su una rotaia disposta lungo l asse delle ascisse orizzontale dotata d attrito, di un riferimento cartesiano, sotto l azione d una forza costante

x y

z

O

P₁ ω^ F = Fiˆ

C

Un disco rigido e omogeneo di massa

M

R

ortogonale all’asse di rotazione.

F  = Fi ˆ

orizzontale dotata d’attrito,

sotto l’azione d’una forza costante

rotola senza strisciare disposta lungo l’asse delle ascisse

Nel sistema di riferimento inerziale prescelto

ω  = − ω ˆk

( dove l’asse

y

il disco ruota in senso orario nel piano (

x

y

su una rotaia

di un riferimento cartesiano,

e applicata nel centro

C

a

t t

ˆ

R  = − R i

Determinare le espressioni

dell’accelerazione con la quale trasla

b) della componente tangenziale della forza d’attrito a) del modulo

ω = −ωˆk

F = Fiˆ

C

O

v_O

riferimento del laboratorio applicando la legge di composizione delle velocità ed assumendo c) la velocità del punto O di contatto del disco con la rotaia che si ottiene nel

come origine del sistema di riferimento mobile il centro C del disco.

O

x

y z

iˆ ˆj kˆ

O

z

y

x ˆi ˆ ˆj

k ^{O x}

y

z

iˆ ˆj kˆ

x y

z

O

iˆ ˆj

kˆ

il centro di massa

C

disco visto di fronte

O_P ≡ P₁ P₂

P₃ P₄

P C 1

r

C

4 1 4

v_P = ×¹ ω r_{P P}

v_C = ×ω r_PC

2 1 2

v_P = ×ω r_{P P}

1 3

rP P

3 1 3

v^_P ^{= ×}ω^{P P 1 2} r^_{P P}

r

1 4

rP P

ω ^

x y

z

O iˆ ˆj kˆ

dalla cinematica del moto dei corpi rigidi sappiamo

v v

i

=

+ × ω  r

  

che la velocita’

del corpo rigido e’

di un generico punto

P

e se nell’istante in cui

P

lo assumiamo come polo

O

chiaramente in quell’istante si avra’

v 0 v 

= × ω  r 

OP

=



dL dt =



v v

P

E

O CM

M  −  × M 

in questo caso il polo

O

e la seconda equazione cardinale

v 0

OP

=

percio’



e’ istantaneamente fermo rispetto al sistema inerziale

si riduce a

dL M 

dt =



la simmetria e l’omogeneita’

parallela all’asse

x

e la velocita’

v 

vista

O_{P ≡} P₁ P₂

P₃

P₄ C

v_P4

v_C

v_P2

v_P3 r^{P P 1 2}

ω ^

x y

z

O iˆ ˆj kˆ

la posizione del centro di massa coincidera’ con il centro

C

della distribuzione delle masse nel corpo

la dinamica del corpo rigido dipende

parallelo alla velocita’ angolare

rispetto all’asse di rotazione sia o meno costante nel tempo il momento angolare totale

L 

 dal valore del suo momento d’inerzia

I

ω ^

 dal fatto che il momento d’inerzia

I

 dal fatto che sia o non sia

ω ^

LC

P₂

P₃ P₄

P C 1

r

C

4 1 4

v_P = ×ω r_{P P}

v_C = ×ω r_PC1

1 3

rP P

3 1 3

v_P = ×rω^{P P} ^{1 2} r_{P P}

1 4

rP P

1 3 3

3 _{P P} 3

v

L  = r  × m 

1 4 4

4 _{P P} 4

v

L  = r  × m 

( )

1

v

C PC C PC C PC PC

L  = r  × m  = m r  × ω  × r 

L3

m2

m3 m_C m4

L4

1 n

i i

L L

=

= ∑

 

1

v

n

i i i

i

r m

=

=

∑

infatti

L^C

 ω

L^2

 ω

L^3

 ω

L^4

 ω

quindi sara’ parallelo a

ω ^

il momento angolare totale _{del disco} rispetto ad

O

sara’ parallelo

e si avra’

L  = I

ω 

alla velocita’ angolare

dove I_O e’ il momento d’inerzia rispetto ad O_P

O_{P ≡} P₁

e ovviamente anche _etc.

L 

x y

z

O

P₁

ω

dL

dt = M

 

dunque

L  = I

ω 

e poiche’ il momento d’inerzia e’ costante

dL

d dt I dt

= ω

 

e

della forza peso rispetto al polo

O

il peso del corpo puo’ essere pensato come applicato

e il momento risultante sara’ nullo quanto alle forze esterne

al centro di massa del corpo

2 2

1 ˆ

ˆ ˆ ( )

2

Rj Fi MR MR d k dt

⇒

× = − + ω

O

R F I d

dt

= × =   ω 

ω = −ωˆk F =Fiˆ

C

dove si e’ usato il teorema di Huygens Steiner per determinare il momento d’inerzia del disco rispetto ad O_P

1

2 MR

infatti

e la distanza tra C _ed O _e’ R

R

il momento d’inerzia del disco rispetto al centro di massa C _e’

M 

O_{P ≡} P₁

2 2

( 1 )

O

2

I = MR + MR 3

O

2

I = MR

quindi

ossia

ricordando che il disco ha massa

M

R

2

v

ˆ 3 ˆ

2

d

RFk MR R k

− = − dt

2

G

3 a F

⇒

= M

3

ˆ ˆ

2

a

RFk MR k

− = − R

quindi da

v =

ω r

v

=

ω r

v

v

r

R

ω = =

rispetto al polo il centro di massa e’ istantaneamente in rotazione lungo una traiettoria circolare con velocita’ angolare di modulo

ω

da cui

2

3 3

t G

F F R = − F Ma = − F =

2

t

3

R F M F Ma

− + = M =

ˆ ˆ

( − + R

F i ) = Ma i

t G

R  + + F  Mg  = Ma 

b) seconda domanda

per determinare la componente tangenziale della forza d’attrito

ˆ

t

3

R  = − F i

si utilizza il teorema del moto del centro di massa

da cui

da cui

E CM

a R

= M

 

dove

M

R 

e e’ la risultante delle forze esterne

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