CALCOLO FRAZIONARIO & VISCOELASTICIT `A

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CALCOLO FRAZIONARIO

&

VISCOELASTICIT ` A

Mario Di Paola, Francesco Paolo Pinnola

Dipartimento di Ingegneria Civile Ambientale e Aerospaziale Universit`a degli Studi di Palermo

Viale delle Scienze - 90128 Palermo

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Prof. Mario Di Paola

e-mail:[email protected]

Francesco Paolo Pinnola

e-mail:[email protected]

Composto in L^ATEX

Esempi e grafici eseguiti in Wolfram Mathematica^©

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“Thus it follows that d^1/2x will be equal to x√ dx : x, an apparent paradox, from which one day useful consequences will be drawn.”¹

1G. W. Leibniz, lettera da Hannover, Germania, 30 Settembre 1695, inviata a G.A.

l’Hˆopital.

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Indice

Prefazione xi

Simboli Adottati xv

1 Funzioni Speciali e Trasformate 1

1.1 Funzioni Speciali . . . 1

1.1.1 La Funzione Gamma di Eulero . . . 1

1.1.2 La Beta di Eulero . . . 5

1.1.3 La Funzione di Mittag-Leffler . . . 6

1.1.4 La Funzione di Wright . . . 8

1.2 Le Funzioni di Bessel . . . 8

1.2.1 La Funzioni di Prima e Seconda Specie . . . 8

1.2.2 Le Funzioni di Hankel . . . 10

1.2.3 Le Funzioni di Bessel Modificate . . . 11

1.3 La Trasformata di Laplace . . . 13

1.3.1 Propriet`a della Trasformata di Laplace . . . 13

1.3.2 Applicazione alle Equazioni Differenziali . . . 15

1.4 La Trasformata di Fourier . . . 17

1.4.1 Propriet`a della Trasformata di Fourier . . . 23

1.4.2 Applicazione alle Equazioni Differenziali . . . 24

1.5 La Trasformata di Mellin . . . 25

1.5.1 La Striscia Fondamentale . . . 26

1.5.2 Propriet`a della Trasformata di Mellin . . . 27

2 Il Calcolo Frazionario 31 2.1 Cenni Storici . . . 31

2.2 Derivate e Integrali Frazionari . . . 33

2.2.1 Il Differintegrale di Gr¨unwald-Letnikov . . . 34 v

(6)

2.2.2 La Formulazione di Riemann-Liouville . . . 37

2.2.3 Gli Integrali Frazionari di Riesz . . . 38

2.2.4 L’Approccio di Caputo . . . 39

2.3 Propriet`a degli Operatori Frazionari . . . 40

2.3.1 La Linerarit`a . . . 40

2.3.2 La Regola di Leibniz . . . 41

2.3.3 La Regola dei Semigruppi . . . 42

2.4 Trasformata di Laplace degli Operatori Frazionari . . . 43

2.4.1 Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Rie- mann-Liouville . . . 43

2.4.2 Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Ca- puto . . . 43

2.4.3 Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Gr¨unwald-Letnikov . . . 44

2.5 Trasformata di Fourier degli Operatori Frazionari . . . 44

2.5.1 Trasformata di Fourier dell’Integrale Frazionario . . . . 44

2.5.2 Trasformata di Fourier della Derivata Frazionaria . . . . 45

2.6 Trasformata di Mellin degli Operatori Frazionari . . . 46

2.6.1 Trasformata di Mellin dell’Integrale Frazionario di Rie- mann-Liouville . . . 46

2.6.2 Trasformata di Mellin della Derivata Frazionaria di Rie- mann-Liouville . . . 47

2.6.3 Trasformata di Mellin della Derivata Frazionaria di Caputo 48 2.7 Alcuni Esempi di Derivate Frazionarie . . . 48

2.7.1 Gradino di Heaviside . . . 49

2.7.2 Funzione Potenza . . . 50

3 La Viscoelasticit`a Lineare 51 3.1 Il Modello Elastico (Hooke) . . . 52

3.2 Il Modello Viscoso (Newton-Petroff ) . . . 53

3.3 I Modelli Viscoelastici . . . 54

3.3.1 Il Modello di Maxwell . . . 54

3.3.2 Il Modello di Kelvin-Voigt . . . 55

3.3.3 Gli Altri Modelli Classici . . . 56

3.4 La Funzione di Creep e di Rilassamento . . . 59

3.4.1 Il Principio di Sovrapposizione di Boltzmann . . . 60

3.4.2 La Funzione di Creep e di Rilassamento per il Modello di Maxwell . . . 63

(7)

INDICE vii

3.4.3 La Funzione di Creep e di Rilassamento per il Modello

di Kelvin-Voigt . . . 64

3.5 I Modelli di Ordine Frazionario . . . 65

3.5.1 L’esperienza di Nutting . . . 66

3.5.2 Lo Spring-pot . . . 67

3.5.3 La Formulazione Integrale del Modello Frazionario . . . 69

3.5.4 I Modelli Generalizzati . . . 71

A Tabelle sulle Trasformate 73 A.1 Trasformate di Laplace . . . 73

A.2 Trasformate di Fourier . . . 74

A.3 Trasformate di Mellin . . . 75

B Tabelle sulle Derivate Frazionarie 77 B.1 Derivate di Riemann-Liouville con a = −∞ . . . 77

B.2 Derivate di Riemann-Liouville con a = 0 . . . 78

C Comandi in Mathematica^© 79 C.1 Funzioni Speciali . . . 79

C.2 Funzioni di Bessel . . . 79

C.3 Trasformate Integrali . . . 80

C.4 Differintegrali . . . 80

Bibliografia 83

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Elenco delle figure

1.1 Funzione Gamma Abs . . . 2

1.2 Funzione Gamma . . . 4

1.3 Funzione di Bessel di prima specie . . . 9

1.4 Funzione di Bessel di seconda specie . . . 10

1.5 Funzioni di Hankel . . . 11

1.6 Funzioni di Bessel modificate . . . 12

1.7 Funzione Rettangolo . . . 19

1.8 Funzione Dispari . . . 20

1.9 Funzione f (t) = sin(t)e^−tH(t) . . . 21

1.10 Trasformata di Fourier di f (t) = sin(t)e^−tH(t) . . . 22

2.1 Derivata frazionaria della funzione gradino di Heaviside . . . . 49

3.1 Modello di Hooke . . . 52

3.2 Modello di Newton-Petroff . . . 53

3.3 Modello di Maxwell . . . 54

3.4 Modello di Kelvin Voigt . . . 56

3.5 Modelli SLS o di Zener . . . 57

3.6 Modelli classici discreti . . . 58

3.7 Funzione di Creep . . . 60

3.8 Funzione di Rilassamento . . . 60

3.9 Programma di Carico e Risposta . . . 61

3.10 Programma di Carico Generico . . . 62

3.11 Funzione di Rilassamento e Creep Maxwell . . . 64

3.12 Funzione di Rilassamento e Creep Kelvin Voigt . . . 65

3.13 Spring-Pot . . . 68

ix

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Prefazione

La teoria sulla derivazione di ordine non intero risale al 1695, quando nelle note che Leibniz scrisse a l’Hˆopital, si discuteva del significato della derivata di ordine ¹₂. Questo evento diede il via allo studio delle derivate e degli integrali di ordine arbitrario, continuato verso la fine del XIX secolo da Liouville, Gr¨unwald, Letnikov e Riemann.

Nasce cos`ı il Calcolo Frazionario che, per circa 200 anni trova sviluppo solo dal punto di vista teorico rimanendo di uso prettamente matematico.

Intorno agli anni ’50 del secolo scorso alcuni studiosi cominciano ad usare gli integrali e le derivate di ordine non intero per descrivere le propriet`a di vari materiali, come ad esempio le propriet`a viscoelastiche dei polimeri.

Iniziano cos`ı a manifestarsi le potenzialità del calcolo frazionario che oggi trova applicazione in diverse branche della Fisica e della Chimica, in quanto permette una raffinata modellazione delle proprietà meccaniche ed elettriche dei materiali reali. Nell’ingegneria, recenti applicazioni delle derivate frazionarie per la modellazione geotecnica, hanno permesso una accurata descrizione delle pro- prietà reologiche di alcune famiglie di rocce. Il testo di M. Caputo [10], pubbli- cato nel 1969, fornisce una particolare definizione di differenziazione frazionaria per la formulazione e la risoluzione di problemi di viscoelasticità.

Un altro campo dove trova impiego la derivata di ordine non intero `e la recente Teoria dei Frattali, infatti lo sviluppo di tale teoria ha fornito ulteriori prospettive per l’applicazione della derivazione frazionaria, specialmente per la modellazione dei processi dinamici di autosimilarit`a e per lo studio delle strutture porose.

Gli integrali e le derivate frazionarie sono anche utilizzate nella teoria di controllo dei sistemi dinamici, governati da equazioni differenziali frazionarie.

Il calcolo frazionario rappresenta l’argomento base del presente testo, esso infatti verrà applicato alla viscoelasticità, proprietà che caratterizza il legame costitutivo della maggior parte dei materiali impiegati nell’ingegneria civile. Il

xi

(12)

comportamento viscoelastico, intermedio tra il perfettamente elastico (con legame costitutivo governato dalla Legge di Hooke) e il perfettamente viscoso (con legame costitutivo governato dalla Legge di Newton), `e stato oggetto di diversi studi fin dal XIX secolo, pionieri della viscoelasticit`a furono i fisici James Clerk Maxwell, Ludwig Eduard Boltzmann e William Thomson Kelvin, i quali studiarono il fenomeno su diversi materiali, tra cui vetro, metalli e gomme.

Sia il comportamento perfettamente elastico che il perfettamente viscoso rappresentano una comoda idealizzazione che permette di risolvere con buona approssimazione diversi problemi rilevanti nell’ambito ingegneristico. In natu- ra però non esistono degli elementi il cui comportamento appartiene all’uno o all’altro campo. Si è osservato sperimentalmente che diversi materiali se sot- toposti ad un carico costante che permane nel tempo fluiscono plasticamente, distinguendosi dai solidi perfettamente elastici; inoltre, una volta rimosso il carico, essi recuperano una parte della deformazione, distinguendosi anche dai liquidi perfettamente viscosi. Per tale motivo, in certi casi, nasce la necessità di caratterizzare determinati materiali con un comportamento che manifesti al contempo proprietà elastiche e proprietà viscose.

In definitiva il perfettamente elastico e il perfettamente viscoso devono essere visti come fenomeni limite, che circoscrivono un ampio campo di comportamento che `e appunto quello viscoelastico.

Per simulare il comportamento viscoelastico si è spesso fatto ricorso a dei modelli discreti composti da elementi elastici perfetti (molle caratterizzate dal modulo elastico E) e da elementi perfettamente viscosi (pistoncini in bagno d’olio caratterizzati dalla viscosità µ) opportunamente accoppiati, ma tali modelli riescono a simulare il reale comportamento dei materiali reali solo diven- tando delle complicate successioni di numerosi elementi. George William Scott Blair, intorno agli anni ’50 del secolo scorso, introdusse un modello basato sulla derivate frazionarie che si dimostrò più efficace nell’interpretazione dei risulta- ti sperimentali rispetto ai modelli discreti. Quest’ultima tipologia di modello, chiamato modello viscoelastico di ordine frazionario, rappresenta l’argomento centrale del presente testo, il quale è organizzato in sei capitoli.

Nel Capitolo 1 verranno introdotte alcune funzioni speciali, la cui conoscenza è necessaria per una piena comprensione del calcolo frazionario. Inoltre saranno richiamate le definizioni delle trasformate integrali di Laplace, di Fou- rier e di Mellin e verranno mostrate alcune delle loro proprietà fondamentali, la cui comprensione servirà a estenderne l’applicabilità alle derivate e agli integrali di ordine frazionario.

Nel Capitolo 2 si affronter`a lo studio dei concetti base del Calcolo Fraziona-

(13)

xiii

rio, infatti in esso verranno introdotti gli Operatori Frazionari, in particolare saranno mostrate le principali definizioni, fornite nel tempo da diversi ma- tematici, di derivata e integrale frazionario e le relative propriet`a. Inoltre, le trasformate integrali e le loro particolari propriet`a verranno applicate al calcolo differenziale frazionario.

Nel Capitolo 3 si introdurranno alcuni concetti relativi alla viscoelasticità lineare. In particolare nella prima parte si mostrerà l’approccio classico allo studio del fenomeno viscoelastico, basato sulla combinazione di elementi semplici (molle e pistoncini) per la modellazione del materiale e sulla formulazione integrale fornita da Boltzmann. Mentre nella seconda parte del capitolo si introdurrà il modello frazionario (Spring-Pot ) che risulterà più accurato rispetto ai modelli classici costituiti da elementi puramente elastici ed elementi puramente viscosi.

Ulteriori approfondimenti in merito agli argomenti trattati possono essere trovati nelle Appendici.

(14)

Si fornisce adesso una chiave di lettura della bibliografia inerente gli argomenti trattati nei primi due Capitoli:

• le funzioni speciali, che verranno introdotte nel Capitolo 1, in particolare la gamma e la beta di Eulero e le relative propriet`a possono essere appro- fondite nei testi [33], [12], [25], [27] e [29], mentre ulteriori informazioni sulle funzioni di Mittag-Leffler e di Wright sono contenute rispettivamente in [22] e in [20];

• per l’approfondimento delle trasformate integrali di Fourier e di Laplace e delle loro propriet`a si rimanda ai testi [1], [7] e [12], invece per la trasformata integrale di Mellin oltre al [12] si consigliano il [31] e il Capitolo 9 del [45];

• il calcolo frazionario, il cui studio verr`a affrontato nel Capitolo 2, `e ampiamente trattato nei testi [9], [24], [25], [27], [29], [33] e [36];

• alcune dimostrazioni sull’applicazione delle trasformate integrali agli operatori frazionari omesse nel presente lavoro sono contenute nei testi [25]

e [33];

• diverse informazioni in merito agli argomenti trattati sono contenute nei link del portale Wolfram MathWorld richiamati in [46], [47], [48], [49], [50], [51] e [52].

(15)

Simboli Adottati

In matematica spesso vi sono diverse notazioni per indicare lo stesso elemento, sia esso un operatore differenziale, una variabile reale, una trasformata integrale, ecc.; anche gli operatori di derivazione e di integrazione frazionaria non sempre si trovano indicati allo stesso modo. Nel seguito verr`a utilizzata la seguente notazione.

Notazione Descrizione

f (t) Funzione di variabile reale t

aD^α_t Simbolo di operatore differintegrale frazionario

aI^α_t Simbolo di operatore integrale frazionario

CaD^α_t Simbolo di operatore differintegrale di Caputo α o β Ordine di differintegrazione

a Estremo inferiore

t Variabile temporale e/o estremo superiore z o s Variabile complessa

j o i Unit`a immaginaria j = i =√

−1 N Insieme dei numeri Naturali R Insieme dei numeri Reali C Insieme dei numeri Complessi

∗ Prodotto di convoluzione xv

(16)

Notazione Descrizione

L{} L⁻¹{} Operatore trasformata e antitrasformata di Laplace F {} F⁻¹{} Operatore trasformata e antitrasformata di Fourier M{} M⁻¹{} Operatore trasformata e antitrasformata di Mellin

FL(s) Funzione trasformata di Laplace FF(ω) Funzione trasformata di Fourier FM(s) Funzione trasformata di Mellin

<() Parte reale di un numero complesso

=() Parte immaginaria di un numero complesso Γ(z) Funzione gamma di Eulero

β(z, ω) Funzione beta di Eulero E_{α, β}(z) Funzione di Mittag-Leffler W (z, α, β) Funzione di Wright

Jν(z) e Yν(z) Funzioni di Bessel di prima e seconda specie Hν⁽¹⁾(z) e Hν⁽²⁾(z) Funzioni di Hankel

Iν(z) e Kν(z) Funzioni di Bessel modificate

δ(t) Funzione generalizzata delta di Dirac H(t) Funzione gradino di Heaviside

Rect(t) Funzione rettangolo

Si osservi che in genere un Operatore Frazionario `e definito dall’ordine di differintegrazione, dall’estremo inferiore e dall’estremo superiore. L’ordine di differintegrazione (positivo nel caso di derivazione e negativo nel caso di integrazione) `e indicato con n se intero, con α se reale o complesso.

(17)

Capitolo 1

Funzioni Speciali e Trasformate

In questo capitolo vengono introdotte alcune funzioni speciali, la cui conoscenza

`

e necessaria per comprendere appieno il calcolo frazionario e gli argomenti trattati nei successivi capitoli.

Inoltre verranno richiamati alcuni concetti generali inerenti le trasformate integrali di Laplace, di Fourier e di Mellin. Si porrà attenzione su alcune pro- prietà delle trasformate usate nel calcolo differenziale ordinario. La conoscenza di tali proprietà renderà più agevole l’applicazione delle trasformate al calcolo frazionario, trattata nel capitolo successivo.

1.1 Funzioni Speciali

Si riportano di seguito alcune funzioni che stanno alla base del calcolo frazionario e ne vengono descritte sinteticamente le principali propriet`a, rimandando, per l’eventuale approfondimento, ad altri testi specifici citati in Bibliografia.

In particolare verranno trattate la Funzione Gamma e Beta di Eulero, la Funzione di Mittag-Leffler e la Funzione di Wright.

1.1.1 La Funzione Gamma di Eulero

Una delle funzioni fondamentali del calcolo frazionario `e la Funzione Gamma di Eulero Γ(z), che generalizza il concetto di fattoriale n! estendendo il calcolo a valori non interi e/o complessi di n. Infatti tale funzione nasce da un

1

(18)

problema di interpolazione posto in una lettera da Christian Goldbach (1690- 1764) all’allora ventiduenne Leonardo Eulero (1707-1783): trovare una formula

“semplice” per il calcolo dei fattoriali che sia estendibile anche a numeri non interi.

La funzione Gamma `e definita nel semipiano delle z positive dal seguente integrale:

Γ(z) = Z ∞

0

e^−tt^z−1dt (1.1)

che converge nella met`a destra del piano complesso (ovvero con <(z) > 0);

infatti se z = x + jy si ottiene:

Γ(x + jy) = Z ∞

0

e^−tt^x−1+jy dt = Z ∞

0

e^−tt^x−1e^{jy log (t)}dt

= Z ∞

0

e^−tt^x−1[cos (y log (t)) + j sin (y log (t))] dt

(1.2)

l’espressione contenuta nelle parentesi quadre della (1.2) è limitata ∀t, la convergenza a infinito è data da e^−t, e per la convergenza a t = 0 si deve avere x = <(z) > 1. La gamma di Eulero è una funzione meromorfa, ha dei poli

-4

-2 0

2

Re

-1 0

1 Im

0 1

2 3

ÈGHzLÈ

Figura 1.1: Valore Assoluto della Funzione Gamma di Eulero sul Piano di Gauss (|Γ(z)| per valori di z ∈ C).

semplici per x = −n (con n = 1, 2, 3 · · · ) ed `e continua e positiva sui reali

(19)

1.1 Funzioni Speciali 3

positivi di z (ovvero per <(z) > 0). La Figura 1.1 mostra il grafico del valore assoluto della funzione gamma di Eulero sul piano di Gauss (|Γ(z)| per z ∈ C), in esso `e possibile osservare la presenza di singlarit`a isolate per x = −n.

Oltre alla rappresentazione integrale data in (1.1) vi `e un’espressione alternativa della funzione gamma di Eulero, fornita da Gauss:

Γ(z) = lim

n→∞

n!n^z

z(z + 1) . . . (z + n) (1.3) Dalla rappresentazione integrale si deducono immediatamente alcune for- mule notevoli di calcolo di integrali. La pi`u nota `e la seguente:

√π = Γ 1 2

= Z ∞

0

t⁻¹²e^−t dt (1.4)

La tabella seguente mostra alcuni valori notevoli della funzione gamma.

Γ −³₂ = ⁴₃√

π Γ(1) = 1

Γ(−1) = ±∞ Γ ³₂ = ¹₂√ π

Γ − ¹₂ = −2√

π Γ(2) = 1

Γ(0) = ±∞ Γ ⁵₂ = ³₄√ π

Γ ¹₂ =√

π Γ(3) = 2

Tabella 1.1: Γ(x) per −³₂ ≤ x ≤ 2

Propriet`a della Funzione Gamma

Una propriet`a fondamentale della funzione gamma `e la seguente:

Γ(z + 1) = zΓ(z) (1.5)

(20)

che pu`o essere dimostrata integrando per parti:

Γ(z + 1) = Z ∞

0

e^−tt^z dt = − e^−tt^zt=∞

t=0 + z Z ∞

0

e^−tt^z−1dt = zΓ(z) (1.6) tenendo conto della (1.5) e sapendo che Γ(1) = 1 si ottiene che:

Γ(2) = 1Γ(1) = 1 = 1!

Γ(3) = 2Γ(2) = 2 · 1! = 2!

Γ(4) = 3Γ(3) = 3 · 2! = 3!

· · · ·

Γ(n + 1) = nΓ(n) = n · (n − 1)! = n!

(1.7)

tale propriet`a `e evidente in Figura 1.2(a); infatti essa mostra il grafico della

-4 -2 2 4 x

-5 5 10 GHxL

(a) Γ(x)

-4 -2 2 4 x

-2 -1 1 2 3 4 1 G HxL

(b) Γ(x)⁻¹

Figura 1.2: Funzione Gamma di Eulero e sua reciproca per valori di x ∈ R.

funzione Γ(x) per x ∈ R e vi sono indicati in rosso i punti aventi ascissa x = n (con n ∈ N) e ordinata pari a Γ(n) = (n − 1)!.

Nelle espressioni di operatore frazionario, che verranno introdotte nel capitolo successivo, comparirà la funzione reciproca di gamma, ovvero Γ(x)⁻¹, il cui grafico per x ∈ R è riportato in Figura 1.2(b), in esso si osserva che la funzione è oscillante per valori negativi dell’argomento x e tende a zero per

(21)

x → ∞. Inoltre, dai grafici si può osservare che la funzione Γ(z) è una funzione senza zeri al finito, per cui la sua reciproca è una funzione intera.

Una particolare propriet`a della funzione gamma `e data dalla seguente relazione:

Γ(z)Γ(1 − z) = π

sin πz (1.8)

l’espressione (1.8) `e detta Formula di Riflessione di Eulero.

Vale inoltre la seguente relazione:

Γ(z)Γ

z +1

2

= 2^1−2z√

π · Γ(2z); (2z 6= 0, −1, −2, . . .) (1.9) nota come Formula di Duplicazione. Tale espressione `e un caso particolare della Formula di Moltiplicazione:

Γ(z)Γ

z + 1

m

Γ

z + 2

m

. . . Γ

z +m − 1 m

= (2π)^m−1² m⁽¹²^−mz)Γ(mz) (1.10) La derivata della funzione gamma pu`o essere espressa in funzione di se stessa e di altre funzioni, per esempio:

Γ⁰(z) = Γ(z) · ψ0(z)

in cui ψ0 `e la Funzione Poligramma di Ordine 0 ; in particolare:

Γ⁰(1) = −γ

dove γ `e la Costante di Eulero-Mascheroni (γ = 0, 57721566).

1.1.2 La Beta di Eulero

Spesso nel calcolo frazionario si preferisce usare la funzione Beta di Eulero, invece di ricorrere ad una determinata combinazione di funzioni gamma. Tale funzione, detta anche integrale di Eulero del primo tipo, solitamente `e espressa dalla seguente equazione:

β(z, ω) = Z 1

0

τ^z−1(1 − τ )^ω−1dτ ; <(z) > 0, <(ω) > 0

(1.11) La relazione tra la funzione gamma (1.1) e la funzione beta (1.11) si ottiene ricorrendo alla trasfomata di Laplace. Si definisce il seguente integrale di convoluzione delle funzioni t^z−1e t^ω−1:

hz,ω(t) = Z t

0

τ^z−1(1 − τ )^ω−1dτ (1.12)

(22)

inoltre risulta che hz,ω(1) = β(z, ω). Operando la trasformata di Laplace della funzione h_z,ω(t), denotata con H_Lz,ω(s), e tenendo conto del fatto che la trasformata della convoluzione di due funzioni `e pari al prodotto delle loro trasformate, si ottiene:

H_Lz,ω(s) = Γ(z) s^z ·Γ(ω)

s^ω = Γ(z)Γ(ω)

s^z+ω . (1.13)

Essendo il prodotto Γ(z)Γ(ω) una costante, si pu`o riottenere la funzione data hz,ω(t) a partire dalla sua trasformata H_Lz,ω(s) facendo l’antitrasformata (o trasformata inversa), ovvero:

h_z,ω(t) = Γ(z)Γ(ω)

Γ(z + ω)t^z+ω−1 (1.14)

l’espressione (1.14) particolarizzata per t = 1 restituisce la funzione beta:

β(z, ω) = Γ(z)Γ(ω)

Γ(z + ω) (1.15)

quest’ultima espressione, a differenza della (1.11) definita solo per <(z) > 0 e

<(ω) > 0, definisce la funzione beta sull’intero piano complesso. Inoltre dalla (1.15) si evince che:

β(z, ω) = β(ω, z) (1.16)

1.1.3 La Funzione di Mittag-Leffler

Il matematico svedese Magnus Gustaf (G¨otta) Mittag-Leffler ha introdotto nel 1903 la funzione speciale E_α(z); tale funzione `e definita dalla seguente serie di potenze:

Eα(z) =

∞

X

k=0

z^k

Γ(αk + 1) (1.17)

la (1.17) rappresenta la funzione di Mittag-Leffler (M-L) nella forma ad un parametro α, ne esiste anche una forma alternativa a due parametri α e β spesso usata nel calcolo frazionario ed espressa dalla seguente equazione:

E_α,β(z) =

∞

X

k=0

z^k

Γ(αk + β); (α > 0, β > 0) (1.18)

(23)

Si riportano di seguito alcuni casi notevoli:

E_1,1(z) =

∞

X

k=0

z^k Γ(k + 1) =

∞

X

k=0

z^k

k! = e^z (1.19)

E_1,2(z) =

∞

X

k=0

z^k Γ(k + 2) =

∞

X

k=0

z^k

(k + 1)! = 1 z

∞

X

k=0

z^k+1

(k + 1)! = e^z− 1

z (1.20)

E_1,3(z) =

∞

X

k=0

z^k Γ(k + 3) =

∞

X

k=0

z^k

(k + 2)! = 1 z²

∞

X

k=0

z^k+2

(k + 2)! = e^z− 1 − z

z² (1.21) e in generale per α = 1 e β qualsiasi si ha:

E1,m(z) = 1 z^m−1

e^z

m−2

X

k=0

z^k k!

(1.22) Per β = 1 e α generico si ottiene la funzione ad un parametro espressa dalla (1.17):

Eα,1(z) =

∞

X

k=0

z^k

Γ(αk + 1) ≡ E_α(z) (1.23)

La funzione, al variare dei parametri α e β, risulta legata a diverse funzioni elementari. Il seno e il coseno iperbolico possono essere considerati come casi particolari della funzione M-L, infatti:

E_2,1(z²) =

∞

X

k=0

z^2k Γ(2k + 1) =

∞

X

k=0

z^2k

(2k)! = cosh(z) (1.24)

E_2,2(z²) =

∞

X

k=0

z^2k

Γ(2k + 2) = 1 z

∞

X

k=0

z^2k+1

(2k + 1)! = sinh(z)

z (1.25)

Un altro caso particolare si ottiene per α = ¹₂ e β = 1:

E¹

2,1(z) =

∞

X

k=0

z^k

Γ(^k₂ + 1) = e^z²erfc(−z) (1.26) dove erfc(−z) indica la funzione degli errori complementare (o funzione degli errori di Gauss), definita come:

erfc(z) = 2

√π Z ∞

z

e^−t² dt (1.27)

(24)

1.1.4 La Funzione di Wright

La Funzione di Wright `e utile per la soluzione delle equazioni differenziali frazionarie. `E strettamente correlata alla funzione M-L a due parametri ed ha la seguente espressione:

W (z; α, β) =

∞

X

k=0

z^k

k!Γ(αk + β) (1.28)

particolarizzata per α = 0 e β = 1 diventa:

W (z; 0, 1) =

∞

X

k=0

z^k k!Γ(1) =

∞

X

k=0

z^k

k! = e^z (1.29)

per β = 1 − α si ottiene la Funzione di Mainardi M (z; α):

W (−z; −α, 1 − α) = M (z; α) =

∞

X

k=0

(−1)^kz^k

k!Γ[−α(k + 1) + 1] (1.30)

1.2 Le Funzioni di Bessel

Le funzioni di Bessel sono una vasta famiglia di funzioni speciali, nel presente paragrafo ci si limiter`a ad introdurre solo quelle necessarie per la comprensione di alcuni passaggi che seguiranno nei capitoli successivi, per l’eventuale approfondimento dell’argomento si rimanda al testo [35] dove sono ampiamente trattate.

1.2.1 La Funzioni di Prima e Seconda Specie

Le prime due funzioni di Bessel rappresentano le soluzioni canoniche dell’equazione di Bessel definita di seguito

z²d²y_ν(z)

dz² + zdy_ν(z)

dz + (z²− ν²)y_ν(z) = 0, (1.31) si osserva che tale equazione rappresenta un’equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, per cui devono esistere almeno due soluzioni linearmente indipendenti. Le altre soluzioni su un determinato intervallo si possono ottenere

(25)

1.2 Le Funzioni di Bessel 9

come combinazione lineare delle due linearmente indipendenti. Una possibile soluzione all’equazione di Bessel avr`a la seguente forma

Jν(z) = z^ν

∞

X

k=0

ckz^k (1.32)

sostituendo la (1.32) nella (1.31) e ponendo ν non negativo si ottiene

Jν(z) =

z 2

ν ∞

X

n=0

(−1)ⁿ ^z₂2n

n!Γ(n + ν + 1) (1.33)

l’espressione (1.33), prima soluzione della (1.31), `e nota in letteratura come funzione di Bessel di prima specie. In Figura 1.3 `e riportato il grafico della J_ν(z) per alcuni valori di ν.

2 4 6 8 10 12 14 z

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

JΝHzL

Figura 1.3: Funzione di Bessel di prima specie per ν = 0, 1, 2, 3.

Se ν assume valori non interi la J−ν(z) rappresenta la seconda soluzione della (1.31) linearmente indipendente da J_ν(z), ma solitamente si introduce un’altra funzione, denotata con Y_ν(z) e ottenuta come combinazione lineare di Jν(z) e J−ν(z), quindi

Y_ν(z) = J_ν(z) cos(πν) − J−ν(z)

sin(πν) (1.34)

(26)

tale espressione prende il nome di funzione di Bessel di seconda specie o funzione di Neumann.

2 4 6 8 10 12 14 z

-1.0 -0.5 0.5

Y_ΝHzL

Figura 1.4: Funzione di Bessel di seconda specie per ν = 0, 1, 2, 3.

La Figura 1.4 mostra la seconda soluzione all’equazione di Bessel per diversi valori di ν. Confrontando i due grafici si osserva che le Jν(z) hanno valore finito in z = 0 mentre le Yν(z) hanno dei punti di singolarit`a per z = 0.

Si osservi che per il caso particolare in cui ν = 1/2 le soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione di Bessel (1.31) diventano

J1

2(z) =cos(z)

√z , Y¹

2(z) =sin(z)

√z .

(1.35)

Questo fatto lascia intuire che almeno alcune soluzioni dell’equazione di Bessel avranno andamento oscillante mostrando una certa “parentela” con le funzioni trigonometriche.

1.2.2 Le Funzioni di Hankel

Un’altra formulazione canonica della coppia soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione di Bessel sono le seguenti

H_ν⁽¹⁾(z) = Jν(z) + jYν(z)

H_ν⁽²⁾(z) = J_ν(z) − jY_ν(z) (1.36)

(27)

1.2 Le Funzioni di Bessel 11

tali espressioni sono note come funzioni di Bessel di terza specie o funzioni di Hankel (di prima e seconda specie). Volendo fare un parallelismo con le funzioni trigonometriche e le funzioni di Bessel si pu`o asserire che le funzioni Jν(z) e Yν(z) stanno a cos(z) e sin(z) come le funzioni Hν⁽¹⁾(z) e Hν⁽²⁾(z) stanno agli esponenziali e^jz ed e^−jz.

Si osserva che per ν reale e z reale positivo, si ha

H_ν⁽¹⁾(z)^∗ = H_ν⁽²⁾(z) (1.37) mentre se z e ν sono complessi ed arbitrari valgono le seguenti relazioni

{J_ν(z)}^∗ = J_ν^∗(z^∗) {Y_ν(z)}^∗ = Y_ν^∗(z^∗) {H_ν⁽¹⁾(z)}^∗ = H_ν⁽²⁾∗ (z^∗).

(1.38)

2 4 6 8 10 12 14 z

0.4 0.6 0.8 1.0 ÈHΝ

I1MHzLÈºÈHΝ I2MHzLÈ

Figura 1.5: Valore Assoluto delle Funzioni di Hankel per z > 0 e ν = 0, 1, 2, 3.

La Figura 1.5 mostra l’andamento delle due funzioni valore assoluto di Hankel per vari valori di ν, la |Hν⁽¹⁾(z)| e la |Hν⁽²⁾(z)| coincidono nel semipiano delle z > 0.

1.2.3 Le Funzioni di Bessel Modificate

Solitamente si indicano con tale nome le funzioni di Bessel di argomento immaginario. La loro equazione si ottiene cambiando z con jz nell’espressione (1.31),

(28)

ottenendo

z²d²wν(z)

dz² + zdwν(z)

dz + (z²− ν²)wν(z) = 0. (1.39) Come prima soluzione alla (1.39) si ha

Iν(z) = e^−j^π²^νJν(z e^j^π²) =

∞

X

k=0 z 2

ν+2k

k!Γ(k + ν + 1) (1.40) tale espressione prende il nome di funzione di Bessel modificata di prima specie.

Analogamente a quanto accadeva per le funzione di Bessel di prima specie se ν non `e un numero intero allora I−ν `e una soluzione della (1.39) linearmente indipendente da Iν, ma si suole introdurre una seconda soluzione fondamentale denotata con Kν(z) e definita come segue

Kν(z) = π [I−ν(z) − I_ν(z)]

2 sin(πν) , (1.41)

l’espressione (1.41) `e nota come funzione di Bessel modificata di seconda specie o funzione di Basset. Continuando l’analogia tra funzioni di Bessel e funzioni trigonometriche, si pu`o affermare che le funzioni di Bessel modificate risultano il corrispondente delle funzioni iperboliche cosh(z) e sinh(z).

1 2 3 4 5 z

5 10 15 20 25

IΝHzL

(a) Iν(z)

1 2 3 4 5 z

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

KΝHzL

(b) Kν(z) Figura 1.6: Funzioni di Bessel modificate per ν = 0, 1, 2, 3.

La Figura 1.6 mostra gli andamenti delle funzioni di Bessel modificate per ν = 0, 1, 2, 3. Si osservi che per ν reale e z reale positivo sia la funzione I_ν

(29)

1.3 La Trasformata di Laplace 13

che Kν sono funzioni reali, ma a differenza delle funzioni Jν e Yν non saranno delle funzioni oscillanti in quanto I_ν sarà una funzione monotona crescente, che per ν > 0 si annulla per z = 0, mentre K_ν per ν > 0 avrà una singolarità in corrispondenza dell’origine e tenderà a zero quando z → ∞.

1.3 La Trasformata di Laplace

La funzione FL(s) nella variabile complessa s = γ + jη definita come:

FL(s) = L{f (t); s} = Z ∞

0

e^−stf (t) dt (1.42)

`

e chiamata Trasformata di Laplace della funzione f (t) e permette di passare dallo studio di una variabile reale (temporale nei casi considerati) allo studio di una variabile complessa.

Affinch´e l’integrale introdotto in (1.42) esista, la funzione f (t) deve essere di ordine esponenziale α, il che equivale ad ammettere l’esistenza di due costanti positive M e T tali che:

e^−αt|f (t)| ≤ M ∀ t > T (1.43) ci`o significa che la funzione f (t) non deve crescere pi`u velocemente di una certa funzione esponenziale quando t → ∞.

Dalla funzione trasformata FL(s) `e possibile ottenere la funzione originale f (t) tramite l’Antitrasformata di Laplace o Trasformata Inversa:

f (t) = L⁻¹{F_L(s); t} = 1 2πj

Z c+j∞

c−j∞

e^stFL(s) ds con c ∈ <(s) > c0 (1.44) con c₀ che si trova nella parte destra della convergenza assoluta dell’integrale di Laplace. Si osservi che f (t), ottenuta come trasformata inversa, `e data dall’integrale effettuato lungo l’asse immaginario (la parte reale rimane costante).

1.3.1 Propriet`a della Trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace gode della propriet`a di additivit`a, secondo la quale la trasformata della somma di due funzioni f (t) e g(t) e pari alla somma delle trasformate delle singole funzioni FL(s) e GL(s):

L{f (t) + g(t); s} = F_L(s) + GL(s) (1.45)

(30)

l’espressione (1.45) `e ottenuta assumendo che f (t) e g(t) siano Laplace-trasformabili.

Per ogni λ, µ ∈ C, considerate due funzioni f (t) e g(t) Laplace-trasformabili, si ha:

L{λf (t) + µg(t); s} = λL{f (t); s} + µL{g(t); s} = λF_L(s) + µGL(s) (1.46) dalla quale si evince che l’operatore L{. . . } `e lineare.

Si consideri la trasformata di Laplace della convoluzione:

f (t) ∗ g(t) = Z t

0

f (t − τ )g(τ ) dτ = Z t

0

f (τ )g(t − τ ) dτ, (1.47) per due funzioni f (t) e g(t), che sono uguali a zero per t < 0, la trasformata del prodotto `e uguale al prodotto delle trasformate:

L{f (t) ∗ g(t); s} = F_L(s)GL(s) (1.48) purch´e esistano le trasformate FL(s) e GL(s).

Consideriamo la trasformata di Laplace di una derivata di ordine intero n della funzione f (t):

L{f⁽ⁿ⁾(t); s} = sⁿFL(s) −

n−1

X

r=0

s^n−r−1f^(r)(0) = sⁿFL(s) −

n−1

X

r=0

s^rf^(n−r−1)(0) (1.49) ottenuta assumendo che f⁽ⁿ⁾(t) sia L-trasformabile e integrando per parti la (1.42). La verifica della (1.49) `e immediata per n = 1:

L{f⁰(t); s} = sFL(s) − f (0) (1.50) Un’altra proprietà fondamentale della trasformata di Laplace è data dal fatto che la FL(s) è derivabile:

d

dsL{f (t); s} = d

dsFL(s) = d ds

Z ∞ 0

e^−stf (t) dt = Z ∞

0

d

dse^−stf (t) dt

= − Z ∞

0

e^−st(tf (t)) dt = −L{tf (t); s}

(1.51)

condizione che permette, nelle applicazioni della trasformata a problemi espres- si in termini di equazioni differenziali, di tener conto delle condizioni iniziali.

(31)

1.3 La Trasformata di Laplace 15

Fissato un s0 ∈ C, risulta:

L{e^s⁰^tf (t); s} = L{f (t); s − s0} = F_L(s − s0) (1.52) l’espressione (1.52), nota come prima formula del ritardo, si pu`o facilmente dimostrare a partire dalla definizione della trasformata di Laplace:

L{e^s⁰^tf (t); s} = Z ∞

0

e^−ste^s⁰^tf (t) dt = L{f (t); s − s0}. (1.53) Inoltre per ogni t₀ > 0 fissato, se f (t) = 0 per t < 0, risulta:

L{f (t − t₀); s} = e^{−s t}⁰L{f (t); s} = e^{−s t}⁰FL(s) (1.54) la (1.54) `e nota come seconda formula del ritardo.

Per ogni a > 0, risulta:

L{f (at); s} = 1 aLn

f (t); s a

o

= 1 aFL

s a

(1.55) 1.3.2 Applicazione alle Equazioni Differenziali

L’applicazione della trasformata di Laplace permette la soluzione di equazioni differenziali a coefficienti costanti con condizioni iniziali assegnate.

Un’equazione differenziale di ordine n, a coefficienti Ckcostanti, non omogenea, pu`o essere espressa genericamente dalla seguente relazione:

n

X

k=0

C_kd^kx(t)

dt^k = f (t) (1.56)

della quale si conoscono le seguenti condizioni iniziali:

x(0) = x₀; x⁰(0) = x⁰₀; . . . x⁽ⁿ⁻¹⁾(0) = x⁽ⁿ⁻¹⁾₀ ; (1.57) che devono essere almeno n per risolvere completamente la (1.56).

Applicando la trasformata di Laplace alla (1.56) si ha:

L{x(t); s} = X_L(s) (1.58)

L{x⁰(t); s} = sXL(s) − x(0) = sXL(s) − x0 (1.59) L{x⁰⁰(t); s} = s²XL(s) − sx(0) − x⁰(0) = s²XL(s) − sx₀− x⁰₀ (1.60)

(32)

e ponendo:

L{f (t); s} = F_L(s) (1.61)

dalla (1.56) si ottiene:

XL(s)(C0+ C1s + C2s²+ · · · + Cnsⁿ) − Pn−1(s) = FL(s) (1.62) dove Pn−1(s) `e un polinomio in s di grado n − 1 composto dalla somma di tutti i contributi delle condizioni iniziali.

Dalla (1.62) si ottiene:

XL(s) = FL(s) + Pn−1(s)

(C₀+ C₁s + C₂s²+ · · · + C_nsⁿ) (1.63) antitrasformando la (1.63) si ottiene la x(t) soluzione della (1.56):

x(t) = L⁻¹{X_L(s); t} = 1 2πj

Z c+j∞

c−j∞

e^stXL(s) ds (1.64)

Esempio Si consideri la seguente equazione differenziale omogenea:

x⁰⁰(t) + 7x⁰(t) + 8x(t) = 0 soggetta alle seguenti condizioni iniziali:

C.I.

(x(0) = 2 x⁰(0) = 5.

Operando la trasformata di Laplace si ottiene:

s²XL(s) − 2s − 5 + 7sXL(s) − 14 + 8XL(s) = 0 XL(s)(s²+ 7s + 8) − (2s + 19) = 0

XL(s) = 2s + 19 (s²+ 7s + 8)

la funzione x(t), soluzione dell’equazione differenziale di partenza, `e data dal- l’antitrasformata di Laplace della XL(s).

(33)

1.4 La Trasformata di Fourier 17

1.4 La Trasformata di Fourier

La Trasformata di Fourier di una funzione f (t) continua e completamente integrabile nel dominio (−∞, ∞) `e definita come:

FF(ω) = F {f (t); ω} = Z ∞

−∞

e^jωtf (t) dt (1.65) e permette di passare dal dominio temporale al dominio delle frequenze.

L’operatore che consente invece di ottenere la funzione originale f (t) a partire dalla sua trasformata FF(ω) `e detta Antitrasformata di Fourier e permette di riottenere f (t) sotto la forma:

f (t) = F⁻¹{F_F(ω); t} = 1 2π

Z ∞

−∞

e^−jωtFF(ω) dω. (1.66) E utile osservare come questa trasformata sia un caso particolare della tra-` sformata di Laplace (estendendo il limite inferiore di integrazione a −∞) se si assume come variabile immaginaria s = −jω.

Alcuni testi riportano altre definizioni della trasformata e dell’antitrasformata di seguito riportate:

FF(ω) = F {f (t); ω} = 1 2π

Z ∞

−∞

e^−jωtf (t) dt.

F⁻¹{FF(ω); t} = Z ∞

−∞

e^jωtFF(ω) dω.

oppure ancora:

FF(ω) = F {f (t); ω} = 1

√ 2π

Z ∞

−∞

e^jωtf (t) dt.

F⁻¹{F_F(ω); t} = 1

√2π Z ∞

−∞

e^−jωtFF(ω) dω.

Nel prosieguo si utilizzeranno: l’espressione (1.65) per la trasformata e l’e- spressione (1.66) per l’antitrasformata.

(34)

Si osserva che l’espressione (1.65) rappresenta una funzione complessa di variabile complessa, quindi, ricorrendo alla formula di Eulero, `e possibile distinguere la parte reale dalla parte immaginaria di FF(ω):

F {f (t); ω} = Z ∞

−∞

e^jωtf (t) dt

= Z ∞

−∞

cos ωtf (t) dt + j Z ∞

−∞

sin ωtf (t) dt

(1.67)

il primo termine della (1.67) definisce la trasformata-coseno Fc{f (t); ω} e rappresenta la parte reale della trasformata <(F ); mentre il secondo termine indica la trasformata-seno F_s{f (t); ω} e rappresenta la parte immaginaria della trasformata =(F ).

L’espressione (1.67) permette di fare delle osservazioni a seconda se la funzione f (t) sia pari o dispari, in quanto:

• se f(t) `e pari ⇒ Fs= 0 ⇒ FF(ω) = Fc{f (t); ω}, la trasformata `e reali e pari ;

• se f(t) `e dispari ⇒ Fc= 0 ⇒ FF(ω) = Fs{f (t); ω}, la trasformata `e immaginaria e dispari.

Esempio: Si consideri la funzione generalizzata delta di Dirac δ(t), effettuando la trasformata di Fourier si ottiene:

F {δ(t); ω} = 1

per dimostrare tale espressione si applica la formula di Eulero, ottenendo:

Z ∞

−∞

δ(t) cos(ωt) dt + j Z ∞

−∞

δ(t) sin(ωt) dt

il secondo termine `e nullo, in quanto la f (t) `e pari, per cui si ottiene:

cos(ωt)_t=0= 1.

(35)

Esempio in Mathematica - funzione pari: Calcolare la trasformata di Fourier della funzione rettangolo:

f (t) = Rect(t) =











0 t < ¹₂

1

2 t = −¹₂ 1 −¹₂ < t < ¹₂

1

2 t = ¹₂ 0 t > ¹₂.

Tale funzione `e ottenibile in Mathematica col comando:

In[1]:=HeavisidePi[t]

il grafico della Rect(t), mostrato in Figura 1.7(a), si ottiene ricorrendo al seguente comando:

In[2]:=Plot[{HeavisidePi[t]}, {t, -2, 2}, PlotStyle->Thick]

-1.0 -0.5 0.5 1.0 t

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 RectHtL

(a) Rect(t)

-15 -10 -5 5 10 15

Ω

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 RHΩL

(b) F {Rect(t); ω} = ^sin(ω/2)_(ω/2)

Figura 1.7: Funzione rettangolo e sua trasformata.

la trasformata di Fourier si ottiene col comando:

In[3]:=Sqrt[2*Pi]FourierTransform[HeavisidePi[t], t, om]

Out[3]:=Sinc(om/2)

come trasformata compare quindi la funzione pari e reale seno cardinale di ^ω₂.

Il grafico della trasformata della funzione rettangolo `e mostrato in Figura 1.7(b).

(36)

Esempio in Mathematica - funzione dispari: Considerando la seguente funzione dispari:

f (t) = e^−t²sin(t)

si effettua la trasformata ricorrendo ai comandi introdotti nell’esempio prece- dente:

Sqrt[2*Pi]FourierTransform[e^(-t^(2))Sin[t], t, om]

ottenendo:

F {e^−t²sin(t); ω} =j√ π

2 [cosh(ω) + sinh(ω) − 1]×

×n

coshh1

4(1 + ω)²i

− sinhh1

4(1 + ω)²io .

(1.68)

Si osserva che la trasformata ottenuta `e dispari e immaginaria pura.

-3 -2 -1 1 2 3 t

-0.4 -0.2 0.2 0.4 fHtL

(a) e^−t²sin(t)

-4 -2 2 4

Ω

-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6

FeHΩL

(b) F {e^−t²sin(t); ω}

Figura 1.8: Funzione dispari e sua trasformata.

I grafici della funzione considerata e della relativa trasformata sono riportati in Figura 1.8.

Esempio in Mathematica - funzione generica: Negli esempi precedenti si sono considerate funzioni le cui trasformate erano o puramente reali (trasformata funzione simmetrica) o puramente immaginarie (trasformata funzione

(37)

antisimmetrica), adesso si considera il caso in cui la funzione da trasformare non è né pari né dispari:

f (t) = sin(t)e^−tH(t) essendo H(t), la funzione gradino unitario.

La funzione da trasformare si pu`o esprimere e rappresentare in Mathematica con i seguenti comandi:

In[1]:=f[t_]=Sin[t]E^(-t)HeavisideTheta[t]

In[2]:=Plot[f[t], {t, -1, 5}]

il grafico della funzione f (t) `e mostrato in Figura 1.9.

-1 1 2 3 4 5 t

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 fHtL

Figura 1.9: Grafico della funzione f (t) = sin(t)e^−tH(t) per −1 ≤ t ≤ 5.

Per effettuare la trasformata si inserisce la seguente riga di comando:

In[3]:=Sqrt[2*Pi]FourierTransform[f[t], t, om]

ottenendo il seguente risultato:

FF(ω) = 1

2 − 2jω − ω². (1.69)

Si vuole distinguere la parte reale da quella immaginaria; a tal fine si calcola la trasformata coseno, ricorrendo al seguente comando:

In[4]:=Integrate[f[t]Cos[t], {t, -Infinity, Infinity}]

(38)

ottenendo:

F_c{f (t); ω} = <{F_F(ω)} = 2 − ω²

4 + ω⁴, (1.70)

per calcolare la trasformata seno, si ricorre al seguente comando:

In[5]:=I*Integrate[f[t]Sin[t], {t, -Infinity, Infinity}]

ottenendo:

F_s{f (t); ω} = ={F_F(ω)} = 2jω²

4 + ω⁴. (1.71)

Le espressioni (1.70) e (1.71) permettono di rappresentare distintamente la parte reale e la parte immaginaria della FF(ω), ed `e facile dimostrare come la loro somma sia equivalente all’espressione (1.69):

F_s{f (t); ω} + F_c{f (t); ω} = F {f (t); ω}

<{F_F(ω)} + ={FF(ω)} = FF(ω) 2 − ω²

4 + ω⁴ + 2jω²

4 + ω⁴ = 1 2 − 2jω − ω²

(1.72)

per dimostrare la validit`a dell’uguaglianza (1.72) basta moltiplicare ambo i termini per 2 − 2jω − ω².

-4 -2 2 4

Ω

-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 R8FeHΩL<

(a) F_c{f (t); ω} = <{F_F(ω)}

-4 -2 2 4 jΩ

-0.4 -0.2 0.2 0.4 J8FeHΩL<

(b) F_s{f (t); ω} = ={F_F(ω)}

Figura 1.10: Parte reale e parte immaginaria della F_F(ω)

La Figura 1.10(a) rappresenta la trasformata coseno, funzione reale e simmetrica, mentre la Figura 1.10(b) rappresenta la trasformata seno, funzione immaginaria e antisimmetrica.

(39)

1.4.1 Proprietà della Trasformata di Fourier La trasformata di Fourier gode della proprietà di additività:

F {f (t) + g(t); ω} = F_F(ω) + GF(ω) (1.73) assunto che f (t) e g(t) siano Fourier-trasformabili.

Gli operatori F {. . . } e F⁻¹{. . . } sono lineari :

F {λf (t) + ηg(t); ω} = λF_F(ω) + ηGF(ω) ∀ λ, η ∈ C (1.74) Si consideri la trasformata di Fourier della convoluzione:

f (t) ∗ g(t) = Z ∞

−∞

f (t − τ )g(τ ) dτ = Z ∞

−∞

f (τ )g(t − τ ) dτ, (1.75) per due funzioni f (t) e g(t), che sono definite in (−∞, ∞), la trasformata del prodotto `e uguale al prodotto delle trasformate:

F {f (t) ∗ g(t); ω} = F_F(ω)GF(ω) (1.76) purché esistano le trasformate FF(ω) e GF(ω). La proprietà (1.76) è utile per effettuare la trasformata di Fourier alla derivata frazionaria e dell’integrale frazionario di Riemann-Liouville, che verranno trattati nel capitolo successivo.

Un’altra propriet`a utile per la soluzione di problemi applicativi si ottiene trasformando la derivata della funzione f (t); considerando una funzione continua ed n volte derivabile si ottiene che la trasformata di Fourier `e data dalla seguente espressione:

F {f⁽ⁿ⁾(t); ω} = (−jω)ⁿFF(ω) (1.77) dove n rappresenta l’ordine di derivazione considerato.

Un’altra propriet`a `e data dalla seguente espressione:

F {tⁿf (t); ω} = (−j)ⁿ dⁿ

dωⁿFF(ω) (1.78)

`

e necessario precisare che non tutte le trasformate di Fourier FF(ω) di una funzione f (t) ammettono necessariamente derivata n-esima.

Considerato un t₀ ∈ R si ottiene:

F {f (t + t₀); ω} = e^−jωt⁰FF(ω) (1.79)

(40)

Inoltre, considerato un ω0∈ C, si ottiene:

F {e^jω⁰^tf (t); ω} = F {f (t); ω + ω₀} = F_F(ω + ω₀) (1.80) tale espressione si pu`o facilmente dimostrare:

F {e^jω⁰^tf (t); ω} = Z

R

e^jω⁰^tf (t)e^jωtdt = Z

R

f (t)e^j(ω+ω⁰^)tdt = FF(ω + ω0).

(1.81) Considerando un ∀ a ∈ R{0} si ha:

F {f (at); ω} = 1

|a|F {f (t); ω a} = 1

|a|FF

ω a

. (1.82)

1.4.2 Applicazione alle Equazioni Differenziali

La trasformata di Fourier, analogamente alla trasformata di Laplace, permette di trasformare una equazione differenziale in un equazione polinomiale, la cui soluzione `e facilmente ottenibile.

Si consideri la generica equazione differenziale non omogenea a coefficienti costanti, riportata di seguito:

C₀x(t) + C₁ d

dtx(t) + · · · + C_ndⁿ

dtⁿx(t) = f (t), (1.83) si assuma che l’inomogeneit`a f (t), la funzione x(t) e le sue derivate siano Fourier-trasformabili, e si effettui la trasformata di Fourier, ottenendo:

C0XF(ω)+C1(−jω)XF(ω)+C2(−jω)²XF(ω)+· · ·+Cn(−jω)ⁿXF(ω) = FF(ω) (1.84) dalla quale si ricava che:

XF(ω) = FF(ω) Pn

k=0C_k(−jω)^k, (1.85)

il rapporto:

H(ω) = 1

Pn

k=0Ck(−jω)^k prende il nome di funzione di trasferimento.

Se esiste soluzione all’equazione differenziale introdotta, questa si pu`o ottenere facendo l’antitrasformata di XF(ω):

x(t) = F⁻¹{XF(ω); t} = 1 2π

Z ∞

−∞

FF(ω)H(ω)e^−jωtdω. (1.86)

(41)

1.5 La Trasformata di Mellin 25

E utile osservare che nella trasformata di Fourier non compaiono esplicitamente` le condizioni iniziali.

1.5 La Trasformata di Mellin

La Trasformata Integrale di Mellin di una funzione f (t) definita nell’intervallo (0, ∞) `e data dalla seguente espressione:

FM(s) = M{f (t); s} = Z ∞

0

f (t)t^s−1dt (1.87) con s ∈ C tale che −γ1 < γ < −γ₂. A differenza delle trasformate di Laplace e di Fourier, aventi come nucleo una funzione esponenziale, la trasformata di Mellin ha una legge di potenza come nucleo.

Viceversa la funzione originale f (t) si pu`o ottenere a partire dalla trasformata FM(s) effettuando l’Antitrasformata di Mellin:

f (t) = M⁻¹{F_M(s); t} = 1 2πj

Z γ+j∞

γ−j∞

FM(s)t^−sds; (0 < t < ∞), (1.88) con −γ1 < γ < −γ2, essendo l’intervallo (−γ1, −γ2) la striscia fondamentale di Mellin che verr`a meglio precisata pi`u avanti.

Si osservi che l’antitrasformata di Mellin `e ottenuta integrando la FM(s)t^−s lungo l’asse immaginario e dunque si pu`o scrivere anche nella forma:

f (t) = 1 2π

Z +∞

−∞

FM(s)t^−sdη; (−γ1 < γ < −γ2), (1.89) e tale integrale non dipende da γ purch´e appartenga alla striscia fondamentale.

Osservando l’espressione (1.87), si nota che la funzione gamma di Eulero Γ(s), per <(s) ≥ 0, pu`o essere vista come un caso particolare della trasformata di Mellin, infatti considerando la funzione esponenziale e^−t e Mellin- trasformando si ottiene:

M{e^−t; s} = Z ∞

0

e^−tt^s−1 dt = Γ(s). (1.90) Esempio: Si consideri la seguente funzione rettangolo:

Rect(t) =







1 → 0 < t < 1

1

2 → t = 1 0 → t > 1

(42)

e si calcoli la trasformata di Mellin.

Applicando la (1.87) si ottiene il seguente integrale:

RM(s) = Z ∞

0

t^s−1r(t) dt

che converge assolutamente per γ > 0, sviluppandolo si ottiene:

RM(s) = t^s s

1 0

= 1 s applicando l’antitrasformata (1.88) si ha:

Rect(t) = 1 2πj

Z γ+j∞

γ−j∞

1

st^−sds; (γ > 0).

1.5.1 La Striscia Fondamentale

L’integrale espresso in (1.87) converge se <(s) = γ appartiene alla Striscia Fondamentale, ovvero se −γ₁ < γ < −γ₂. I valori γ₁ e γ₂, che delimitano la striscia fondamentale, dipendono dalla f (t), in particolare γ1 rappresenta l’ordine della funzione per x → 0, mentre γ2 rappresenta l’ordine della funzione per x → ∞.

In altre parole se la f (t) `e una funzione continua nell’intervallo (−∞, ∞) tale che:

f (t)

(O{t^γ¹} t → 0

O{t^γ²} t → ∞ (1.91)

allora la funzione f (t) `e Mellin-trasformabile ed esiste una FM(s) per alcuni numeri complessi s = γ + jη appartenenti alla striscia fondamentale.

Inoltre se esiste una costante C > 0 tale che:

Z ∞

−∞

|F_M(γ + jη)| dη < C per ogni − γ₁ < γ < −γ₂ (1.92)

allora esiste l’antitrasformata di FM(s) e l’espressione (1.88) restituisce la funzione originale f (t).