0 per cui la successione risulta limitata.
4. Sia
R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ 1}.
Calcolare
Z
R
|y − sin x| dx dy.
Scritto d’esame di Matematica I
Pisa, 23 Febbraio 2005
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il
x→+∞lim
log(ex− x2) x + sin3x2 . 2. Consideriamo la funzione
f (x) = arctan x2− sin2x .
(a) Dimostrare che l’origine `e un punto stazionario, precisando se si tratta di un punto di massimo/minimo locale o di flesso.
(b) Determinare i primi due termini non nulli dello sviluppo di Taylor di f (x) con centro in x = 0.
(c) Dimostrare che, per ogni intero n ≥ 1, esiste un unico numero reale xn > 0 tale che
f (xn) = 1 n. Studiare quindi il comportamento della serie
∞
X
n=1
xn.
3. Determinare il volume e le coordinate del baricentro del solido ottenuto dalla rotazione completa della figura
F = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x4} intorno all’asse x.
4. Consideriamo il problema di Cauchy
u00− 3u0+ 2u = t2, u(0) = α, u0(0) = 0.
(a) Trovare la soluzione del problema nel caso particolare α = 0.
(b) Determinare per quali valori di α si ha che
t→+∞lim u(t) = −∞.
Scritto d’esame Telecomunicazioni 2005 3
Scritto d’esame di Matematica I
Pisa, 16 Giugno 2005
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il
x→0lim
sinh x2 − x2cosh x
√1 + x4− cos x2 .
2. Determinare quante sono le soluzioni reali dell’equazione x − 2| sin x| = 0.
3. Studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri Z +∞
1
log(1 + x) x2 dx,
Z +∞
0
log(1 + x) x2 dx, e, nel caso in cui convergano, determinarne il valore.
4. (a) Risolvere il problema di Cauchy
u00+ 4u0 + 5u = cos(3t), u(0) = 0, u0(0) = 1.
(b) Dire se esiste, ed in caso affermativo determinare, un’equazione differenziale autonoma (di qualunque ordine) di cui la funzione trovata al punto precedente sia una soluzione.
Scritto d’esame di Matematica I
Pisa, 5 Luglio 2005
1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il
x→0lim
√1 + x4− cosh x2 sinh x4− x4cosh x2. 2. Determinare per quali valori del parametro λ l’equazione
logp
sin3x + cos x = λ ammette almeno una soluzione reale.
3. Consideriamo la funzione
f (x, y) = xy + x4+ y4.
(a) Calcolare massimo e minimo di f (x, y) al variare di (x, y) nel cerchio con centro nell’origine e raggio 1, determinando anche i punti di massimo e di minimo.
(b) Calcolare l’estremo superiore di f (x, y) su tutto il piano.
(c) Calcolare l’estremo inferiore di f (x, y) su tutto il piano.
4. Calcolare
Z
S
(y2+ z2) dx dy dz,
dove S `e la sfera di R3 che ha centro nell’origine e la cui superficie passa per il punto (2, 0, −1).
Scritto d’esame Telecomunicazioni 2005 5
Scritto d’esame di Matematica I
Pisa, 26 Luglio 2005
1. Dire se esistono, ed in caso affermativo calcolare, i seguenti due limiti:
x→0lim
1 − cosh x − sinh x2
ex2 − cos x , lim
x→+∞
1 − cosh x − sinh x2 ex2 − cos x . 2. (a) Calcolare massimo e minimo della funzione
f (x) = sin x + cos(2x) al variare di x in R.
(b) Determinare, in funzione del parametro reale α, massimo e minimo della funzione
f (x) = sin x + α cos(2x) al variare di x in R.
3. Consideriamo la successione
an = n4+ 4n n5+ λn, dove λ `e un parametro reale positivo.
(a) Determinare, al variare del parametro λ > 0, il limite della successione.
(b) Determinare per quali valori del parametro la serie
∞
X
n=0
an
risulta convergente.
4. Sia T il triangolo, nel piano cartesiano, con vertici in (1, 0), (0, 1), (2, 2). Calcolare Z
T
(3 + xy) dx dy.
