FUNZIONI LINEARI E FUNZIONE VALORE ASSOLUTO
Gaetano Tarcisio Spartà
Indice
1. FUNZIONI LINEARI ... 3
2. GRAFICO DI UNA FUNZIONE LINEARE ... 5
3. FUNZIONE VALORE ASSOLUTO ... 7
BIBLIOGRAFIA ... 9
1. F
UNZIONI LINEARI Siano m, q due numeri reali. Una funzione𝒇: 𝑹 → 𝑹 che si presenta nella forma
𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒒 ,
si dice “funzione lineare” (in altri contesti, tuttavia, le funzioni di questo tipo si dicono “affini”, indicando come “lineari” solo quelle con q=0).
Nel caso
𝑚 = 0 ,
una funzione di questo tipo assume la forma 𝑓(𝑥) = 𝑞 ,
che come abbiamo visto rappresenta una funzione costante. In questo caso, come sappiamo, il grafico si presenta come una retta parallela all’asse delle x (vedi figura seguente).
Nel caso
𝑞 = 0 ,
una funzione di questo tipo assume la forma 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 .
Se m è diverso da zero, questa non è una funzione costante.
dunque si tratta di una retta. Inoltre, per x=0 la funzione assume valore 0, infatti
𝑓(0) = 𝑚 ∙ 0 = 0 .
Dunque il grafico è una retta passante per il punto (0,0) (origine), come per esempio quella nella figura seguente.
Nel caso
𝑚 ≠ 0 , 𝑞 ≠ 0 , il grafico della funzione
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑞
ha come elementi i punti della curva di equazione 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞.
Dunque anche in questo caso è una retta. Questa volta, tuttavia, il grafico non passa per l’origine, infatti per x=0 la funzione assume valore
𝑓(0) = 𝑚 ∙ 0 + 𝑞 = 𝑞 , che è diverso da 0.
Nel prossimo paragrafo vediamo come disegnare il grafico di una funzione lineare (cioè, come tracciare la retta corrispondente nel piano cartesiano).
2. G
RAFICO DI UNA FUNZIONE LINEARE Consideriamo una funzione lineare𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑞 .
m è il coefficiente angolare della retta che descrive il grafico della funzione, e individua la direzione della retta. In particolare, se m=0 (funzione costante), abbiamo visto che il grafico è una retta parallela all’asse delle x. Se m>0, al crescere di x cresce f(x). Se, invece, m<0, al crescere di x decresce f(x). La figura seguente mostra i due casi m>0, m<0.
La stessa figura ci mostra anche come la retta, che rappresenta il grafico della funzione, incontra l’asse delle ordinate nel punto (0,q). In altri termini, per x=0 si ha f(x)=q, infatti
𝑓(0) = 𝑚 ∙ 0 + 𝑞 = 𝑞 .
Per disegnare il grafico di una funzione lineare basta individuare due punti e tracciare la retta corrispondente. Vediamo un esempio.
Esempio 1
Consideriamo la funzione lineare 𝑓(𝑥) =1
2𝑥 +1 2 .
Per x=0 si ha f(x)=12, cioè (come abbiamo visto in generale) la retta passa per il punto
Per y=0 (cioè, per ottenere f(x)=0) si ha 0 =1
2𝑥 +1 2 , equivalente a
1
2𝑥 = −1 2 , cioè
𝑥 = −1 . Dunque la retta passa per il punto
(−1,0) .
Tracciando la retta per i punti (0,12) e (−1,0) si ottiene il grafico di f (figura seguente).
3. F
UNZIONE VALORE ASSOLUTO Abbiamo già incontrato la funzione valore assoluto𝒇: 𝑹 → 𝑹 , definita dalla legge
𝒇(𝒙) = |𝒙| .
Ricordiamo che |𝑥| è lo stesso x se x è positivo o nullo, il numero –x se x è negativo (per esempio, f(2)=|2|=2, f(-5)=|-5|=5). Il grafico di f, dunque, coincide con la retta
𝑦 = 𝑥 per x in [0 , +∞) , e con la retta
𝑦 = −𝑥
per x in (−∞ , 0) , come mostra la figura seguente.
Vediamo adesso un esempio di equazione con il valore assoluto.
Esempio 2
Consideriamo l’equazione
|𝑥 + 2| = 1 . Osserviamo che
𝑥 + 2 < 0
𝑥 < −2 , invece
𝑥 + 2 ≥ 0 se
𝑥 ≥ −2 . Allora, per 𝑥 < −2 l’equazione diventa
−(𝑥 + 2) = 1 , che ha soluzione
𝑥 = −3 . Per 𝑥 ≥ −2 l’equazione diventa
𝑥 + 2 = 1 , che ha soluzione
𝑥 = −1 .
L’equazione di partenza, dunque, ha soluzioni -3 e -1.
B
IBLIOGRAFIA Guerraggio. Matematica (seconda edizione). Pearson. 2009.
Capitolo 3, paragrafo 4. Capitolo 4, paragrafi 4, 6.
